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期末复习（易错 60 题 27 个考点）
一．二次根式有意义的条件（共1小题）
1．（2022秋•渠县校级期中）已知x，y为实数，且满足 + +2，则
xy的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
二．最简二次根式（共1小题）
2．（2023 春•五华区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是
（ ）
A． B． C． D．
三．二次根式的乘除法（共1小题）
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简 +（ ）2＝（
）
A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p
四．同类二次根式（共3小题）
4．（2023春•涧西区期中）下列各式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•浙江模拟）若最简根式 与 是同类二次根式，则m＝
．
6．（2022秋•佛山校级期末）最简二次根式3 与 是同类二次根式，
则x的值是 ．
五．二次根式的混合运算（共5小题）
7．（2023•裕华区二模）下列运算正确的是（ ）
A．（ ）2＝3 B．3 ﹣ ＝3 C．2﹣1＝﹣2 D．| ﹣2|＝ ﹣28．（2023•雁塔区校级模拟）计算： ＝ ．
9．（2023春•兴宁区校级期中）计算：|﹣3|+（﹣4）2÷ +（﹣1）2023．
10．（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．
例：化简 ．
解： ．
请回答下列问题．
（ 1 ） 归 纳 ： 请 直 接 写 出 下 列 各 式 的 结 果 ： ① ＝
；② ＝ ．
（2）应用：化简 ．
（ 3 ） 拓 展 ： ＝
．（用含n的式子表示，n为正整数）
11．（2023•东方模拟）计算：
（1） ． （2）
．
六．函数的概念（共1小题）
12．（2022 秋•霍邱县期中）如图，下列各曲线中，y 不是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
七．函数自变量的取值范围（共1小题）
13．（2023春•江阴市期中）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x≥﹣5 D．x＞﹣5
八．函数的图象（共2小题）
14．（2023春•兴宁区校级期中）晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，
在公园中央的休息区聊了会天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈
离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022秋•莱州市期末）阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了 800
米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，
两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（ ）A．小勇的平均速度为160米/分
B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分
C．小勇和小汪同时达到终点
D．小汪和小勇的平均速度相等
九．动点问题的函数图象（共3小题）
16．（2022•东洲区模拟）如图，在矩形 ABCD中，AB＝2cm，BC＝4 cm，E
是AD的中点，连接 BE，CE．点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC方
向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE﹣EC方向
运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列
最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．C． D．
17．（2022秋•江都区期末）如图 1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P从点C
出发，沿三角形的边以 1cm/秒的速度顺时针运动一周，点 P运动时线段CP
的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系如图 2所示，若点M的坐标
为（11，5），则点P运动一周所需要的时间为 秒．
18．（2023 春•栾城区期中）如图①，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝
6m，点P从A点出发，沿 A→B→C→D路线运动，到 D点停止：点 Q从D
点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P
的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速
度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm），如图②
是△APD 的面积 S （cm2）与点 P 出发时间 x（秒）之间的关系：图③是
1
△AQD的面积S （cm2）与Q点出发时间x（秒）之间的关系，根据图象回答
2
下列问题：
（1）则a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的关
系式，并求出点P与Q相遇时x的值．一十．一次函数的图象（共1小题）
19．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知一次函数 y＝kx+b，函数值y随自变量x
的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
十一．一次函数的性质（共1小题）
20．（2022秋•高陵区期中）小明根据学习函数的经验，对函数 y＝ 的
图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）填表：a： ，b： ，c： ，d： ．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 a ﹣1 b ﹣1 c 0 1 d 3 …
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝ 的图象．（3）结合函数图象，请写出该函数的一条性质．
十二．一次函数与一元一次方程（共1小题）
21．（2022 秋•博山区校级期末）如图，直线 y＝ax+b（a≠0）过点 A（0，
1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为 ．
十三．一次函数的应用（共8小题）
22．（2022春•渝中区校级月考）甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲
地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人同时出发并且在运动过程中保持速
度不变，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分）的函
数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A．小红跑步的速度为150米/分
B．小刚步行的速度为100米/分
C．a＝12
D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米
23．（2023•西华县二模）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运
动，某学校计划购买一批足球，已知购买 4个A品牌足球和3个B品牌足球
共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共12个，且B品牌足球不少于4
个，设购买两种品牌足球所需费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的
函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
24．（2023•市南区校级二模）自 2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视
