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专题6 二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训
类型一 易错题：教材易错易混题集训
易错点1 考虑问题不全面
√ 1
典例1（2021春•任城区期中）使代数式√x-3+ 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+2
A．x＞﹣2 B．x≥3 C．x≥3且x≠﹣2 D．x≥﹣2
思路引领：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
{x-3≥0
解：由题意可知： ，
x+2＞0
解得：x≥3，
故选：B．
总结提升：本题考查二次根式以有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式的条件，本题属于基础
题型．
变式训练
√1+3x
1．（2019•易门县一模）代数式 有意义，则x应满足的条件是（ ）
x-3
1 1 1
A．x≠3 B．x≤- C．x≥- 且x≠3 D．x＞- 且x≠3
3 3 3
思路引领：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，1+3x≥0，x﹣3≠0，
1
解得，x≥- 且x≠3，
3
故选：C．
总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负
数、分式分母不为0是解题的关键．
易错点2 运用 时，忽略a≥0
典例2（2022春•乐陵市期末）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简√5-2√6
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
√5-2√6=√2-2√2×3+3①=√ (√2) 2-2√2×√3+(√3) 2 ②
=√ (√2-√3) 2 ③
=√2-√3④
在上述化简过程中，第 ④ 步出现了错误，化简的正确结果为 √3-√2 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简√8+4√3．
思路引领：（1）根据算术平方根的性质√a2=|a|即可进行判断；
（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．
解：（1）在化简过程中④步出现了错误，化简的正确结果是√3-√2．
故答案是：④，√3-√2；
（2）原式=√6+2√6+2
=√(√6) 2+2√6+(√2) 2
=√(√6+√2) 2
=√6+√2．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．
变式训练
1．化简：√3-2√2= ．
思路引领：根据二次根式的性质和完全平方公式化简即可．
解：√3-2√2
=√1-2√2+2
=√(√2-1) 2
=√2-1，
故答案为：√2-1．
总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
1 √ 1 1
2．对于题目：“化简并求值： + ( -a) 2，其中a= ”，甲、乙两人的解答不同．
a a 5
1 √ 1 1 1 2 49
甲的解答是： + ( -a) 2= + -a = - a = ，
a a a a a 51 √ 1 1 1 1
乙的解答是： + ( -a) 2= +a- =a = ．
a a a a 5
阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？
1
思路引领：已知二次根式具有双重非负性，即被开方数为非负数，二次根式的值为非负数，已知 a=
5
1 1 √ 1 1
，故可得 -a＝5- ＞0，根据二次根式的值非负可得 ( -a) 2= -a，再对待求式进行化简求值即可
a 5 a a
解答题目．
解：乙错误，
理由如下：
1 √ 1
+ +a2-2
a a2
1 √ 1 2
= + ( -a)
a a
1 1
= +| -a|．
a a
1
∵a= ，
5
1 1 24
∴ -a＝5- = ＞0，
a 5 5
1 1
∴| -a|= -a，
a a
1 √ 1 1 1 2 49
+ +a2-2= + -a= -a= ．
a a2 a a a 5
故乙的解答是错误的．
总结提升：本题考查分式的化简求值，正确进行计算是解题关键．
易错点3 忽视二次根式的隐含条件
典例3阅读下列解答过程，判断是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出正确的解答过程．
√ 1
已知a为实数，化简√-a3-a - ．
a
√ 1 1
解：√-a3-a - =a√-a-a• √-a=a√-a-√-a=（a﹣1）√-a．
a a思路引领：先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，再进行化简．
解：不正确，
∵﹣a3＞0，
∴a＜0，
√ 1
∴√-a3-a -
a
＝﹣a√-a+√-a
＝（﹣a+1）√-a．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•长安区期中）求代数式a+√a2-2a+1的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过
程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式＝a+√(a-1) 2=a+1﹣a＝1
小亮：
解：原式＝a+√(a-1) 2=a+a﹣1＝﹣4045
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2√a2-6a+9的值，其中a＝4-√5．
思路引领：（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．
解：（1）∵a＝﹣2022，
∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，
