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人教版八下期末真题必刷 01（易错 60 题 22 个考点专练）
一．二次根式的定义（共1小题）
1．（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连
接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这样的形式，
我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 都是根分式，已知两个根分式 与
，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在无理数 ，使得 是一个整数；
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将 ， 代入，再求出分式方程的解，
判断即可；对于③，将 ， 代入再整理，讨论得出答案．
【解答】解：根据题意可知 且 ，
解得 ．
所以①不正确；
由 ，得 ，
解得 （不符合题意，舍去）．
不存在实数 ，使得 ．
所以②错误；
根据题意，得 ．
是一个整数，
，
解得 或 ．
为无理数，
所以③不正确．
所以正确的个数为0．
故选： ．【点评】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注
意分类讨论．
二．二次根式有意义的条件（共1小题）
2．（2023春•广安区校级期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质得出 的取值范围，进而求出答案．
【解答】解： 二次根式 有意义，
，
解得： ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
三．二次根式的性质与化简（共1小题）
3．（2022秋•乌鲁木齐期末）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解： ，
选项的结论不正确；
，
选项的结论正确；
，
选项的结论不正确；
，
选项的结论不正确，
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
四．最简二次根式（共1小题）
4．（2023春•江陵县期末）下列各式中是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；、 ，故 不符合题意；
、 是最简二次根式，故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
五．同类二次根式（共1小题）
5．（2023春•重庆期末）下列说法正确的是
A． 是最简二次根式 B． 与 是同类二次根式
C． D． 的化简结果是
【分析】根据同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，分母有理化，二次根式的除法法则，
进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，
与 是同类二次根式，
故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，分母有理化，二次根式的乘
除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
六．二次根式的混合运算（共2小题）
6．（2023春•香河县期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 与 不能合并，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023春•广信区期末）计算：（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
七．函数的图象（共1小题）
8．（2023春•鄂州期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体
育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离 与他所用的时
间 的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 2. 5 ，小明跑步的平均速度为 ；
（2）当 时，请直接写出 关于 的函数表达式；
（3）当小明离家 时，求他离开家所用的时间．
【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为 ，小明跑步的平均速度为：路程 时
间；
（2）是分段函数，利用待定系数法可求；
（3）小明离家 时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家 ，利用
路程 速度可得此时间，第二个时间利用 段解析式可求得．
【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为 ，小明跑步的平均速度为 ；
故答案为：2.5， ；
（2）如图， ， ，设 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
的解析式为： ，
当 时， 关于 的函数表达式为： ；
（3）当 时， ，
，
，
当小明离家 时，他离开家所用的时间为 或 ．
【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是
．
八．动点问题的函数图象（共6小题）
9．（2023春•南阳期末）如图1，在 中，点 从点 出发向点 运动，在运动过程中，设 表示线
段 的长， 表示线段 的长， 与 之间的关系如图2所示，则边 的长是
A． B． C． D．
【分析】根据图象及勾股定理求得 边上的高，再利用勾股定理求解．
【解答】解：作 于点 ，由图象可知， ， ，当 时，点 与 重合，
在 中， ，
，
在 中， ，
故选： ．
【点评】本题考查函数图象与三角形的综合运用，理解图象并掌握勾股定理求三角形的方法是解题的关键．
10．（2023春•长汀县期末）如图1， 中， ，点 是 上一点，过点 作 的垂线 ， 与
边 （或 相交于点 ，设 ， 的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示．下列结论：
①点 的坐标为 ；② 的面积为4；③当 时， ．其中正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据 可判断①；根据图象得到当 时， 的面积 取得最大值4，此时点 与点
重合，可判断②；求出 的解析式，然后将 代入即可判断③．
【解答】解： ，
的最大值为4，即 ，
点 的坐标为 ，故①正确；
由图象可得，当 时， 的面积 取得最大值4，
此时点 与点 重合，
，故②正确；
设 的解析式为 ，
将 ， 代入 得，，解得 ，
，
时， ，故③错误；
综上所述，正确的有①②．
故选： ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是正确分析图象．
11．（2023春•江北区期末）已知矩形 的两条对角线 ， 交于点 ．动点 从点 出发，沿
矩形的边按 的路径匀速运动到点 ．设点 的运动速度为1单位长度 秒，运动时间为 秒，线
段 的长为 ， 与 函数关系的大致图象如图所示，其中 ， 分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，
则 的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意可得出 ， ， ；由矩形的性质可知 和 是等腰三角形，且
当当 运动到 中点时， 取最小值，当 运动到 中点时， 取最小值，分别求解即可得出结论．
【解答】解：根据题意，当 时，点 与点 重合，此时 ，
，
，
当 时，点 与点 重合，
，
结合图象可知， ，
， ；当 运动到 中点时， 取最小值，此时 ；
当 运动到 中点时， 取最小值，此时 ；，
故选： ．
【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关
键是注意动点到达临界前后的图象变化．
12．（2023春•平江县期末）如图①所示（图中各角均为直角），动点 从点 出发，以每秒1个单位长
度的速度沿 路线匀速运动， 的面积 随点 运动的时间 （秒 之间的函数关
系图象如图②所示，下列说法正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，由此选择出正确选项即可．
【解答】解：由图②的第一段折线可知：点 经过4秒到达点 处，此时的三角形的面积为12，
动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 路线匀速运动，
．
，
，
选项不正确， 选项正确；
由图②的第二段折线可知：点 再经过2秒到达点 处，
，
由图②的第三段折线可知：点 再经过6秒到达点 处，
，
由图②的第四段折线可知：点 再经过4秒到达点 处，
．
选项不正确；
图①中各角均为直角，
，
选项的结论不正确，故选： ．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，结合图形与图象求出图形中的线段的长度
是解题的关键．
13．（2023春•郧西县期末）如图（1），点 从菱形 的顶点 出发，沿 以 的速
