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第十六章 二次根式
第1课时16.1二次根式
一、温故知新（导）
1.什么是一个数的平方根？如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用±√a表示
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个数的非负的平方根，就叫作这个数的算术平方根，用√a表示.
3.平方根的性质是什么?
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
今天我们继续学习平方根的有关内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.了解二次根式的概念，会判断一个根式是否为二次根式；
2.理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围.
学习重难点
重点：二次根式的概念.
√a(a≥0)
难点：学习难点：利用“ ” 解决相关问题.
二、自我挑战（思）
1、用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 _______ _m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足
关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
√ℎ
答案:(1)√3；√S(2)√65(3) .
5
√ℎ
2、上面问题中，得到的结果分别是：√3；√S；√65； .
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
表示正数的算术平方根
（2）这些式子有什么共同特征？
被开方数大于0；结果大于0.
3、二次根式的定义：一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式.“√❑”称为二次根号.
三、互动质疑（议、展）
1、在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
√a表示a的算术平方根，只有正数和零才有算术平方根，故被开方数必须是非负数.2、指出下列哪些是二次根式？
解：（1）是；
（2）不是，-3＜0；
（3）不是，根指数是3；
（4）是；
（5）是；
（6）不是，a<b时，a −b<0.
3、二次根式的特点：
① 被开方数a≥0；②根指数为2.
4、当x 取何值时，下列根式有意义？
解：(1)由x−2≥0，得x≥2；
1
(2)由-2x+3≥0，得x≤ .
2
5、二次根式有意义的条件：
被开方数大于或等于0，即a≥0.
6、思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内 呢？
解：由x2≥0，得x是任意实数，
∴当x为任意实数时， 都有意义.
√x2
由x3≥0，得x≥0，
∴当x≥0 时， 有意义.
√x3
7、想一想：比较√a与0的大小.
解：当a＞0时，得 ， 当a=0时，得 ，∴ .
8、实例：
例1 当a取何值时，下列式子有意义？
解：(1)由a≥0，且 a−1≠0，得a≥0，且 a≠1；
−
(2)由1 2a＞0，得a＜ .
例2 当x是什么实数时，下列各式有意义？−
解：(1)由3 4x≥0，得x≤ ，
(2)由x+4≥0，且 x−2≠0，得x≥−4，且 x≠2；
(3)由−x2≥0，得x=0；
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、下列各式中是二次根式的是（ ）
A．√−7 B．√32m C．√x2+1 D．√a2−1
1、解：A．被开方数小于0，无意义，故A不是二次根式；
B．是三次根式，故B不是二次根式；
C．根指数是2，且被开方数是非负数，故 C是二次根式；
D．被开方数有可能小于0，故D不是二次根式．
故选：C．
2、若使二次根式√−3+x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3
2、解：若使二次根式√−3+x在实数范围内有意义，则-3+x≥0，解得：x≥3．
故选：A．
√x+1
3、代数式 有意义的x的取值范围是（ ）
x
A．x≥-1且x≠0 B．x≥-1
C．x＜-1 D．x＞-1且x≠0
{x+1≥0
3、解：根据题意，得 ，
x≠0
解得：x≥-1且x≠0．
故选：A．
4、若代数式√3x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
4、解：∵代数式√3x−5在实数范围内有意义，
∴3x-5≥0，
5 5
∴x≥ ．故答案为：x≥ ．
3 3
√x
5、要使分式 有意义，则x应满足的条件是 ．
|x|−5
5、解：根据题意得x≥0且|x|-5≠0，
解得x≥0且x≠5，
即x应满足的条件为x≥0且x≠5．故答案为：x≥0且x≠5．
六、用
（一）必做题
1、下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．√a2 B．-√a C．√3 a D．√a
1、解：A、 中a2≥0，所以 是二次根式，本选项符合题意；
√a2 √a2
B、当a＜0时-√a不是二次根式，本选项不符合题意；
C、√3 a的根指数是3，本选项不符合题意；
D、当a＜0时,√a不是二次根式，本选项不符合题意．
故选：A．
2、要使二次根式√x−2有意义，x的范围应满足（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≠0
2、解：要使二次根式√x−2
有意义，必须x-2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
√x−5
3、代数式
x−6
有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤5 B．x≥5
C．x＞5且x≠6 D．x≥5且x≠6
√x−5
3、解：∵代数式 有意义，
x−6
{x−5≥0
∴ ，解得x≥5且x≠6．
x−6≠0
故选：D．
x
4、在y= 中，x的取值范围为 ．
√2x+6
4、解：根据题意得：2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3．
5、已知x、y为实数，且y＝√x−2023+√2023−x+1，则x+y的值是 ．
{x−2023≥0
5、解：由题意可得： ，
2023−x≥0
解得：x=2023，
∴y=1，
∴x+y=2023+1=2024．
故答案为：2024．
（二）选做题
6、已知y＝2 + −5，求 ．
√x−4 √4−x √x2−2xy+ y26、解：∵y＝2√x−4+√4−x−5，
{x−4≥0
∴ ，解得：x=4，
4−x≥0
∴y＝2√4−4+√4−4−5＝−5，
∴ ＝ ＝
√x2−2xy+ y2 √(x−y) 2 √[4−(−5)] 2
＝√81＝9．