∴√(a-1) 2=1﹣a，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）∵a＝4-√5，
∴a﹣3＝4-√5-3＝1-√5＜0，∴√(a-3) 2=3﹣a，
则a+2√a2-6a+9
＝a+2√(a-3) 2
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
当a＝4-√5时，原式＝6﹣（4-√5）＝2+√5．
总结提升：本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握√a2=|a|是解题的关键．
易错点4 忽视 成立的条件是a≥0，b≥0
典例4（2022春•广西月考）如果√x(x-1)=√x⋅√x-1成立，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0
C．0≤x≤1 D．x为任意实数
思路引领：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解．
{ x≥0
解：由题意可得 ，
x-1≥0
解得：x≥1，
故选：A．
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件√a（a≥0）是解题关键．
变式训练
1．（2021春•饶平县校级期中）如果√(x+1) 2 (x+2)=-(x+1)√x+2，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣2 C．x≤﹣1 D．﹣2≤x≤﹣1
{x+1≤0
思路引领：根据二次根式化简与有意义的条件，即可求得： ，解此不等式组即可求得答案．
x+2≥0
解：∵√(x+1) 2 (x+2)=√(x+1) 2•√x+2=-（x+1）•√x+2，
{x+1≤0
∴ ，
x+2≥0
解得：﹣2≤x≤﹣1．
故选：D．总结提升：此题考查了二次根式化简与有意义的条件．此题比较简单，注意掌握二次根式有意义的条件．
易错点5 运用想当然的运算法则
典例5（2021秋•盐湖区校级期末）在计算√6×2√3-√24÷√3时，小明的解题过程如下：
√24
解：原式=2√6×3- ⋯⋯①
3
=2√18-√8⋯⋯②
=(2-1)√18-8⋯⋯③
=√10⋯⋯④
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
思路引领：根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：（1）③，
故答案为：③．
（2）原式＝2√18-√8
＝6√2-2√2
＝4√2．
总结提升：本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．
变式训练
1．（2022春•西湖区期末）小明计算√18-√2的解答过程如下：√18-√2=√18-2=√16=4．他的解答过
程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
思路引领：根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．
解：有错误，
√18-√2
＝3√2-√2
＝2√2．
总结提升：本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．
易错点6 误用乘法公式
典例6 （2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并
完成相应任务．
（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+（√5）2﹣（√6）2+（√5）2……第一步＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学
提一条建议．
思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；
任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，
故答案为：一，完全平方公式运用错误；
任务二：（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+2√30+（√5）2﹣[（√6）2﹣2√30+（√5）2]
＝6+2√30+5﹣（6﹣2√30+5）
＝6+2√30+5﹣6+2√30-5
＝4√30；
任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
易错点7 运用运算律出现符号错误
典例7（2022秋•迎泽区校级月考）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
√5 1
-√20×(√5+ )
4 √5
√5 1
= -√20×√5+√20× ⋯⋯
第一步
4 √5
¿ ¿
√5
= -10+2……第二步
2
√5
= -8……第三步
2
任务一：以上化简步骤中第一步中：标①的运算依据是 ；标②的运算依据是 （运算
律）．
任务二：第 步开始出现错误，错误原因是 ，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．
√5 √5
解：任务一、①由 得 ，依据是二次根式的性质；标②的运算依据是乘法的分配律；
4 2
故答案为：二次根式的性质．乘法的分配律；
任务二、从第二步开始出现错误．
√5 1
-√20×(√5+ )
4 √5
√5 1
= -√20×√5-√20×
√4 √5
√5 √20
= -√20×5-
2 5
√5
= -√100-√4
2
√5
= -10﹣2
2
√5
= -12，
2
√5
故答案为：任务一：二次根式的性质；乘法的分配律．任务二：①，分母丢了根号， -12．
2
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．
变式训练
√4 1
1．（2022春•大同期末）下面是小明同学计算 - (√12-√75)的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3 2
