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专题 01 二次根式化简的四种题型全攻略
类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例．等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． 或 D．
【变式训练1】已知 ， 为实数，且 ，则 ________．
【变式训练2】已知a，b，c是 的三边长，且满足关系 的形状是
_______．
【变式训练3】若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足 ，求此等腰三角形周长．
类型二、利用数轴化简二次根式
例．实数 在数轴上的对应点如图所示，化简 的结果是是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】已知实数 在数轴上的对应点如图所示，化简 ＝_____
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3】已知实数 、 、 表示在数轴上如图所示，化简 ．
【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：
．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．已知，化简： ， __________．
例2. 的三边长分别为1、k、3，则化简 _____．
【变式训练1】已知 ，化简二次根式 的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】若 ，则 _______；
【变式训练3】化简： _______．【变式训练4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
类型四、双重二次根式的化简
例.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进
一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简 ；
（2）化简 ；
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设 ，
易知
故 ，由
解得 ，即 ．
根据以上方法，化简
【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ① ． ② ．
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简 中发现：首先把化为 ﹐由于 ， ，即： ， ，所以
，
问题：
（1）填空： __________， ____________﹔
（2）进一步研究发现：形如 的化简，只要我们找到两个正数a，b（ ），使 ， ，
即 ， ﹐那么便有： __________．
（3）化简： （请写出化简过程）
【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝
，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
2．化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则 的平方根是______．
5．设 ， 是整数，方程 有一个实数根是 ，则 ___________．
6．已知 、 为实数， ，则 的值等于______．
7．已知实数 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
8．阅读：根据二次根式的性质，有： ．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简 ．
解：设 （ ， 为非负有理数），则 ．
∴
由①得， ，代入②得： ，解得 ，
∴ ，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出 的化简结果是__________；
(2)化简 ；
(3)判断 能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2 和b＝3
的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4 ，d＝2 大小，c d（填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝ ，n＝ 之间的大小，并证明．
(3)化简： ＝ （直接写出答案）．
10．（1）已知 、 为实数，且 ，求 、 的值．
（2）已知实数 满足 ，求 的值．
