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16.2二次根式的乘除
二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不
变，只把被开方数相乘.
注意：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是
非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0， ≥0，….. ≥0）.
(3).若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如 .
2.积的算术平方根:
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根
的积.
注意：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必
须满足 ≥ 0 ， ≥ 0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没
有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
1．计算： × ＝ ， ＝
【分析】利用二次根式的性质进行化简计算即可得出结论．
【解答】解： ＝2×3＝6；
＝ ＝6；
√1 √12
【变式1-1】(1)√5×√7； (2) ×√9； (3) ； (4) ；
3 √3
【答案】(1) × = ；(2) × = = ；
(3) = = =2；
(4) = = ×2=2 .
【变式1-2】计算 的结果是（ ）
A．4 B．± C．2 D．
【答案】C
【解析】
解：原式= =2，
故选：C．
【变式1-3】下列运算正确的是（ ）
（1） ＝1.5﹣0.5＝1（2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用二次根式的性质化简判断得出答案．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ，故此选项不合
题意；
（2）2 ＝ ＝ ，故此选项不合题意；
（3） ＝|x﹣5|，故此选项不合题意；
（4）﹣x ＝﹣ ，故此选项符合题意；
故选：A．
二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开
方数相除.。
注意：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b的取值范围应特别注
意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量
化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式
的算术平方根.
注意：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
2.直接填写计算结果：
(1) ＝__________； (2) ＝__________；
(3) ＝__________； (4) ＝__________.
【答案】4 15 4x2y
【解析】
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【变式2-1】计算
（1）2 ÷4 ； （2）4 ÷2 ．
【答案】（1）2 ÷4 ＝ ＝ ×2＝1；（2）4 ÷2 ＝ ＝2 ＝ ．
【变式2-2】 计算： ÷ ×2
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解： ÷ ×2
＝ ×2x
＝ ×2x
＝ ．
最简二次根式与分母有理化
（1）被开方数不含有分母，分母里不含根式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
注意：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
3下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
√x- y
A． √8x B．√x2-3 C． D．
x
√3a2b
【答案】B
【解析】
解：A、√8x=√2x×22=2√2x，被开方数中含能开得尽方的因数，故本选项错误；
B、√x2-3，符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
√x- y √x(x- y) √x(x- y)
C、 = = ，被开方数中含有分母，故本选项错误；
x x×x |x|
D、3a2b=|a|√3b，被开方数中含有能开尽方的因式，故本选项错误.
故选B.
【变式3-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的性质可对 、 化简，利用分母有理化可对 化简，从而根据最简二次根式的定义可对各选项进行判断．
【解答】解：∵ ＝2 ， ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ 、 、 都不是最简二次根式，只有 为最简二次根式．
故选：D．
【变式3-2】在 ， ， ， 中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A. ＝2 ，故A不符合题意；
B. 是最简二次根式，故B符合题意；
C． ＝ ，故C不符合题意；
D. ＝ ，故D不符合题意；
故选：B．
【变式 3-3】若最简二次根式 和 能合并，则 a、b 的值分别是
（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即
可得到a与b的值．
【解答】解：∵最简二次根式 和 能合并，
∴ ，即 ，
①×2+②得：7a＝7，
解得：a＝1，
把a＝1代入②得：1+2b＝3，
解得：b＝1．
故选：D．
【变式3-4】分母有理化： ＝ ．
【分析】利用平方差公式将原式进行分母有理化，从而进行计算．【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