度匀速运动到点 ，点 运动时， 的面积 随时间 的变化关系图象如图（2），则 的值
是 ．
【分析】通过分析图象，点 从点 到 用 ，此时， 的面积为 ，依此可求菱形的高 ，
再由图象可知， ，应用两次勾股定理分别求 和 ．
【解答】解：过点 作 交 的延长线于点 ，
由图象可知，点 由点 到点 用时为 ， 的面积为 ．
，
，
，
当点 从 到 时，用 ，
，
中， ，
四边形 是菱形，
， ，
在 中， ，解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题综合考查了菱形性质，勾股定理，一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动
点位置之间的关系．
14．（2023春•阳新县期末）如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点
从 点出发，沿 向点 运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函
数关系图象如图②所示．回答下列问题：
（1） 6 ；
（2）当 时， ．
【分析】注意图象2中的 表示的是 的面积，而图1的 的底边 是一个不变量， 的面
积与点 到 边的距离有关，寻找点 的特殊位置，对应 的函数图象，这样可以解题．
【解答】解：（1） 函数图象（图 的 最大值是2，就是对应点 运动到距直线 最远的时刻位置，
点 、 两个时刻，
的面积是2，
矩形的面积 ．
函数图象（图 的 最小值是0，就是对应点 运动到距直线 最近的时刻位置，点 、 两个位置，
时，即是 ，
而第（1）结论矩形面积 ，得到 ，
由这两个方程，可以得到 ， ，（条件 ．
故答案为：4；
（2） 的面积 ，
根据图形②，可以知道这个面积是点 运动到距直线 最远的时刻位置，即点 、 两个时刻．
或 ．
故答案为：2或8．
【点评】此题考查几何的线段长度与图象2中的 的关系，同时△的面积与函数图象中 的关系，根据几
何图形特点，发现△的面积 只与点 到 边的距离有关，寻找点 的特殊位置，结合对应 的函数图
象，这样可以解题．九．一次函数的性质（共2小题）
15．（2023春•临沂期末）一次函数 的图象经过第 象限．
A．一、三、四 B．一、二、三 C．一、二、四 D．二、三、四
【分析】依据题意，由 可知直线与 轴交于 点，且 随 的增大而增大，可判断直线所经过
的象限．
【解答】解：直线 与 轴交于 点，
且 ， 随 的增大而增大，
直线 的图象经过第一、三、四象限．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质．关键是根据图象与 轴的交点位置，函数的增减性判断图象经
过的象限．
16．（2023春•滨海新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于
点 、 ，且点 为 ，四边形 是正方形．
（1）填空： 3 ；
（2）求点 的坐标；
（3）若 为 轴上的动点， 为 轴上的动点，求四边形 周长的最小值．
【分析】（1）把 代入 即可求得 的值；
（2）过点 作 轴于点 ，证明 ，即可求得 和 的长，则 的坐标即可求得；
（3）依据题意，画出图形，由对称性可得四边形 周长的最小值，结合（2）得出 的坐标，从而可
以求出周长最小值．
【解答】解：（1）把 代入 ，得： ，解得： ，
故答案为：3．
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，正方形 中， ，
．
又 直角 中， ，
．
在 和 中，
，
．
， ．
．
点 的坐标为 ．
（3）由题意， 为 轴上的动点， 为 轴上的动点，四边形 周长取最小值，
作 关于 轴的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，连接 ，则四边形 周长取最小值为
，如图2．
由（2）得， ， ，
．
．仿照（2）可得 ．
由对称性，
， ．
．
四边形 周长取最小值为 ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称的性质，解题时熟练掌握相关性质并能灵活运用
是关键．
一十．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
17．（2023春•武侯区期末）定义：在平面直角坐标系 中，若点 关于直线 的对称点 在
的内部（不包含边界），则称点 是 关于直线 的“伴随点”．如图，已知 ，
， 三点，连接 ，以 ， 为边作 ．若在直线 上存在点 ，使得点
是 关于直线 的“伴随点”，则 的取值范围是 ．
【分析】直线 过点 和 ，它们关于直线 的对称点分别是 和 ，从而利
用待定系数法求出直线 关于直线 的对称直线，然后代入临界点求出 的取值范围．
【解答】解：对于直线 ，
当 时， ；当 时， ．
直线 过点 和 ，它们关于直线 的对称点分别是 和 ．
设直线 关于直线 的对称直线是 ，
将 和 分别代入 ，得 ，解得 ．
直线 关于直线 的对称直线是 ．
当 在直线 上时，有 ，解得 ；
当 在直线 上时，有 ，解得 ．
对称点 在 的内部（不包含边界），
．
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数的性质及平行四边形的性质．深刻理解题意和熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
18．（2023 春•广阳区期末）一次函数 的图象经过点 ，若自变量 的取值范围是
，则 的最小值是
A． B． C．7 D．11
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质求出 的最小值即可．
【解答】解：一次函数 的图象经过点 ，
，
解得： ，
，
，
随 的增大而减小，
，
当 时， 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
19．（2023春•米东区期末）如图，已知直线 ，直线 和点 ，过点 作 轴的
平行线交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于
点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ， ，按此作法进行下去，则点 的横坐标为
A． B． C． D．
【分析】点 ， 在直线 上，得到 ，求得 的纵坐标 的纵坐标 ，得到 ，即
的横坐标为 ，同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ，
， ，求得 的横坐标为 ．【解答】解： 点 ， 在直线 上，
，
轴，
的纵坐标 的纵坐标 ，
在直线 上，
，
，
，即 的横坐标为 ，
同理， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， ， ， ， ， ，
的横坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键．
20．（2023春•厦门期末）在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，其中 ， ，
其中点 ， 在直线 上，对角线 与 交于点 ．
（1）求 和 的数量关系；
（2）直线 是矩形 的一条对称轴，若直线 与 轴交于点 ，求线段 的最小值．
【分析】（1）将点 坐标代入直线即可得出结论；
（2）根据矩形的性质可得出点 ， 坐标，进而可得出点 的坐标；由矩形 的对称轴 与 轴交于
点 ，可得出点 ，进而可得出直线解析式，得出 ， 的坐标，根据图形可知当
时， 最小，进而可得出结论．
【解答】解：（1） 在直线 上，
，
即 ；
（2） ，
， ，
轴；
在矩形 中，点 在直线 上，当 时， ，
，
；
是对角线 与 的交点，
是对角线 与 的中点，
， ，
， ，
矩形 的对称轴 与 轴交于点 ，
，即 ，
，
点 在直线 上，
如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
，且 ，
为等腰直角三角形，
在等腰 中， ．当 时，此时 最短．
此时 为 中点，
．
【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一次函数图象
上点的坐标特征等，本题综合性较强；解题的关键是得出点 所在直线为 ．
21．（2023春•南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图象的
“ 级限距点”．例如，点 是函数 图象的“ 级限距点”；点 是函数 图象的
“2级限距点”．
（1）在① ， ；② ；③ 三点中，是函数 图象的“1级限距点”的有 ①②
（填序号）；
（2）若 关于 的一次函数 图象的“2级限距点”有且只有一个，求 的值；
（3）若 关于 的函数 图象存在“ 级限距点”，求出 的取值范围．
【分析】（1）根据“ 级限距点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分 和 两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的
点的坐标，代入坐标求出 的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线 上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函