新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，
学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格
每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的
数量多4台．（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数
量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，
并设计出费用最低时的购买方案．
25．（2022秋•南关区校级期末）洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿
同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了
30min．妮妮骑单车以 300m/min 的速度直接回学校．两人离学校的路程 y
（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）学校与公园之间的路程为 m，洋洋步行的速度为
m/min；
（2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间．
26．（2023•湘潭模拟）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，
y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；
（2）若行驶2km、8km分别要多少车费？
（3）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．27．（2023•双柏县模拟）某公司计划组织员工 360人去华为公司参观学习，经
过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中，租用20辆作为
交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信
息：
型号 载客量 租金单价
A 20人/辆 300元
B 15人/辆 200元
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）若要使租车总费用不超过5800元，一共有几种租车方案？并求出最低
租车费用．
28．（2022秋•宁明县月考）为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费
标准如下：每户每月用水量不超过 6立方米时，水费按每立方米 0.6元收费，
超过6立方米时，超过部分每立方米按1元收费，设每户每月用水量为x立
方米，应缴水费为y元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）已知某户3月份用水量为8立方米，求该用户3月份的水费．29．（2022•景宁县模拟）畲乡绿道是户外骑行的好去处，小明和爸爸在绿道骑
车，两人骑车的路程s（米）与时间t（分）的关系如图所示．
（1）此次骑行全程 米，爸爸骑行 分钟时追上了小
明；
（2）求出BC所在直线的函数关系式；
（3）当爸爸和小明相距1000米时，求t的值．
十四．一次函数综合题（共5小题）
30．（2023春•昆明期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交
两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D
的坐标为（1，0），点C的横坐标为4．
（1）求直线CD的函数解析式：
（2）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2023春•章丘区期中）如图，直线 的图象与x轴和y轴分别交于
点 A 和点 B，AB 的垂直平分线 l 与 x 轴交于点 C，与 AB 交于点 D，连接
BC．
（1）求OC的长；
（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，
直接写出所有满足条件的点P的坐标．
32．（2022 秋•通川区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y＝mx
（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与x轴、
y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的 倍，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，若一条平行于OA的直线DE与直线BC在第二象限
内相交于点D，与y轴相交于点E，连接OD，当OC平分∠AOD时，求点D
的坐标．
33．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线 AB：y＝kx+b（k≠0）过点A
（2，2），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求AM+MN+NB的最
小值及此时点M的坐标；
（3）如图3，在（2）问的条件下，过点B作l 垂直于y轴，点P为直线AB
1
上一动点，点Q为直线l 上一动点，若△MPQ是以MQ为腰的等腰直角三角
1
形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．
34．（2022春•温州校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶
点A，C分别在x轴和y轴上，其中OA＝12，OC＝6，直线OD交线段BC于
点D，BD＝2，点P，Q为线段OA上两点且OP＝AQ＝t，过点P作PE⊥OA
交OD于点E．
（1）求直线OD的表达式．（2）当P在Q的右侧且PQ＝2时，求△PEQ的面积．
（3）当在线段OA的边上找到点F（不包括顶点），在矩形其它三边（不包
括顶点）上找一点 G，使得以Q、E、F、G为顶点的四边形为菱形，求 t的
值．
十五．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
35．（2023春•涧西区期中）如图，在 Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，
点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长
为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
十六．勾股定理（共5小题）
36．（2023春•福州期中）如图，三个四边形均为正方形，则字母 B所表示的
值为（ ）A．12 B．13 C．144 D．194
37．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC
的三边为边向外做正方形 ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，
CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为
S ，S ，若S ＝4，S ＝7，则S ：S 等于（ ）
1 2 1 2 △ACP △BCP
A．2： B．4：3 C． ： D．7：4
38．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，
AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则
四边形AFBD的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
39．（2022•河池模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，D
为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当
∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）A． B．1 C．2 D．
40．（2022秋•青秀区校级期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的
数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公
式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S
1 2 3 1 2 3