√4 1
解： - (√12-√75)
3 2
2√3 1
= - (2√3-5√3)⋯⋯第一步
3 2
2√3 1 1
= - ×2√3- ×5√3⋯⋯第二步
3 2 2
2√3 5√3
= -√3- ⋯⋯第三步
3 2
4√3 6√3 15√3
= - - ⋯⋯第四步
6 6 6
17√3
=- ⋯⋯第五步
6任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请你写出正确的计算过程．
思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号
内第二项没有变号，
故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；
√4 1
（2）任务二： - (√12-√75)
3 2
2√3 1
= - (2√3-5√3)
3 2
2 5
= √3-√3+ √3
3 2
13
= √3．
6
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点8 滥用运算律
典例8（2021秋•迎泽区校级月考）下面是小倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
√5 1
+√20÷(√5- )
4 √5
√5 1
= +√20÷(√5- )⋯第一步
√4 √5
√5 1
= +√20÷√5-√20÷ ⋯第二步
2 √5
√5
= +2-√20×√5⋯第三步
2
√5
= +2﹣10…第四步
2
√5
= -8…第五步
2
任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．
任务二：第 二 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．
思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．
√5 √5
解：任务一、由 得 ，依据是二次根式的性质．
4 2故答案为：二次根式的性质．
任务二、从第二步开始出现错误．
√5 1
+√20÷(√5- )
4 √5
√5 5 1
= +√5÷（ - ）
2 √5 √5
√5 4
= +2√5÷
2 √5
√5 √5
= +2√5×
2 4
√5 5
= +
2 2
5+√5
= ．
2
5+√5
故答案为：二、 ．
2
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．
类型二 疑难题：常考疑难问题突破
疑难点1 二次根式非负性的应用
1．已知实数a满足|2019﹣a|+√a-2019=a，求a﹣20192的值．
思路引领：首先由二次根式有意义的条件来去绝对值，得到 a﹣2019+√a-2019=a，由此得到a﹣
20192＝2019．
解：∵a﹣2019≥0，
∴a＞2019．
∴由|2019﹣a|+√a-2019=a得到a﹣2019+√a-2019=a，
整理，得a﹣2019＝20192．
∴a﹣20192＝2019．
总结提升：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的
被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
疑难点2 整体思想在二次根式中的应用
a b
2．（2018春•禹州市期中）已知a=√3+1，b=√3-1，求√ab（ + -1）的值
b aa2+b2-ab (a+b) 2-3ab
思路引领：先由a、b的值计算出ab、a+b的值，再代入到原式=√ab• = 计算
ab √ab
可得．
解：∵a=√3+1，b=√3-1，
∴a+b＝2√3、ab＝（√3+1）（√3-1）＝2，
a2+b2-ab
则原式=√ab•
ab
(a+b) 2-3ab
=
√ab
(2√3) 2-3×2
=
√2
12-6
=
√2
＝3√2．
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算
法则及完全平方公式．
2
3．（1）已知x = ，求x2﹣2x+5的值；
√3-1
a √b
（2）若a＝2+√3，b＝2-√3，求 - 的值．
a-√ab √a+√b
思路引领：（1）先把x2﹣2x+5化简，再代入求值；
a √b
（2）先把 - 化简，再把已知条件代入求值．
a-√ab √a+√b
2 2(√3+1)
解：（1）由x= = =√3+1，
√3-1 (√3-1)(√3+1)
∴x2﹣2x+5＝（√3+1）2﹣2（√3+1）+5
＝4+2√3-2√3-2+5＝7；
a √b √a⋅√a √b √a √b
- = - = -
（2）
a-√ab √a+√b (√a) 2-√ab √a+√b √a-√b √a+√b(√a)
2+√ab-√ab+b
a+b
= = ，
a-b a-b
当a＝2+√3，b＝2-√3时，
2+√3+2-√3 2√3
原式= = ．
2+√3-2+√3 3
总结提升：先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导
致繁琐的运算．
疑难点3 判断求知问题
4．（2019春•西湖区校级期中）王老师为了解学生掌握二次根式知识的情况，出了这样一道题：“根据所
给条件求式子√45-x2+√35-x2的值．”粗心的黎明同学把式子看错了，他根据条件得到“
√45-x2-√35-x2=2”．你能利用黎明同学所求的结论求出√45-x2+√35-x2的值吗？
思路引领：运用平方差公式可求出两式之积，又知√45-x2-√35-x2=2，继而求出答案．
解：（√45-x2+√35-x2）（√45-x2-√35-x2）＝45﹣x2﹣（35﹣x2）＝10，
∵√45-x2-√35-x2=2，
∴√45-x2+√35-x2=5．
总结提升：本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，关键是平方差公式的运用．
类型三 综合拓展题：思维能力专项特训
专题1 二次根式性质的应用