数图象过点 和点 时为临界情况，求出此时 的值，由图象可得 的取值范围．
【解答】解：（1） 点 到两坐标轴的距离都不大于1，
点 是函数 图象的“1级限距点”，
点 到 轴的距离为2，大于1，
点 不是函数 图象的“1级限距点”，
故答案为：①②；
（2）如图，在以 为中心，边长为4的正方形 中，当直线 与正方形区域只有唯一交点时，
图象的“2级限距点”有且只有一个，当直线经过点 时， ，
当直线经过点 时， ；
综上所述： 的值为 ．
（3）当 时， ；当 时， ；
在以 为中心，边长为 的正方形 中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数 图象的“ 级限距点”一定存在．
设 ， ， ， ．
当图象经过点 时，代入 ，
解得： ，
当图象经过点 时，得 ．
故：当 时，函数 图象的“ 级限距点”一定存在．
【点评】本题考查根据 级限距点，学习运用定义判断，确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运
用，一般地，根据 级限距点定义，先求出点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式进
而解决问题．
一十二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
22．（2023春•攸县期末）已知点 ，请分别根据下列条件，求出点 的坐标．
（1）点 在 轴上；（2）点 的纵坐标比横坐标大3；
（3）点 在经过点 和点 的直线上．
【分析】（1）根据 轴上的点纵坐标为0可得 ，从而可得 ，然后把 的值代入横纵坐标中
进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得： ，从而可得： ，然后把 的值代入横纵坐标中进行计算，即
可解答；
（3）先利用待定系数法求直线 的函数表达式，然后再把点 代入直线 中，进行计
算即可解答．
【解答】解：（1） 点 在 轴上，
，
解得： ，
当 时， ，
点 的坐标为 ；
（2）由题意得： ，
解得： ，
当 时， ， ，
点 的坐标为 ；
（3）设直线 的函数表达式为： ，
把点 代入 中得： ，
解得： ，
直线 的函数表达式为： ，
把点 代入直线 中得：
，
解得： ，
当 时， ， ，
点 的坐标为 ， ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
23．（2023春•开江县校级期末）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为1，根据图
象有下列四个结论：① ；② ；③对于直线 上任意两点 ， 、 ， ，若
，则 ；④ 是不等式 的解集，其中正确的结论是A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】根据一次函数的性质、结合图形解答．
【解答】解： 直线 ， 随 的增大而减小，
，①正确；
直线 与 轴交于负半轴，
，②错误；
直线 中， ，
随 的增大而增大，
，则 ，③错误；
是不等式 的解集，④正确；
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质、灵活运用数形结合思想
是解题的关键．
一十四．一次函数的应用（共18小题）
24．（2023春•泗水县期末）某校增设了多种体育选修课来锻炼学生的体能，小颖从教学楼以 1米 秒的速
度步行去操场上乒乓球课，她从教学楼出发的同时小华从操场以5米 秒的速度跑步回教学楼拿球拍，再
立刻以原速度返回操场上乒乓球课．已知小颖、小华之间的距离 （米 与出发时间 （秒 的部分函数图
象，则下列说法错误的是
A．点 对应的横坐标表示小华从操场到教学楼所用的时间
B． 时两人相距120米
C．小颖、小华在75秒时第二次相遇
D． 段的函数解析式为
【分析】小颖、小华分别同时从教学楼和操场相向出发，两人之间的距离一直在缩短，在 点处第一次相
遇；第一次相遇后，两个继续相向而行，两人之间的距离逐渐增大，在 点时小华到达教学楼；之后，小华开始返回，两人变为同向而行，两人之间的距离开始缩短，在 点时两人第二次相遇．根据两人的运动
过程，逐个选项分析判断即可．
【解答】解：由题意可知，两人在 点处第一次相遇，在 点处小华到达教学楼．
故 正确，不符合题意．
设 所在的直线解析式为 ．将 和 代入，
得 ，解得 ．
所在的直线解析式为 ．
当 时， ．
故 正确，不符合题意．
设小颖、小华在 秒时第二次相遇，
根据题意，得 ，解得 ．
故 正确，不符合题意．
当 时，小华到达教学楼，此时两人距离为 （米 ，
点 的坐标为 ．
由选项 可知，小颖、小华在 点处第二次相遇，此时 ．
点 的坐标为 ．
设 段的函数解析式为 ．将 和 代入，
得 ，解得 ．
．
故 错误，符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用．弄清两人的运动过程，是正确解答本题的关键．
25．（2023春•南开区期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．给出的图象反映的过程是：张
强从家跑步去体育场，在体育场锻炼了若干分钟后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中 表示张
强离开家的时间（单位： ， 表示张强离开家的距离（单位： ．则下列说法错误的是
A．体育场离文具店
B．张强在文具店逗留了C．张强从文具店回家的速度是
D．当 时，
【分析】 ．观察函数图象的纵坐标，可得体育场到文具店的距离；
．根据观察函数图象的横坐标，可得张强在文具店停留的时间；
．根据“速度 路程 时间”列式计算即可；
．根据待定系数法求解即可．
【解答】解：根据题意，得：
．体育场到文具店的距离为： ．
故 选项正确，不符合题意；
．张强在文具店停留了： ．
故 选项正确，不符合题意；
．张强从文具店回家的平均速度为： ．
故 选项正确，不符合题意；
．当 时，设 ，
则 ，
解得 ，
当 时， ．
故 选项错误，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的应用、函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过
程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决，熟练掌握待定系数法求函数解析式．
26．（2023春•海门区期末）甲，乙两人沿同一条笔直的公路由 地匀速驶往 地，先到者原地休息．甲
比乙早出发 ，两人之间的距离 与甲所用的时间 之间的函数关系如图所示．
（1）甲的速度为 1 0 ；乙的速度为 ； ， 两地之间的距离为 ；
（2）当甲，乙两人之间的距离为 时，求甲所用的时间．【分析】（1）根据“速度 路程 时间”求出甲的速度；设乙的速度为 ，根据“当 时乙追
上甲，此时两人行驶的路程相等”列方程并求解即可求出乙的速度；当 时，甲到达 地，根据“路程
速度 时间”即可求出 ， 两地之间的距离；
（2）根据“时间 路程 速度”求出乙到达 地所用的时间，从而求出点 的横坐标；求出当 时，
甲离 地的距离，即点 的纵坐标；利用待定系数法分别求出当 和 时 与 的函数关系式，
将 分别代入函数关系式，分别求出对应 的值即可．
【解答】解：（1）甲的速度为 ；
设乙的速度为 ，当 时乙追上甲，此时两人行驶的路程相等，得 ，解得
；
当 时，甲到达 地，则 ， 两地之间的距离为 ．
故答案为：10，40，60．
（2）乙到达 地所用的时间为 ， ，即当 时乙到达 地，
点 的横坐标为3；
当 时，甲离 地的距离为 ，
点 的坐标为 ．
当 时，设 与 之间的函数关系式为 、 为常数，且 ．
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
，
当 时，得 ，解得 ；
当 时，设 与 之间的函数关系式为 、 为常数，且 ．
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，解得 ，
，
当 时，得 ， ．
综上，甲，乙两人之间的距离为 时，甲所用的时间是 或 ．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系并灵活运用是解题的关键．
27．（2023春•二道区校级期末）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，
船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过
程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水
排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为 ，时间为 ， 与 之间的函数图象如图所示．
（1）修船过程中排水速度为 1 ， 的值为 ．
（2）求修船完工后 与 之间的函数关系式．并写出自变量 的取值范围．
（3）当船内积水量是船内最高积水量的 时，直接写出 的值．
【分析】（1）修船共用了 （分钟），修船过程中进水速度为： （吨 分钟），修船
过程中，排水速度是 （吨 分钟）， ；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分修船过程和修船完工后两种情况解答．
【解答】解：（1）由题意可知，修船共用了： （分钟），
修船过程中进水速度为： （吨 分钟），
