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专题4 二次根式的运算与应用（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 二次根式的计算
典例1 （2022秋•渠县校级期末）化简：
√1 √27+√48
（1）(√2-√6)×√18-3 ． （2）计算： +(√2+√3)(√2-√3)．
3 √3
变式训练
1．（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．2√3+3√2=5√5 B．2√3×3√2=6√6
C．5√5-2√3=3√2 D．√30÷（√5+√3）=√6+√10
2．（2022秋•市北区校级期末）计算式子（√3-2）2021（√3+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1 B．√3-2 C．2-√3 D．1
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 （2022秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a ，其中a＝3．
+√a2-10a+25
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a
+√a2-10a+25
＝2a （第一步）
+√(a-5) 2 ⋯⋯
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a ＝6 ＝6+2＝8．
+√a2-10a+25 +√32-10×3+25
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．变式训练
1．（2022春•藁城区校级月考）先化简，再求值： ，其中 ．
2-√(a-2) 2+(a+1)(a-1) a=√2
1
2．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-√3，b= ，求√a2-2ab+b2的值．
2-√3
x-2√xy+ y 1 1
典例3 （2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值： ÷ ，其中x= ，y
x- y x+2√xy+ y 3+2√2
1
= ．
3-2√2
变式训练
4 √a+√b √a-√b
1．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值： + + ，其中a＝1，b＝2．
a-b b√a-a√b b√a-a√b
典例4（2022春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a+√3）（a-√3）﹣a（a﹣6）+6，a=√2-1．
a b
（2）已知a＝2+√3，b＝2-√3，求 - 的值．
b a
变式训练
1．已知 ，求代数式 的值；
x=2-√3 (7+4√3)x2+(2+√3)x+√3类型三 与二次根式有关的规律探究
√2
典例5 （2022秋•新蔡县校级月考）发现①计算（√2）2＝ ，（ ）2＝ ；
3
√ 2
②计算：√22= ； (- ) 2= ；
3
总结 通过①②的计算，分别探索（ ）2（a≥0）与a、 与a的数量关系规律，请用自己的语言表
√a √a2
述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算 （ ）2的值．
√4(m+2) 2+√(m-1) 2+ √3-m
变式训练
1．（2022秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
等式1： 1+ =2 ．等式2： 2+ =3 ．等式3： 3+ =4 ．等式4： ．
3 3 4 4 5 5
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
√ 1 √ 1
①化简： 99+ × 199+ ×√402×√101．
101 201
√ 1 √1
②小丽写出一个等式 m2-2m+1+ =10 （n＞0），若该等式符合上述规律，则 m﹣n的值为
n n
．
典例6 （2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：
1 1
（1）由(√2+1)(√2-1)=1，得 =√2-1（2）由(√3+√2)(√3-√2)=1，得 =√3-√2
√2+1 √3+√2
…… 问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：1 1 1 1 1
( + + +⋯+ + )(√2019+1)．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2018+√2017 √2019+√2018变式训练
1．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家 G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，
这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼
睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如： 1 ．
√3+2√2=√1+2×1×√2+2=√12+2×1×√2+(√2) 2=√(1+√2) 2= +√2
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数： ③
√14+6√5=√9+2×3×√5+①=√(3+②) 2=
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出√28-10√3+√7+4√3的值．
类型四 二次根式的应用
典例1（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，
制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．
（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．
变式训练
1．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16√2cm，宽为8√2cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角
剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为√2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
典例2 （2022春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有 a﹣2 b≥0，∴a+b≥2 ，当且仅当a＝b时取等号．请利用上
(√a-√b) 2= √ab+ √ab
述结论解决以下问题：
1 1
（1）当x＞0时，x+ 的最小值为 ；当x＜0时，x+ 的最大值为 ．
x x
x2+3x+25
（2）当x＞0时，求y= 的最小值．
x
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求
四边形ABCD面积的最小值．
针对训练
1．（2021秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你
可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵ ，∴ ，当且仅当a＝b时取等号．
(√a-√b) 2=a-2√ab+b≥0 a+b≥2√ab
请利用上述结论解决以下问题：
1
（1）当x＞0时，x+ 的最小值为 ．
x
m2+5m+12
（2）当m＞0时，求 的最小值．
m
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设
垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？第二部分 专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
√1 √24 √3 25
A．√2÷ =√3 B． =4 C．√3÷√25= D． =√5
6 √6 5 √5
√ y √ x 1 1
2．（2022春•江岸区校级月考）先化简，再求值：√25xy+x -4 y - √x y3，其中x= ，y＝4．
x y y 3
3．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：
√18-
√9
-
√3+√6
+(√3-2) 0
；
2 √3
2 3x2+x
（2）先化简，再求值：(3- )÷ ，其中x=√3+1．
x+1 x+1
4．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1| ，其中x＝9．
+√(x-10) 2
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
+√(x-10) 2=
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+10﹣x＝9．
+√(x-10) 2=
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
5．（2022春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x 1 ，求(1-x) 2 √x2+1-2x的值．
= +
3+2√2 x-1 x2-x√2 √ 2 √3 √ 3 √ 4 √ 4
6．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2 = 2+ ；②3 = 3+ ；③4 = 4+ ．
3 3 8 8 15 15
式①验证：2√2 √23 √(23-2)+2 √2(22-1)+2 √ 2；
= = = = 2+
3 3 22-1 22-1 3
式②验证：3√3 √33 √(33-3)+3 √3(32-1)+3 √ 3．
= = = = 3+
8 8 32-1 32-1 8
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
√ 5
（2）猜想5 = ；
24
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
7．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
； ； ； ；…
√13=√12=1 √13+23=√32=3 √13+23+33=√62=6 √13+23+33+43=√102=10
根据上面的规律，解决问题：
（1） ＝ ；
√13+23+33+43+53+63=
（2）求 （用含n的代数式表示）．
√13+23+33+⋯+n3
8．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这
样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释√8=2√2吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为 8，则它的边长为√8；小正方形的面积为
2，则小正方形的边长为√2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的 2倍，即
√8=2√2．”
√1 √2
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释 = 吗？请你画出相应
2 2
的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．9．（2022春•周至县期末）在一个长为4√5，宽为3√5的矩形内部挖去一个边长为（2√15-√5）的正方
形，求剩余部分的面积．
10．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：
a+b+c
如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 记 p= ， 那 么 三 角 形 的 面 积 为
2
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
1
11．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2√4×3，1+ 2
6
√ 1
1× ，5+5 2√5×5．
6
（2）由（1）中各式猜想m+n与2√mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰
好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