1．（2022秋•宛城区校级月考）若√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
思路引领：因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若
√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，则a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，联立组成方程组，解出a和b的值即可解答．
解：∵√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，
{a+b+5=0
∴ ，
2a-b+1=0{a=-2
解得 ，
b=-3
∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
总结提升：本题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，根据几个非负数的和等于0，则每一个算
式都等于0列出关于a、b的方程是解题的关键．
1
2．已知x、y为实数，且y=√3x-4+√4-3x+ ，求5x﹣3y的值．
2
思路引领：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，计算即可．
解：由题意得，3x﹣4≥0，4﹣3x≥0，
4
解得，x= ，
3
1
∴y= ，
2
4 1 31
则5x﹣3y＝5× -3× = ．
3 2 6
总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2022春•大连月考）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a-1|-√(a-2) 2的结果是（
）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
思路引领：根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．
4．当x为何值时，√2x+1+6有最小值，最小值为多少？
思路引领：根据√2x+1≥0，可以得出最小值．
解：∵√2x+1≥0，1
∴当x=- 时，√2x+1+6有最小值，最小值为6．
2
总结提升：本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的非负性．
5．（2019秋•渠县校级期中）已知x、y、a满足：√x+ y-8+√8-x- y=√3x- y-a+√x-2y+a+3，
求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积．
{
3x- y-a=0
思路引领：直接利用二次根式的性质得出x+y＝8，进而得出： x-2y+a+3=0，进而得出答案．
x+ y=8
{x+ y-8≥0
解：根据二次根式的意义，得 ，
8-x- y≥0
解得：x+y＝8，
∴√3x- y-a+√x-2y+a+3=0，
{
3x- y-a=0
根据非负数得： x-2y+a+3=0，
x+ y=8
{x=3
解得： y=5，
a=4
1
∴可以组成直角三角形，面积为： ×3×4＝6．
2
总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，正确应用二次根式的性质是解题关键．
专题2 二次根式大小比较
方法1 平方法
1．（2022•苏州模拟）比较大小√15+√5 √13+√7．
思路引领：首先分别求出√15+√5、√13+√7的平方各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出
√15+√5、√13+√7的平方的大小关系，即可判断出√15+√5、√13+√7的大小关系．
解：(√15+√5) 2=20+2√75
(√13+√7) 2=20+2√91
∵√75＜√91，
∴20+2√75＜20+2√91，
∴√15+√5＜√13+√7．
故答案为：＜．总结提升：（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实
数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系．
方法2 分子有理化法
2．认真阅读下列解答过程：
比较2-√3与√3-√2的大小．
2+√3 1
解：∵2-√3=（2-√3）• = ，
2+√3 2+√3
√3+√2 1
√3-√2=（√3-√2）• = ，
√3+√2 √3+√2
1 1
又2+√3＞√3+√2＞0，∴ ＜ ，
2+√3 √3+√2
即2-√3＜√3-√2．
请仿照上述方法比较√6-√5与√5-2的大小关系．
思路引领：认真阅读题目，然后依据题目所给的方法进行比较即可．
√6+√5 1
解：∵√6-√5=（√6-√5）• = ，
√6+√5 √6+√5
√5+2 1
√5-2=（√5-2）• = ，
√5+2 √5+2
又√6+√5＞√5+2＞0，
1 1
∴ ＜ ．
√6+√5 √5+2
即√6-√5＜√5-2．
1 1
总结提升：本题主要考查的是比较实数的大小，求得√6-√5= ，√5-2= 是解题的关键．
√6+√5 √5+2
方法3 作商法
3．利用作商法比较大小
√a+1 √a+2
比较 与 的大小．
√a+2 √a+3
思路引领：根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．
√a+1
√a+2 √a+1 √a+3 a+3+4√a
解： = × = ＜1，
√a+2 √a+2 √a+2 a+4+4√a
√a+3√a+1 √a+2
∴ ＜ ．
√a+2 √a+3
总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确作商法比较大小的方法．
方法四 定义法
4．比较√5-a与√3 a-6的大小．
思路引领：根据非负数的性质和有理数大小的比较方法即可得到结论．
解：∵5﹣a≥0，
∴a≤5，
∴a﹣6＜0，
∴√5-a≥0，√3 a-6＜0，
∴√5-a＞√3 a-6．
总结提升：本题考查的是实数的大小比较，要善于借助一个中间数作桥梁是解决问题的关键．