修船过程中，排水速度是 （吨 分钟），
修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
修船完工后，排水速度是 ．
．
故答案为：1；24．
（2）设修船完工后 与 之间的函数关系式为 ，由题意，得 ，
解得 ．
修船完工后 与 之间的函数关系式为 ；
（3）在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的 时，可得 ，
解得 ；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的 时，可得 ，
解得 ．
故 的值为 或 ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
28．（2023春•乐东县期末）随着 网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴50元月租费，流量按1元 收费．
套餐二：当流量不超过 时，收取90元套餐费；当流量超过 时，超过的部分按0.5元 收取．
设某人一个月内使用 流量 ．按照套餐一的费用为 ，按照套餐二所需的费用为 ．
（1）分别写出 ， 与 之间的函数关系式；
（2）若每月使用 的流量，应选择哪种套餐更合适？
【分析】（1）根据题中等量关系建立函数关系式．
（2）通过计算比较得出结论．
【解答】解：（1）由题意得： ，
当 时， ，
当 时， ．
（2）当 时， （元 ，
（元 ．
，
选择套餐二更合适．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，建立函数关系式是求解本题的关键．
29．（2023春•江油市期末）某市响应“低碳生活，绿色出行”的号召，计划用新能源公交车替换一批
燃油公交车，现有 型和 型两种新能源公交车供选择，价格分别为100万元 台和150万元 台，年均载客量分别为60万人 台和100万人 台．若购买 型和 型两种公交车共100辆，要求年均载客总
和不少于7200万人次，总费用不超过12000万元，有几种购买方案？从函数的角度分析，哪种方案购
车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】根据题中的不等关系列出一元一次不等式组，求出取值范围，进而得出购买方案有多少种；再
求出总费用的函数解析式，然后利用函数的增减性回答问题．
【解答】解：设购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，根据题意可得：
，
解得： ，
为正整数，
为：60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，70，共11种购买方案．
设总费用为 ，则： ，
，
随 增大而减小，
当 时， 最小，最小值为： （万元），此时 （辆 ．
购车方案为：购买 型车70辆，购买 型车30辆．
答：共有11种购车方案，购买 型车70辆，购买 型车30辆时总费用最小，最少为11500万元．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的知识、一次函数的知识，有一定的难度．
30．（2023春•通榆县期末）已知 ， 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从 地出发匀速开往
地，甲车出发两小时后，乙车从 地出发匀速开往 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之
和 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 4 0 千米 小时， 的值为 ；
（2）求乙车出发后， 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当乙车行驶2.5小时，求甲、乙两车之间的距离．
【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲
车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得 ；
（2）运用待定系数法解得即可；（3）依据题意，结合（2）乙行驶2.5小时，甲实际走了4.5小时，进而用两者的行程和减去总路程即可得
解．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为： （千米 时）；
．
故答案为：40；480．
（2）设 与之间的函数关系是：
由图可知，函数图象经过 ， ，
．
解得 ，
与 之间的函数关系式为 ．
（3）当 时， ．
乙车行驶2.5小时，甲、乙两车之间的距离为： ．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数
形结合的思想解答．
31．（2023春•黄埔区期末）从司马相如的《上林赋》，张九龄的《荔枝赋》，到杜牧的“一骑红尘妃子
笑，无人知是荔枝来”，再到苏轼的“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人” 荔枝备受文人喜爱．同时，
它还是初夏最甜美的佳果之一，是岭南最明艳的标签，有补肝益脾、生津止渴、补气安神等功效．家住广
州的小函想给亲朋好友寄送自家种的荔枝，他了解到某快递公司的收费标准（单位：元 如表：
计费单位 收费标准
广东省内 江浙沪地区
8 10
及以内
2 4
超过 的部分
设寄送的荔枝质量为 ，寄往广东省内的快递费为 元，寄往江浙沪地区的快递费为 元．
（1）直接写出 ， 关于 的函数解析式；
（2）小函给深圳的叔叔寄了一箱 的荔枝，需要支付多少快递费？
（3）小函给上海的朋友寄了一箱荔枝，支付快递费46.8元，则这箱荔枝有多重？
【分析】（1）根据表格中的收费标准求解即可；
（2）将 代入 求解即可；
（3）将 代入 求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
当 时， ， ；当 时， ， ，
综上所述， 关于 的函数解析式为 ；
关于 的函数解析式为 ．
（2） 小函给深圳的叔叔寄了一箱 的荔枝，
（元 ．
需要支付23.6元快递费；
（3）将 代入 得， ，
解得 ，
这箱荔枝有 ．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是正确分析表格中的收费标准．
32．（2023春•无为市期末）某经销商从市场得知如下信息：
品牌计算器 品牌计算器
进价（元 台） 700 100
售价（元 台） 900 160
他计划最多用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进 品牌计算器 台，这
两种品牌计算器全部销售完后获得利润为 元．
（1）求 与 之间的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于12600元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）在上述条件下，选择哪种进货方案，该经销商可获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据利润 售价 进价） 手表的数量 售价 进价） 手表的数量，根据总
资金不超过4万元得出 的取值范围，列式整理即可；
（2）全部销售后利润不少于12600元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的 的正整数值即可；
（3）利用 与 的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
【解答】解：（1） ，
其中 ，
得 ．
即 ．
（2）令 ，
则 ．
．又 ，
．
又 为整数，
经销商有以下三种进货方案：
① 台， 台；② 台， 台；③ 台， 台．
（3） ， ，
随 的增大而增大．
时， 取得最大值．
又 ，
选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 与
购进 品牌计算器 的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范
围还必须使实际问题有意义．
33．（2023春•南充期末）某商店准备购进 ， 两种商品， 种商品每件的进价比 种商品每件的进价
多10元，用1800元购进 种商品和用800元购进 种商品的件数相同，商店将 种商品每件的售价定为
28元， 种商品每件的售价定为13元．
（1） 种商品每件的进价和 种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过660元的资金购进 ， 两种商品共60件，其中 种商品的数量不超过 种商品
数量的3倍，该商品有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 种商品售价优惠 元， 种商品售
价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件商品获总利润最大，应如何进货？
【分析】（1）设 种商品每件的进价和 种商品每件的进价分别为 元和 元，根据题意列二元一次方程
组并求解即可；
（2）设购进 商品 件，则购进 商品 件．根据题意列一元一次不等式组并求解， 取整数．
可能取几个整数，就有几种不同的进货方案；
（3）在（2）的基础上，写出总利润关于 的表达式．分别求当 、 、 三种情况下
取何值时总利润最大．
