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19.3（第 2 课时）二次根式的混合运算（原卷版）
目 录
类型一、已知字母的值，化简求值..........................................................................................................................1
类型二、已知条件式，化简求值..............................................................................................................................3
类型三、二次根式规律探寻......................................................................................................................................5
类型四、二次根式的混合运算..................................................................................................................................8
类型一、已知字母的值，化简求值
1．当 时，代数式 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知 ．则 的值为（ ）
A．11 B．19 C．17 D．20
3．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．12 C．10 D．6
4．当 时，代数式 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．已知 ，则代数式 的值为（ ）
A．25 B． C．3 D．5
6．若 ， ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
7．若 ，则 的值为（ ）
A．90 B．91 C．93 D．95
8．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．
9．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
10．若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．11．如果 ，则 的值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
12．若 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
13．若 ， ，则式子 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
14．若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
15．已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
16．已知： ，则 的值为 ．
17．已知 ，则 =
18．已知 ，则 ．
19．设 ， ，则 的值是 ．
20．已知 ， ，则 的值是 ．
21．已知 ， ．
(1)求 和 的值；
(2)求代数式 的值．
22．已知 ，求 的值．
23．已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
24．已知 ， ，分别求下列代数式的值：
(1) ；(2) ．
25．已知 ， ，解答下列各题：
(1)求 的值；
(2)求 的值．
类型二、已知条件式，化简求值
26．已知 、 为实数，且 ，求 的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
27．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
28．已知 ， ，则化简求 的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
29．已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
30．已知 ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
31．已知 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
32．若 ，则代数式 的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
33．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
34．已知 ， ，则 的值为 ．
35．已知 ，且 ，则 的值为 ．
36．已知： ，则 的值为 ．37．已知 ， ，则 的值为 ．
38．如果正数 满足 ，那么 的值是 ．
39．已知 ，则 ．
40．已知 ，则 的值为 ．
41．阅读材料：
已知 ， ，求 的值．
小迪同学是这样解答的：
，
∵ ．
∴ ，
∵ ．
结合以上材料，解答问题：
∴
(1)化简： ；
(2)已知 ，求 的值．
42．已知 ，判断 和 的正负并求 的值．
43．问题：已知 ，求 的值．
小明是这样分析与解答的： ， ，
， ， ，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ________；
(2)若 ，求 的值．
44．已知 ，求 的值．45．已知： ．求值：
(1) ；
(2)
46．已知 ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
47．已知 ， ，求 值．
48．已知 ．求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
49．已知 ， ，求代数式 的值．
50．已知 ，求 的值．
类型三、二次根式规律探寻
51．观察下列等式：
第1个等式： ，第2个等式 ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第 个等式： ；
（2） .
52．综合与实践：
根据平方差方式： ，由此得到 ，由此我们可以得到下面的规律，
请根据规律解答后面的问题：
第1式： ；第2式： ；第3式： ；第4式： ；
……
(1)请写出第n个式子；
(2)若 ，求n的值；
(3)请说明： ．
53．阅读下列材料，完成相应任务：
卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，
他曾给出了求斐波那契数列第 项的表达式，创造出了检验素数
的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯
数列中的第 个数 可以表示为 ，其中 ．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数 ________，第2个数 ________；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数 ；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当 时，满足 ．请根据这一规律直接写出卢卡斯
数列中的第5个数： ________．
54．先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；③ ；
（1）根据上面三个等式，请猜想 的结果(直接写出结果)
（2）根据上述规律，解答问题：
设 ，求不超过 的最大整数是多少？
55．观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）写出第4个算式；
（2）求 + + + 的值；
（3）直接写出 + + 的结果．
56．探究题：先观察下列等式，再回答问题
① ； ② ；
③ ； ④
（1） 你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范
围
（2）请用数学知识说明你所写式子的正确性．
57．规律探究：设 ， ， ，
…，则 的值为 ．
58．观察下列分母有理化，……
从计算结果中找出规律
．
59．观察下列等式：
第1个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
…
按上述规律，计算 ．
60．阅读下面问题： ， ，
(1)根据规律，计算 的值；
(2)求 的值；
(3)如果有理数a，b满足 ，试求：
的值
类型四、二次根式的混合运算
61．估计 的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间62．已知 ，则与 最接近的整数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
63．估计 的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
64．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若
以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．9
65．估计 的值在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
66．下列运算与 的结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
67．估计 的值应在（ ）之间
A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11
68．计算 的结果是 ．
69．已知 ， ，则代数式 ．
70．若 ， ，则代数式 ．
71．计算： ．
72．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
73．计算： ．
74．计算：(1)
(2) ．
75．计算：（1） ；
计算：（2） ．
1．设 ，则 的整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设 ， 的最小值为 ，使得 取最小值的x值为n，则 （ ）
A．8 B．6 C． D．
3．计算 的结果为
．
1．已知 ，那么算式 的值为 ．
2．不超过 的最大整数为 ．
3．对于实数 ，用 表示不超过 的最大整数．若 ，则 ．
4．对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，例如
∶两个无理数 ， 为“友好无理数”，则 ，请根据条件填空：
(1) 的“友好无理数”是(2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和
(3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作 ，第二个数记作 ，第三个数记作 ，…，第n个数记作
．即 ， ， ，…， ．已知 ，且这n个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”．
①如果 ，那么 ．
②如果 ，那么 ．
5．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
已知 ， ．
(1)化简x，y；
(2) ， ． 的整数部分为2，小数部分为 ．
根据以上材料，若 的小数部分为a，求 的值；
(3)若m是正整数， ， ，且 ，求m的值．
