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专题 04 勾股定理与几何图形的三种考法全攻略
类型一、折叠问题
例1．如图，将等边 折叠，使得点C落在 边上的点D处， 是折痕，若 ， ，
则 的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵将等边 折叠，使得点C落在 边上的点D处，
∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
例2.如图，在长方形 中， ，点 为边 上的一个动点，把 沿 折叠，若点
的对应点 刚好落在边 的垂直平分线 上，则 的长为____________．【答案】
【详解】解：∵四边形 为矩形， ， 是边 的垂直平分线，
∴ ， ， ，
∴四边形 为矩形， ，
根据折叠的性质，可知 ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，过点A分别作 轴于点B，
轴于点C，点D在射线 上．将 沿直线 翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐
标为____________．【答案】 或 或
【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作 ．
设 ，
由题意可得， ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ， ，
在Rt 中， ，
∴ ．
在Rt 中， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴点D的坐标是 ．
②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，，这时 ， ，
可求出D点坐标为 ；
③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，
，在Rt 中，
，
则 ，
Rt 中，设 ，
利用勾股定理
得到 ，
解得
D点坐标为故：D的坐标为 或 或 ．
【变式训练2】如图，在 中， ，点 、 是边 上的点，点 在边 上，连接 、
，将 分别沿直线 和 折叠，使点 、 的对称点重合在边 上的点 处．若 ，
，则 的长是______．
【答案】
【详解】解： ，
.
由翻折可知：
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理得：
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练3】如图，将长方形 沿着 折叠，使得点D恰好落在 边上的 处，若 ，
，则 的面积为_____．【答案】45
【详解】解：过点E作 ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理可得， ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则
，
根据勾股定理可得：
解得 ，
，
∴
-故答案为：45．
【变式训练4】如图， 纸片中， ， ， ， ，点D在边BC上，以AD为折痕 折叠得到 ， 与边BC交于点E，若 为直角三角形，则BD的长是______．
【答案】 或
【详解】解：∵ 纸片中， ， ，
∴ ，
∵以 为折痕， 折叠得到 ，
∴ ， ， ．
当 时，如图1所示，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
当 时，如图2所示， C与点E重合，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练5】如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把 沿 折叠，当
点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为______．【答案】 或
【详解】解：如图，连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交 于点
点 的对应点 落在 的角平分线上，
，
设 ，则 ，
，
又折叠图形可得 ，
，解得 或 ，
即 或 ．
在 中，设 ，
当 时， ， ， ，
，
解得 ，即 ，
当 时， ， ， ，
，
解得 ，即 ．
故答案为： 或 ．
类型二、勾股弦图
例.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交 于点 ，如图所示，若正方形 的面
积为 ， ，则 的值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．7
【答案】B
【详解】∵正方形 的面积为 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，则 的值是 ；
故选：B．
【变式训练1】阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的
正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式 给予解释．图乙中的 是一个直
角三角形， ，人们很早就发现直角三角形的三边 ，b，c满足 的关系，我国汉代“赵
爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．
请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______（直接填写图序号）．
【答案】③④
【详解】解：①长方形的面积： ，② ，
③ ，整理，得 ，
④ ，整理，得 ，
故答案为：③④．
【变式训练2】我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边
为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元 年 公元 年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直
角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形是由两个完全相同的
“勾股形”拼接而成，若 ， ，则长方形的面积为______．
【答案】
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
整理得， ，即 ，而长方形面积为 ，
即该长方形的面积为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】如图， 、 、 、 为四个全等的直角三角形， 与 、 、
分别交于点 、 、 ，且满足 ，则两个阴影部分的面积和与四边形 面积的比值为
___________．
【答案】
【详解】解：∵ 、 、 、 为四个全等的直角三角形，
∴ ， ，四边形 是正方形， ， ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，
，
∴两个阴影部分的面积和与四边形 面积的比值为 ．
故答案为： ．
【变式训练4】如图，其中 、 、 和 是四个全等的直角三角形，四边形 和
都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设 ， ， ，取
， ．
(1)填空：正方形 的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________．
(2)求 的值．
【答案】(1)16；384
(2)28
【详解】（1）解：设 ， ， ，取 ， ．
正方形 面积为： ，
正方形 面积为： ，
根据图形可知：四个直角三角形的面积和等于正方形 与正方形 面积之差，
即： ，
故答案为：16；384；（2）解：在（1）中，有：四个直角三角形的面积和
又∵ ， ， ，
∴ ，
整理，可得： ，
由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ．
∴ （负值舍去），
即值为28．
类型三、网格问题
例．如图， 的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ 边长的高为： ，故B正确．
故选：B．
【变式训练1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接 、 ，
，
，
设C点到 的距离为h，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【变式训练2】如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有 ，则 的度数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长 到点 ，使得 ，连接 ，如下图：
由勾股定理得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式训练3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点在如图所示的网格中求作一点
C，使得 且 的面积等于 ，则此时 的长为______．
【答案】
【详解】∵ ，∴
∵ 的面积等于 ，
∴点C所在的位置如图所示，
∴ ，故答案为：
【变式训练4】如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，M，F均在
格点上，且 与 交于点E．
(1) 与 全等吗？________（填“全等”或“不全等”）；理由是________；
(2) 与 是否垂直？________（填“是”或“否”）；
(3)求 的长．
【答案】(1)全等， ；(2)是
(3)
【详解】（1）全等，理由如下：
根据网格图可知： ， ， ，∴ ；
故答案为：全等； ；
（2）是，理由如下：∵在（1）中已证明 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；故答案为：是；
（3）∵在（2）已证明 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