【解答】解：（1）设 种商品每件的进价和 种商品每件的进价分别为 元和 元．
由题意得 ，解得 ．
种商品每件的进价和 种商品每件的进价分别为18元和8元．
（2）设购进 商品 件，则购进 商品 件．由题意得， ，解得 ．
，16，17或18．
该商品有4种进货方案．
（3）根据题意，总利润 ．
①当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 最大．
②当 时， 不随 的变化而变化，为恒定值300．
③当 时， 随 的减小而增大，
当 时， 最大．
综上，当 时， 种商品进货18件、 种商品进货42件，获总利润最大；
当 时，不管 种商品进货多少件，获总利润为一恒定值；
当 时， 种商品进货15件、 种商品进货45件，获总利润最大．
【点评】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式组的应用，涉及的知识点较多，但是难度不大，
耐心、认真解答即可．
34．（2023春•香坊区期末）如图， 、 两地相距120千米，甲、乙两人骑车同时分别从 、 两地相
向而行匀速行驶，设他们各自距 地的距离 （千米）都是骑车时间 的一次函数，并回答下列问题：
（1）甲的速度为 1 5 千米 小时，乙的速度为 千米 小时：
（2）求运动过程中 的函数解析式．
【分析】（1）依据题意，利用图象上点的坐标得出甲、乙的速度即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：（1）如图所示：甲的速度为： ，
乙的速度为： ，
故答案为：15；25．（2）设 为： ，将 ， ，则 ．
解得： ，
故 的关系式为 ．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
35．（2023春•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，交 轴于点
．
（1）求直线 所对应的函数表达式．
（2）若点 是 轴上一点，连结 ．当 的面积为5时，求点 的坐标．
（3）已知线段 的端点坐标分别为 、 ．
①当直线 与线段 有交点时，求 的取值范围．
②已知点 是直线 上一点，其横坐标为 ．过点 作直线 轴，将直线 在直线 下方部分记作 ，
在直线 上及其上方的部分记为 ，将 沿直线 向上翻折得到 ， 和 两部分组成的图象记为 ．
当图象 与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）依据题意，直线 经过点 ， ，已知两点的坐标，即可求出函数表达式；
（2）依据题意，已知三角形面积和一边的长度，即可求出该边对应的高，再根据 点在 轴上，结合
的度数，计算即可得解；
（3）① 与直线 的交点为 ．要使 与直线 相交，从而可得 或
，进而判断可以得解；
②依据题意，要使图象 与直线 有交点，可得 ，再结合 与图象 有一个交点，从而
，最后结合已知条件可以得解．
【解答】解：（1）将点 和 分别代入 ，得
，解得 ，
直线 所对应的函数表达式为 ．
（2）设 ．
，点 到 的距离为 ，
，解得 或6．点 的坐标为 或 ．
（3）① 与直线 的交点为 ．要使 与直线 相交，则有
（无解）或 ．
解得 ．
②由题意知，
， ，
将 沿直线 翻折得到 ．
， ， ，
当图象 与线段 有公共点时，点 只能在直线 上或其下方，
此时 ．
当点 在点 左侧时， ，
（一 当点 与点 重合，即点 在直线 上时，此时 与线段 有一个交点，符合题意；
（二 当点 在直线 下方时，
点 落在 上时， ，解得 ；
点 落在 上时， ，解得 ，
当图象 与线段 有一个交点时， ．
③当点 在点 左侧，即 时，图象 与线段 没有交点．
综上所述，当图象 与线段 只有一个公共点时， 或 ．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
36．（2023春•玉环市期末）如图是一个斜坡（长度足够）的截面，一些相同的钢球从斜坡顶端由静止
沿斜坡滚下，每隔 释放一个钢球，每个钢球的速度每秒增加 ．已知第1个钢球速度 （单位：
，其运动时间 （单位： ．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）第2个钢球速度 与第1个钢球运动时间 的函数解析式 ；当第1个钢球的速度是
第2个钢球的4倍时，则第1个钢球运动时间 ；
（3）当第1个钢球的速度是第 个钢球的4倍时，求第1个钢球的运动时间 ．（用含 的式子表示）【分析】（1）由题意可得 关于 的函数解析式；
（2）用第1个钢球运动时间 将第2个钢球运动的时间表示出来，再写出 与 的函数解析式即可．当
时，求出 即可；
（3）用第1个钢球运动时间 将第 个钢球运动的时间表示出来，再写出 与 的函数解析式．当
时，求出 即可．
【解答】解：（1）根据题意得 ．
（2）根据题意得 ，即 ．
由题意得 ，即 ，解得 ．
故答案为： ， ．
（3）根据题意，第 个钢球的速度与第 1个钢球的运动时间 的函数关系为 ，即
．
当 时，即 ，解得 ．
当第1个钢球的速度是第 个钢球的4倍时，第1个钢球的运动时间 为 ．
【点评】本题考查一次函数的应用．用第1个钢球运动时间 将第 个钢球运动的时间表示出来，并写
出 与 的函数解析式是解答本题的关键．
37．（2023春•蒙山县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买
一批足球，已知购买4个 品牌足球和3个 品牌足球共需440元；购买2个 品牌足球和1个 品牌
足球共需180元．
（1）求 ， 两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买 ， 两种品牌的足球共12个，且 品牌足球不少于4个，设购买两种品牌足球
所需费用为 元， 品牌足球 个，求 与 之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写
出最少费用．
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用 ，根据一次函数的增减性计算 最小
值即可．
【解答】解：（1）设 ， 两种品牌足球的单价分别为 元， 元，根据题意，得 ，
解得 ，
品牌足球单价为50元， 品牌足球单价为80元．
（2）根据题意可知， 品牌足球 个，
品牌足球不少于4个，
，
，
，
，
随 的增大而减小，
当 时， 最小，此时 ．
综上， ， 取得最小值720元，此时 品牌足球购买了8个， 品牌足球购买了4个．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最
小值是解决本题的关键．
38．（2023春•东丽区期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知
小明家、社区阅览室、博物馆依次在同一条直线上，社区阅览室离小明家 ，博物馆离小明家 ，小
明从家出发，匀速步行了 到社区阅览室；在阅览室停留 后，匀速步行了 到博物馆；在
博物馆停留 后，匀速骑行了 返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离 与离
开家的时间 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开家的时间 5 8 20 50 120
离家的距离 0.5 0. 8 1.8
（Ⅱ）填空：
①社区阅览室到博物馆的距离为 ；
②小明从博物馆返回家的速度为 ．（Ⅲ）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）根据图象填空即可；
（Ⅱ）①根据题意即可计算出社区阅览室到博物馆的距离；
②由博物馆到家的路程和所用时间，即可得出小明从博物馆返回家的速度．
（Ⅲ）这是一个分段函数：当 时， ；
当 时，设 ，将 和 分别代入，由待定系数法求其解析式即可；
当 时， ．
最后，将其写为一个函数，并标明相应 的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当 时，小明的速度为 ．
当 时， ．
由图象可知，当 时， ；当 时， ．
故答案为：0.8，1，3．
（Ⅱ）① 社区阅览室离小明家 ，博物馆离小明家 ，
社区阅览室到博物馆的距离为 ．
故答案为：2．
②小明从博物馆返回家经过的路程为 ，用时 ，
小明从博物馆返回家的速度为 ．
故答案为：0.2．
（Ⅲ）当 时， ；
当 时，设 ；
将 和 分别代入 ，得
，解得 ．
．
当 时， ．
综上， ．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，图象看似复杂，但难度不大．
39．（2023春•同安区期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍
的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
乒乓球拍（元 套） 45
羽毛球拍（元 套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
（1）求出 ， 的值；
（2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍
套，售完这批体育用品获利 元．
①求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了 元 ，羽毛球拍的进价
