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19.1 二次根式及其性质（第 1 课时） 导学案
一、学习目标
1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件，发展推理能力。
2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，发展抽象能力和应用意识。
学习重点：了解二次根式的概念，探索二次根式有意义的条件。
学习难点：探索二次根式有意义的条件。
二、学习过程
（一）情境引入
引言 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区
域就越广.
实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系r=√2Rh，其中R是地
球半径，R≈6400 km.
整式，分式和 的式子都可以表示数量和数量关系。
（二）合作探究
思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m²，则它的宽为 m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形
的边长为 .
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h (单位：
m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 .
观察归纳
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.二次根式也是 .
（三）典例分析
例1 下列式子，哪些是二次根式？
1 / 4
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ， .
√5 √x2+1 √321 √−3 √a−2(a≥2） √a−b(a<b)
例2 当x满足什么条件时，√x−2在实数范围内有意义?
思考 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 呢?
√x2 √x3
（四）巩固练习
1．下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有（ ）
√(x−1) 2 √−3 √ 37 √a2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?
(1)√a−1； (2)√5−a； (3)√2a+1.
4.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义?
2 / 4
学科网（北京）股份有限公司(1) ； (2) .
√a2−2a+1 √−(a−1) 2
√a−1
5.当a=5时， 的值是 .
2
6.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求
r的值.
7.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长.
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·江苏镇江）使二次根式√2x−4有意义的x的取值范围是（ ）
3 / 4
学科网（北京）股份有限公司A．x≥2 B．x≤2 C．x>2 D．x<2
2．（2025·西藏）若代数式√2− x有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2
3．（2025·青海西宁）当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
√x−1 √x−1 √x−2 √x−2
A． B． C． D．
x−1 x x−1 x
4．（2025·河南）请写出一个使√5− x在实数范围内有意义的x的值： ．
5．（2021·浙江衢州）若√x−1有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）
6．（四川凉山）已知y=√2x−5+√5−2x−3，则2xy的值为（ ）
15 15
A． −15 B．15 C．− D．
2 2
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.1 第1，3，7题.
2.探究性作业：习题19.1 第8，10题.
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