专题3 二次根式的运算
5．（2019秋•皇姑区校级月考）计算：
（1）2√3-3√12+5√27．
（2）(2√48-3√27)÷√3．
（3）(1+√3)(√2-√6)-(2√3-1) 2．
√3
（4）√12-( ) -1+√3(√3-1)-20180-|√3-2|．
3
思路引领：（1）直接化简二次根式进而合并即可；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则进而得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算进而得出答案；
（4）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简进而得出答案．
解：（1）原式＝2√3-6√3+15√3
＝11√3；
（2）原式＝（8√3-9√3）÷√3
＝﹣1；
（3）原式=√2-√6+√6-3√2-（12+1﹣4√3）
=√2-3√2-13+4√3＝﹣2√2-13+4√3；
（4）原式＝2√3-√3+3-√3-1﹣2+√3
=√3．
总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
专题4 二次根式的求值
6．（2022秋•宁德期中）已知：x=√3+√2，y=√3-√2．
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
思路引领：（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
解：（1）|x﹣y|＝|（√3+√2）﹣（√3-√2）|
＝|√3+√2-√3+√2|
=2√2．
故答案为：2√2．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，
∵x﹣y＝（√3+√2）﹣（√3-√2）=2√2，
∴（x﹣y）2﹣3xy=(2√2) 2=8．
即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．（2020春•川汇区期末）计算题：
1 1
已知x+ =√5，求x- 的值．
x x
思路引领：根据平方差公式计算；
1
∵x+ =√5，
x
1
∴（x+ ）2＝（√5）2，
x
1
∴x2+2 + = 5，
x2
1
∴x2﹣2 + = 5﹣4，
x21
∴（x- ）2＝1，
x
1
∴x- =±1．
x
总结提升：本题考查的是分式的化简求值、二次根式的乘法，熟记平方差公式、完全平方公式是解题的
关键．
8．（2017 秋•昌江区校级期末）已知正数 m、n 满足 m+4√mn-2√m-4√n+4n＝3，求值：
√m+2√n-2
．
√m+2√n+2012
思路引领：由m+4√mn-2√m-4√n+4n＝3得出（√m+2√n）2﹣2（√m+2√n）﹣3＝0，将√m+2√n看
作整体可得√m+2√n=-1（舍）或√m+2√n=3，代入计算即可．
解：∵m+4√mn-2√m-4√n+4n＝3，
∴（√m）2+2√m•（2√n）+（2√n）2﹣2（√m+2√n）﹣3＝0，
即（√m+2√n）2﹣2（√m+2√n）﹣3＝0，
则（√m+2√n+1）（√m+2√n-3）＝0，
∴√m+2√n=-1（舍）或√m+2√n=3，
3-2 1
∴原式= = ．
3+2012 2015
总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式
性质．
类型四 中考真题：精选2022中考真题过关
1．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√a2+1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根据√a2=|a|和绝对值的性质化简即可．
解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．故选：B．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握√a2=|a|是解题的关键．
√1
2．（2022•安顺）估计（2√5+5√2）× 的值应在（ ）
5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
思路引领：直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
解：原式＝2+√10，
∵3＜√10＜4，
∴5＜2+√10＜6，
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
3．（2022•湘西州）要使二次根式√3x-6有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题
的关键．
1
4．（2022•广州）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
1
解：代数式 有意义时，x+1＞0，
√x+1
解得：x＞﹣1．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关
键．
5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=√2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s
为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=√2as，再根据二次根式的性质化简即可．
解：v=√2as=√2×5×105×0.64=8×102（m/s），
故选：D．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式
为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2022•绥化）若式子√x+1+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≤﹣1且x≠0
1