不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）①将乒乓球拍和羽毛球拍各自的套数乘以对应单套利润再相加，即售完这批体育用品总获利，对该
关系式整理即可得到 关于 的函数关系式．根据“购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半”和
“购进乒乓球拍的套数不超过150套”列出关于 的一元一次不等式，解之，得到 的取值范围．
②写出乒乓球拍的进价每套降低了 元后获利 关于 的表达式，进而根据 的取值范围进行分析讨论即
可．
【解答】解：（1）由题意可列方程组 ，解得 ．
（2）① 购进乒乓球拍 套，
购进羽毛球拍 套．
．
购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，并且不超过150套，
，
．
．
②乒乓球拍的进价每套降低了 元后，获得为 ．
当 时， ， 的值随 的减小而增大，
当 时， 最大．
当 时， ，不管 为何值， ．
当 ， ， 的值随 的增大而增大，
当 时， 最大．综上，当 时，购进乒乓球拍100套，获利最大；
当 时，不管购进乒乓球拍多少套，获利为恒定值3600元；
当 ，购进乒乓球拍150套，获利最大．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用．解答过程中分情况讨论稍微有点复杂，所以思路一
定要清晰，每一步都要有理有据．
40．（2023春•洛江区期末）甲、乙两人在同一路线上进行跑步，路程 （米 随时间 （分 变化的图象
如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）求线段 的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当 为何值时，两人第二次相遇？
【分析】（1）设线段 的解析式为 ，将点 、 的坐标分别代入，用待定系数法求出解析式，
并限定 的取值范围；
（2）求出线段 与 交点的横坐标即可．点 是线段 与 的交点，而且已知点 的纵坐标，将
其代入线段 的解析式即可求出其横坐标，由此求得点 的坐标．线段 的解析式是正比例函数，设
为 ，将点 的坐标代入，从而求得线段 的解析式，进而将点 的横坐标代入线段 的解析式，
求出点 的纵坐标，因此知道了点 的坐标．由点 、 的坐标，利用待定系数法求出线段 的解析式．
当二人第二次相遇时，线段 与 的对应函数值相等，从而求出其交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）设线段 的解析式为 ．将点 和 的坐标分别代入
，得
，解得 ．
线段 的解析式为： ．
（2） 点 在 上，
，解得 ．
．
线段 过原点，线段 的解析式为正比例函数，设为 ．
将 的坐标代入 ，解得 ．
线段 的解析式为 ．
当 时， ．
．
设线段 的解析式为 ．将点 和 的坐标分别代入 ，得
，解得 ．
线段 的解析式为 ．
当两第二次相遇时，有 ，解得 ．
当 时，两人第二次相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，各点之间关联性较强，解答过程比较繁琐，一定要耐心、细致，避免
出错．
41．（2023春•思明区校级期末）6月份，福建多地暴雨连连，根据天气预报，6月6日起，厦门将持续下
雨7天，厦门某水库 记录了6月6日24小时内的水位变化情况，结果如下：
时刻
40 40.125 40.25 40.375 40.5
水位
在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．为了保护大坝安全，当水库的
水位达到 时，必须进行泄洪．与此同时，西部某地区由于干旱，需要抽调某水库 中的水作为生活用
水，这7天内（含7天）的水位 （单位： 随时间 （单位： 变化情况如图所示．
（1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位 （单位： 随时间 （单位： 的变化规律；
（2）当水库 需要进行泄洪时，若为了更快速降低水位，多开了几个泄洪闸，使水位平均每小时下降
，则在这7天内（含7天），是否存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同？若有，求出
此时水库 的水位；若无，说明理由．
（3）假设泄洪的速度一定，当水库 泄洪后的第20小时起，水库 的水位始终不超过水库 的水位，请
问：水库 最迟能否在第6天早上6点前降至原水位？【分析】（1）观察表格发现 和 满足一次函数关系，设 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出这7天内（含7天）的 水库水位 （单位： 随时间 （单位： 变化的函数解析式，
再求出水库开始泄洪的时间，再根据题意列出方程求解即可；
（3）设泄洪速度为每小时下降 米，根据水库 泄洪后的第20小时起，水库 的水位始终不超过水库
的水位列出方程求出泄洪速度，再算出第6天早上6点时的水位即可作出判断．
【解答】解：（1）观察表格发现 和 满足一次函数关系，
设 ，把点 ， 代入得 ，
解得 ，
函数解析式为 ．
（2）不存在，理由如下：
观察这7天内（含7天）的水库水位 （单位： 随时间 （单问： 变化情况，得知 和 满足一次
函数关系，
设 ，
代入 ， 得， ，
解得 ．
，
需要泄洪时，即 时，
；
解得 ，小时后开始泄洪，
当 时， ，
解得 ，
，
在这7天内（含7天），不存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同；
（3）设泄洪速度为每小时下降 米，由题意得，
，
解得 ，
即泄洪速度为每小时下降0.575米，
第6天早上6点时的水位为： （米 ，
，
水库 能在第6天早上6点前降至原水位．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，用待定系数法求出一次函数解析式是基
础，读懂题意正确列方程是解题的关键．
一十五．一次函数综合题（共4小题）
42．（2023春•温江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于
点 ， 两点，点 在 轴上点 的右侧，四边形 为平行四边形，且 ．
（1） 3 ，点 的坐标为 ．
（2）一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 向点 运动．
①连接 ，当 平分 时，求此时 的面积；
②另一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，两个点同时出发，当点
到达点 时停止运动（同时 点也停止），则 为何值时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四
边形．
【分析】（1）依据题意，首先求出 、 两点坐标，再根据平行四边形的性质，可得 ， 的纵
坐标与 的纵坐标相同，进而可以得解；
（2）①依据题意， 平分 ， ，可得 ，结合 、 两点坐标可得，再由 的纵坐标即可 的 边上的高，进而可以得解；
②依据题意，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形，又 ，从而 ，再结合
运动时间 ，进行分析可以得解．
【解答】解：（1）由题意，对于直线 ，
令 ，则 ，
．
令 ，则 ，
， ．
四边形 是平行四边形，
， ．
， ，
的纵坐标与 的纵坐标相同为3， ．
．
， ，
， ．
故答案为：3； ， ．
（2）①由题意， 平分 ，
．
，
．
．
．
由（1）得 ， ， ，
．
由四边形 是平行四边形，
．
，
．
②设经过 秒，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，，
分为以下情况：
Ⅰ．当点 的运动路线是 时， ，
．
此时方程 ，此时不符合题意．
Ⅱ．当点 的运动路线是 时， ，
，
解得： ．
Ⅲ．当点 的运动路线是 时， ，
．
解得： ．
Ⅳ．当点 的运动路线是 时， ，
．
解得： ．
综上所述， 或 或 时，以 、 、 、 四点组成的四边形为平行四边形．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
43．（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数 图象分别交 轴、
轴于点 ， ，一次函数 的图象经过点 ，并与 轴交于点 ，点 是直线 上的一个动点．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）并直接写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）试探究直线 上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把 ， 分别代入一次函数，即可求出 、 坐标；
（2）将点 坐标代入 即可求出 的值，把 代入即可求出点 坐标；
（3）根据三角形面积公式求出 ，再代入直线 解析式即可求出点 坐标．
【解答】解：（1）当 时， ，，
当 时，则： ，
解得： ，
；
（2）将点 坐标 代入 可得：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时，则： ，
解得： ，
；
（3）存在以 ， ， 为顶点的三角形的面积为18，
， ，
，
，
，
当 时， ，
点 坐标为 ，
当 时， ，
点 坐标为 ，
