文档内容
19.1 二次根式及其性质（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课从实际问题出发，用含有根号的式子表示数量和数量关系，归纳得到二次根式的概念，并探索
二次根式有意义的条件。
2. 内容分析
本节课是“数与代数”领域的重要内容，承接算术平方根的知识，是后续学习二次根式运算以及解无
理方程的基础。从实际问题引入，通过用含根号的式子表示数量和数量关系，让学生经历“具体情境→数
学抽象→概念形成”的过程，符合学生从具象到抽象的认知规律。二次根式的概念界定与有意义的条件探
究，是本节课的核心，前者是对“形如√a (a≥0)的式子”的本质概括，后者则是对二次根式中被开方数取
值范围的精准把握，二者共同构成了本节课的知识框架，也为培养学生的数学抽象、逻辑推理素养搭建了
载体。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解二次根式的概念，探索二次根式有意义的条件。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件，发展推理能力。
（2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，发展抽象能力和应用意识。
2. 目标解析
（1）让学生经历从特殊到一般的抽象过程，得到二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件时，
需结合算术平方根的非负性进行推理，培养学生严谨的逻辑思维能力。
（2）学生将实际问题中的几何量、物理量等抽象为二次根式的数学表达式，建立实际问题与数学符
号之间的联系，体现“用数学的语言表达现实世界”的学科价值。这一过程也能提升学生分析问题、解决
问题的能力，强化数学与生活的关联。
三、教学问题诊断分析
1. 有意义条件的易错点
学生易忽略被开方数非负的隐含条件，例如误将√−2当作二次根式。
√x−2
当被开方数为含字母的代数式时（例如 ），学生容易遗漏分母不为零的附加条件，或在解不等
x−1
式时出现符号错误。
2. 认知衔接的断层点本节课的知识基础是算术平方根，但部分学生对“非负数才有算术平方根”这一前提记忆模糊，导致
在探索二次根式有意义的条件时，缺乏理论支撑，出现逻辑断层。同时，学生对“代数式”的概念缺乏系
统梳理，容易将二次根式与整式、分式割裂看待。
应对策略：让学生明确被开方数非负的原因，设计对比练习，促进学生的反思总结。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索二次根式有意义的条件。
四、教学过程设计
（一）情境引入
引言 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区
域就越广.
实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系r=√2Rℎ ，其中R是地
球半径，R≈6400 km.
整式，分式和含有根号的式子都可以表示数量和数量关系。
设计意图：联系实际，激发兴趣：用广播电视塔的高度与信号传播半径的实际例子，联系数学知识和
生活实际，让抽象的式子变得有实际意义，吸引学生的注意力。
自然引出新内容：借助√2Rℎ 这个含根号的式子，顺势衔接之前学过的整式、分式，点明 “含根号
的式子也能表示数量关系”，为后续学习二次根式等内容做铺垫。
构建知识体系：把整式、分式、含根号的式子归为一类（都能表示数量关系），帮学生梳理知识间的
关联，形成更完整的代数式认知框架。
（二）合作探究
思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m²,则它的宽为 √65 m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形
的边长为 .
√a2+1
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h (单位：
√ℎ
m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 .
5
观察归纳（1）这些式子分别表示什么意义？
ℎ
答：分别表示65，a2+1， ，2Rh的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
答：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
二次根式的概念
一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.
设计意图：通过实例具象化概念：借助长方形围栏、正方形面积、自由落体时间这 3 个不同场景的
实际问题，让学生用含根号的式子表示数量关系，把抽象的 “二次根式” 和具体情境相关联，降低理解
门槛。
引导自主归纳特征：通过 “观察归纳” ，让学生自主发现这些式子的共同特点（表示非负数的算术
平方根），培养其观察、总结的能力，而非直接灌输概念。
自然导出核心概念：从实例和归纳的特征，顺理成章引出 “二次根式” 的定义，让概念的出现有依
据、有铺垫，帮助学生建立 “从具体到抽象” 的认知逻辑。
（三）典例分析
例1 下列式子，哪些是二次根式？
， ， ， ， ， .
√5 √x2+1 √321 √−3 √a−2(a≥2） √a−b(a0， ∴AB=√6.
答：AB的长为√6.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结（六）感受中考
1．（2025·江苏镇江）使二次根式√2x−4有意义的x的取值范围是（ A ）
A．x≥2 B．x≤2 C．x>2 D．x<2
2．（2025·西藏）若代数式√2− x有意义，则实数x的取值范围是（ D ）
A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
3．（2025·青海西宁）当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ B ）
√x−1 √x−1 √x−2 √x−2
A． B． C． D．
x−1 x x−1 x
4．（2025·河南）请写出一个使√5− x在实数范围内有意义的x的值： 3 （答案不唯一） ．
5．（2021·浙江衢州）若√x−1有意义，则x的值可以是 3 ．（写出一个即可）
6．（四川凉山）已知y=√2x−5+√5−2x−3，则2xy的值为（ A）
15 15
A． −15 B．15 C．− D．
2 2
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：构建知识关联，降低学习难度：通过 “类比” 分式的知识框架（概念→性质→运算→应
用），梳理二次根式的学习脉络，让学生借助已熟悉的分式知识，快速理解二次根式的学习逻辑，建立新
旧知识的迁移联系。形成结构化认知：将分式和二次根式的知识模块对应呈现，帮助学生把零散的知识点整合为 “概念
- 性质 - 运算 - 应用” 的结构化体系，强化知识的系统性记忆与理解。
引导后续学习方向：既呼应课堂进度，也暗示后续的学习重点，让学生明确接下来的学习脉络。
（八）布置作业
1.必做题：习题19.1 第1，3，7题.
2.探究性作业：习题19.1 第8，10题.
五、教学反思