之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第
（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以
它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．十七．勾股定理的逆定理（共3小题）
41．（2023 春•大连期中）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2， B．2，3，5 C．4，5，6 D．6，7，8
42．（2023•琼海模拟）△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能确保ABC为直
角三角形的是（ ）
A．∠A＝ ∠B＝ ∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5
C．c2＝a2﹣b2 D．∠A﹣∠B＝∠C
43．（2023春•巨野县期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD＝4米，
CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
十八．三角形中位线定理（共1小题）
44．（2023•镇平县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB
的中点，DE⊥CB，垂足为E，若DE＝2，则AC的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
十九．平行四边形的性质（共2小题）
45．（2023春•东台市月考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE
▱
平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝ BC，连接OE，下列结论：
①∠CAD＝30°；② S ABCD＝AB•AC；③ OB＝AB；成立的个数有
（ ）
▱A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
46．（2022秋•招远市期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定
等于平行四边形面积一半的是（ ）
A． B．
C． D．
二十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
47．（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中
点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：
（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．
二十一．菱形的性质（共1小题）
48．（2022•渝北区校级模拟）如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝40°，点E为
对角线 BD 上一点，F 为 AD 边上一点，连接 AE、CE、FE，若 AE＝FE，
∠BEC＝56°，则∠DEF的度数为（ ）A．16° B．15° C．14° D．13°
二十二．矩形的性质（共3小题）
49．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点
沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的
垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
50．（2022秋•宁德期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边
的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy中，
矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得
△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3） B．（3， ）或（3，3）
C．（3， ）或（3，1） D．（3， ）或（3，1）或（3，3）
51．（2022秋•章丘区期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质
是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
二十三．矩形的判定（共1小题）
52．（2023•新城区一模）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形
ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC
二十四．正方形的性质（共4小题）
53．（2022秋•金牛区期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
54．（2022 秋•九龙坡区校级月考）如图，在正方形 ABCD 中，O 为对角线
AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．
若∠AOE＝150°，DF＝ ，则EF的长为（ ）
A．2 B．2+ C．2 D． +1
55．（2022秋•市南区校级月考）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对
角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下
列结论：
① PD＝ DF；②四边形 PECF 的周长为 8；③ EF 的最小值为 2；
④AP⊥EF．
其中正确结论的序号为（ ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
56．（2022秋•增城区期中）如图，在正方形 ABCD和正方形CEFG中，点G
在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
二十五．加权平均数（共1小题）
57．（2023•福州模拟）林则徐纪念馆作为“福州古雁”的典型代表，是全国重
点文物保护单位．该纪念馆计划招聘一名工作人员，评委从内容、文化两个
方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按内容占 40%，
文化占60%计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者
是（ ）
应聘者 内容 文化
甲 80 85
乙 85 80
丙 90 80
丁 80 90
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二十六．众数（共1小题）
58．（2023•禅城区二模）在一次数学测试中，第 5小组同学的分数（单位：
分）分别是：85、63、101、85、85、101、72，则这组数据的众数是
（ ）
A．63 B．72 C．85 D．101
二十七．方差（共2小题）
59．（2022秋•邢台期末）若一组数据a ，a ，……，a 的平均数为10，方差为
1 2 n4，那么数据2a +3，2a +3，…，2a +3的平均数和方差分别是（ ）
1 2 n
A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19
60．（2022春•霍林郭勒市校级期末）为了发展学生的核心素养，培养学生的
综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外
活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击
队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如表：
射击次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（次）
甲的成绩 8 9 7 9 8 6 7 a 10 8
（环）
乙的成绩 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
（环）
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8（环），请求出表中的a＝ ；
（2）甲成绩的中位数是 环，乙成绩的众数是 环；
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成
绩更为稳定？