综上，满足条件的点 坐标为 或 ．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、三角形的面积，利用面积求点的坐标要分情况讨论是解答的关
键，有一定的难度．
44．（2023春•武侯区期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系 中，已知点 ， 为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点 绕点 顺时针旋
转90度得到点 ，点 关于 轴的对称点为 ，则称点 为点 关于点 的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ．平面内有一点
．
（1）请在图中画出点 关于点 的“旋对点“ ”，并直接写出点 的坐标；（2）点 为直线 上一动点．
若点 关于点 的“旋对点”为点 ，试探究直线 经过某一定点，并求出该定点的坐标；
在 的条件下，设直线 所经过的定点为 ，取 的中点 ，连接 ，求 的最小值．
【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点 ”的位置可得其坐标；
（2） 如图，设 ，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两直线交于点 ，则
， 延 长 与 交 于 点 ， 则 ， △ ， 而 ，
， ， ，结合新定义可得； ，从而可得
答案；
证明 ，即 在直线 上动，如图，连接 ， ，作 关于直线 的
对称点 ，则 ，由 ， 分别为 ， 的中点，则 ， ，当 、
、 三点共线时， ，此时最小；记 与 轴的交点为 ，则
，直线与 轴的交点坐标为 ，连接 ， ，△ ，△ 都是等腰直角三角形，
而 ，则 ． ，再利用股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图， 即为所求；
；
（2） 如图，
点 为直线 上一动点，设 ，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两直线交于点 ，
则 ，延长 与 交于点 ，则 ，
，
，
，
，
△ ，
而 ，
， ．
，
结合新定义可得； ，
而 ，
的中点坐标为： ，
直线 经过定点 ；
， ，
，
，即 在直线 上运动，
如图，连接 ， ，作 关于直线 的对称点 ，则 ，由 ， 分别为 、 的中点，则 ， ，
当 ， ， 三点共线时， ，此时最小；记 与 轴的交点为
，则 ，直线与 轴的交点坐标为 ，连接 ， ，△ ，△ 都是等腰直角
三角形，而 ，
，
，即 的最小值为 ．
【点评】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三
角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
45．（2023春•天府新区期末）如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，点 坐标为 ，将
点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点 ，直线 交直线 于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）我们定义：如果一个三角形中有一个内角为 ，则称这个三角形为“天府三角形”
①点 是直线 上第一象限内一点，若 为“天府三角形”，求点 的坐标；
②在①的条件下，当点 的横坐标大于 时，作点 关于 轴的对称点 ，点 为直线 上的一个动点，连接 ，点 为线段 的中点，连接 ，当 最小时，求点 的坐标．
【分析】（1）先求出 ，再由平移方式求出 ，进而利用待定系数法求出直线 的解析式即可；
（2）①如图所示，当 时，证明 得到 ，则点 的横坐标为4，由此可得
；当 时，过点 作 且 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作
的垂线，垂足分别为 、 ，求出 ，得到 ，证明 ，得到
， ，则 ，同理可得直线 的解析式为 ，由此可求出 ；
②求出 ，由点 的横坐标大于 ，可由（2）①得点的坐标为 ，则点 在直线 上运动，
即点 的横坐标为4，进而得到点 在直线 上运动，如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，
连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ，则当4、 、 三点共线时， 最小，
即此时 最小，同理求得直线 的解析式为 ，则可得点 的坐标．
【解答】解：（1）在 中，当 时， ．
；
将 点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
（2）①如图， 时，在 中，当 时， ，
，
，
，
，
，
点 的横坐标为4，
，
如图，当 时，过点 作 ，且 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作
的垂线，垂足别为 、 ，
联立 ，
解得 ，
，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，
同理可得直线 的解析式为 ，联立 ，
解得 ，
， ，
综上所述， 的坐标为 或 ， ，
② 点 是点 关于 轴的对称点，
，
点 的横坐标大于 ，
由（2）①得点 的为 ，
直线 即为直线 ，
点 在直线 上运动，即点 的横坐标为4，
点 为 的中点，
点 的横坐标为1， ，
点 在直线 上运动，
如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
，
由轴对称的性质可得 ，
．
当 、 、 三点共线时， 最小，即此时 最小，同理求得直线 的解析式为 ，在 中，当 时， ，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，利
用分类讨论的思想求解是解题的关键
一十六．勾股定理的逆定理（共3小题）
46．（2023春•鞍山期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地 ，测得 ，
， ， ，且 ，这块菜地的面积是
A． B． C． D．
【分析】连接 ，先在 中，利用勾股定理求出 的长，然后利用勾股定理的逆定理证明
是直角三角形，从而可得 ，最后根据四边形 的面积 的面积 的面积，进
行计算即可解答．
【解答】解：连接 ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
是直角三角形，
，
四边形 的面积 的面积 的面积，
这块菜地的面积为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是
解题的关键．
47．（2023春•西吉县期末）明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看那一组长度的木棒可以构成直角三角形
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，7，11 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ， ，
，
不能组成直角三角形，
故 不符合题意；
、 ， ，
，
不能组成直角三角形，
故 不符合题意；
、 ， ，
，
不能组成直角三角形，
故 不符合题意；
、 ， ，
，
能组成直角三角形，
故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
48．（2023春•贵州期末）如图，在 中， ， ， ， 为 各内角平分线的交
点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则 的长为A．1 B． C．2 D．
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，先利用角平
分线的性质可得 ，再利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，
然后利用面积法进行计算，即可解答．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，
为 各内角平分线的交点， ， ， ，
，
， ， ，
， ，
，
是直角三角形，
，
的面积 的面积 的面积 的面积，
，
，
，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
一十七．勾股定理的应用（共1小题）
49．（2023春•余姚市期末）如图，一块边长为 的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 的小
正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为A． B． C． D．
【分析】在剩下的铁片上画出最大的正方形，找出所求部分面积与其它部分面积的关系，即可求解．
【解答】解：如图所示，将剩下的铁片分为中间的正方形和四个小长方形，
中间部分的面积为： ，
每个小长方形的面积为： ，
由图可知，剪出的最大的正方形面积等于中间的正方形的面积与四个小长方形面积的一半的和，
因此剪出的正方形面积最大为： ．
故选 ．
【点评】本题主要考查弦图的应用，根据题意画出图形是解题关键．