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=
（a≠0）即可得出答案．
ap
解：∵x+1≥0，x≠0，
∴x≥﹣1且x≠0，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a
1
﹣p=
（a≠0）是解题的关键．
ap
7．（2022•荆州）若3-√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+√2a）•b的值是 ．
思路引领：根据√2的范围，求出3-√2的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
解：∵1＜√2＜2，
∴1＜3-√2＜2，
∵若3-√2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝3-√2-1＝2-√2，
∴（2+√2a）•b＝（2+√2）（2-√2）＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．
8．（2022•随州）已知m为正整数，若√189m是整数，则根据√189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可知
√300
m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
n
√300 √3 √300 √300 300
思路引领：先将 化简为10 ，可得n最小为3，由 是大于1的整数可得 越小，
n n n n n√300
越小，则n越大，当 =2时，即可求解．
n
√300 √3×100 √3
解：∵ = =10 ，且为整数，
n n n
∴n最小为3，
√300
∵ 是大于1的整数，
n
√300 300
∴ 越小， 越小，则n越大，
n n
√300
当 =2时，
n
300
=4，
n
∴n＝75，
故答案为：3；75．
总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词
“大于”，“整数”进行求解．
9．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|-√(b-1) 2+√(a-b) 2= ．
思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可
以将所求式子化简．
解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|-√(b-1) 2+√(a-b) 2
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．1
10．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y=√x-2+√2-x+ ，则√x⋅√y的值是 ．
8
思路引领：根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．
1
解：∵y=√x-2+√2-x+ ，
8
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
1
∴x＝2，y= ，
8
√1 √1 1
则原式=√2× = = ，
8 4 2
1
故答案为：
2
总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2022•济宁）已知a＝2+√5，b＝2-√5，求代数式a2b+ab2的值．
思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．
解：∵a＝2+√5，b＝2-√5，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+√5）（2-√5）（2+√5+2-√5）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12．（2022•河池）计算：|﹣2√2|﹣3﹣1-√4×√2+（ ﹣5）0．
思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指π数幂和二次根式乘法，再合并即可．
1
解：原式＝2√2- -2√2+1
3
2
= ．
3
总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
√2
13．（2022•泰州）（1）计算：√18-√3× ；
3
（2）按要求填空：2x 1
-
小王计算 的过程如下：
x2-4 x+2
2x 1
-
解：
x2-4 x+2
2x 1
= - ⋯⋯第一步
(x+2)(x-2) x+2
2x x-2
= - ⋯⋯第二步
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
2x-x-2
= ⋯⋯第三步
(x+2)(x-2)
x-2
= ⋯⋯第四步
(x+2)(x-2)
1
= ．……第五步
x+2
小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直
接写出正确的计算结果是 ．
思路引领：（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
√ 2
解：（1）原式＝3√2- 3×
3
＝3√2-√2
＝2√2；
2x 1
（2） -
x2-4 x+2
2x 1
= -
(x+2)(x-2) x+2
2x x-2
= -
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
2x-(x-2)
=
(x+2)(x-2)
2x-x+2
=
(x+2)(x-2)
x+2
=
(x+2)(x-2)
1
= ，
x-21
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
x-2
1
故答案为：因式分解，三， ．
x-2
总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