一十八．平行四边形的性质（共2小题）
50．（2023春•武穴市期末）如图，在平行四边形 中， 是 的平分线， 是 的中点，
， ，则 为
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件进行求解．
【解答】解： 平行四边形
是 的平分线
是 的中点
，
．
故选： ．【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用以及角的等量代换、线段之间的关系解题．
51．（2023春•定州市期末）如图，在 中，点 ， 均在 边上， 平分 ， 平分
，如果 ， ， ，那么 的周长等于 2 6 ．
【分析】将 平移至 的位置，可求出 的长度，进而通过推导可知 且 ，即
，进而可求出 的长度．
【解答】解：如图，延长 至点 ，使得 ，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，
，
，
的周长等于 ．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是将 平移至 的辅助线做法．
一十九．矩形的性质（共1小题）
52．（2023春•益阳期末）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，且 ，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 向点 运动，同时动点 从点 出发，以同样每秒1个单位
的速度沿折线 向点 运动，当 ， 有一点到达终点时，点 ， 同时停止运动．设点 ，
运动时间为 秒，在运动过程中，如果 ，那么 3 或 6 秒．
【分析】分 在 边上或 边上分别求解．
【解答】解：当 在 边上，如图：
由题意得： ， ， ，
，
，
．
当 在 上时，如图：
， ，
，，
，
当 ， 有一点到达终点时，点 ， 同时停止运动，
，
符合题意．
故答案为：3或6
【点评】本题考查矩形性质，充分利用矩形性质，分类讨论 位置是求解本题的关键．
二十．众数（共4小题）
53．（2023春•张北县期末）3月14日是国际数学日，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百
分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布表
成绩
分
频数 4 12 20 4
信息二：在 这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75．根据信息
解答下列问题：
在 这一组成绩中的众数是 7 4 ，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 ．
【分析】（1）先根据出现的次数最多求众数，
（2）再根据50名学生的竞赛成绩由小到大排后第25，26个数据的平均数为中位数即可．
【解答】解：（1） 在 这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，
75．
出现的次数最多，
众数是74；
（2） 抽取了50名学生的竞赛成绩，
，
的频数和 ，
在 这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75．
由小到大为71，72，73，73，74，74，74，75，76，76，77，79
名学生的竞赛成绩由小到大排第25，26个数据为77，79，
抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 ，
故答案为：74，78．
【点评】本题主要考查数据集中趋势中的众数、中位数在实际问题中的正确应用．
54．（2023春•红安县期末）一组数据：7，13，11，16，8，9，9，17，这组数据的中位数和众数是A．11，9 B．10，9 C．9，9 D．9，13
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：数据按由小到大的顺序排序：7，8，9，9，11，13，16，17，
数据中9出现2次，次数最多，
这组数据的众数为9，
数据的个数为8个，
中位数为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
55．（2023春•赣县区期末）《义务教育课程标准 年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，
并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的
众数和中位数分别是
A．4，4 B．4，3 C．3，3 D．3，4
【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据3，3，3，4，4，5，6中3出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为3，
中位数为4．
故选： ．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如
果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
56．（2023春•红安县期末）某校进行“争做新时代好少年”知识竞赛，竞赛成绩分为 ， ， ， 四
个等级，依次记为100分，90分，80分，70分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如下
信息：
（1）此次测试中被抽查学生的平均成绩为 8 6 分 ．
（2）此次测试被抽查学生成绩的中位数和众数分别是多少？
（3）学校决定，给 等级的同学授予“新时代好少年”知识竞赛一等奖．根据上面的统计结果，估计该
校3000名学生中约有多少人将获得一等奖．【分析】（1）根据平均数的计算公式列出算式即可得出答案；
（2）根据中位数和众数的定义直接进行求解即可；
（3）用该校的总人数乘以 等级的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）此次测试中被抽查学生的平均成绩为： （分 ．
故答案为：86分；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则被抽查学生成绩的中位数是 （分 ，
数据80出现的次数最多，
被抽查学生成绩的众数数是80分；
（3）根据题意得：
（人 ，
答：估计该校3000名学生中约有600人将获得一等奖．
【点评】本题主要考查算术平均数，中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样
本估计总体的应用．
二十一．方差（共3小题）
57．（2023春•上虞区期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名学生参加班级女子立定跳远选拔赛成绩的平
均数与方差 ．根据表中数据，要从中选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比寒，最合适的人选是
甲 乙 丙 丁
195 193 195 194
平均数
5 5 12.5 15
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到甲的状态稳定，于是可决定选甲运动员去参赛．
【解答】解： 甲、丙的平均数比乙、丁大，
应从甲和丙中选，
甲的方差比丙的小，
甲的成绩较好且状态稳定，应选的是甲．
故选： ．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
58．（2023春•呈贡区期末）根据某市统计局发布的该市近5年的年度 增长率的有关数据，经济学家
评论说，该市近5年的年度 增长率相当平稳，从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是
数据的
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均
数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【解答】解：从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的方差．
故选： ．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
59．（2023春•平桥区期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数 （单位：环）
及方差 如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.6 0.8 3 0.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故选： ．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．二十二．统计量的选择（共1小题）
60．（2023春•潼南区期末）为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可．
【解答】解：为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是众数．
故选： ．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键．
