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知识点一、二次根式
1、二次根式的概念
二次根式的定义：（重点）
形如 ( )的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负
数时， 才有意义．
2、二次根式的性质（考点、易错点）（学会区分平方根、算术平方根）
（1） 非负性： 是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
（2） ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非
负数或非负代数式写成完全平方的形式：
（3）
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把
负号留在根号外．
（4）公式 与 的区别与联系（易错点）
（1） 表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2） 表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3） 和 的运算结果都是非负的．
3、最简二次根式和同类二次根式
（1）最简二次根式：
最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含
能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．
（2）同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式
就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
4、二次根式计算——分母有理化（重点）
（1）分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这
两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 来确定，如： ， ，
与 等分别互为有理化因式。
② 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 与 ，
， 分别互为有理化因式。
（3）分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
5、二次根式计算——二次根式的乘除（重点）
（1）积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
= · （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的
算术平方根。
· ＝ ．（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除
式的算术平方根
a a
b = b （a≥0，b>0）
（4）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算
术平方根。
a a
b = b （a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边
变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最
简二次根式．
6、二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根
式）的系数相加减，被开方数不变。
7、根式比较大小（重点）
（1）根式变形法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，
则 。
（2）平方法 当 时，①如果 ，则 ；②如果 ，则
。（3）分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
（4）分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
（5）倒数法
（6）媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
（7）作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①
②
（8）求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：① ； ②
知识点二、勾股定理
1.勾股定理及其应用（重点、考点）
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之
一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．
这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
a2 c2 b2,b2 c2 a2,c a2 b2 a c2 b2,b c2 a2
, ．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计
算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.如何判定一个三角形是直角三角形（重点）
（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2 与a2 +b2
是否具有相等关系
（3）若c2 =a2 +b2 ，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2 ≠a2 +b2
，
则△ABC不是直角三角形。
3、三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a2 b2 c2
，则三角形
是直角三角形；若a2 b2 c2 ，则三角形是锐角三角形；若a2 b2 c
，则
三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最
大边
4、勾股数
满足a2 +b2 =c2
的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
知识点三、平行四边形
1、平行四边形知识点 （重点）
行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、矩形知识点
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称
轴是各边的垂直平分线。
矩形性质1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。（注意：矩形具有平行四边形的
一切性质）
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形
3、菱形知识点 （重点、考点）
菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称
轴是对角线所在的直线。
菱形性质1：菱形的四条边都相等。
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。
菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（注意：菱形具有平行四边形的一切性质）
4、正方形知识点
正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对
称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
正方形性质1：正方形的四个角都是直角。
正方形性质2：正方形的四条边都相等。
正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
（注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
知识点四、一次函数
1、一次函数、正比例函数的概念和图象
(1)一次函数与正比例函数的概念
形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数；
形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数．
（2）一次函数的图象（重点）（3）图像的平移
设m>0，将直线y＝kx＋b向上平移m个单位长度得到直线y＝kx＋b+m；向
下平移m个单位长度得到直线y＝kx＋b-m。
2、一次函数的解析式（重点）
利用待定系数法求一次函数解析式的主要步骤：
(1)设函数关系式为y＝kx＋b；
(2)由已知条件得出关于k，b的方程(组)；
(3)解方程(组)，求出k，b的值，从而求出解析式
3、一次函数与方程、不等式的关系
4、一次函数图象的应用
一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，
解这类题的关键在于要弄清纵、横轴各表示什么量，图象上每一点表示什么
实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．5、实际问题中的一次函数（重点）
步骤：1.分析问题：
(1)借助图表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数关系式；
(2)根据函数的图象获取信息，分析数量关系．
2．确定模型：根据所获取的信息，建立一次函数模型．
3．解决问题：根据题中数量关系或函数模型解决问题．
知识点五、数据分析
一、总体和样本：
在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象
叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个
体的数目叫做样本容量。
二、反映数据集中趋势的特征数
1、平均数（重点、考点）
1
x= (x +x +⋯+x )
（1） x 1 ,x 2 ,x 3 ,⋯,x n的平均数， n 1 2 n
x f x f
（2）加权平均数：如果n个数据中， 1出现 1次， 2出现 2次，……，
1
x= (x f +x f +⋯+x f )
x k 出现 f k次（这里 f 1 +f 2 +⋯+f k =n ），则 n 1 1 2 2 k k
（3）平均数的简化计算：
x ,x ,x ,⋯,x
当一组数据 1 2 3 n中各数据的数值较大，并且都与常数 a接
x −a,x −a,x −a,⋯,x −a x' x=x'+a
近时，设 1 2 3 n 的平均数为 则： 。
2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置
上两个数据的平均数。（重点、考点）
3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一
组数据的众数可能不止一个。（重点、考点）
三、反映数据波动大小的特征数：
1、方差：（重点、考点）
(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2
S2
=
1 2 n
（l）
x
1
,x
2
,x
3
,⋯,x
n的方差， n
x +x +⋯+x
2 2 2
S2
=
1 2 n −x2
x ,x ,x ,⋯,x
（2）简化计算公式： n （ 1 2 3 n为较小
的整数时用这个公式要比较方便）
（ 3 ） 记
x
1
,x
2
,x
3
,⋯,x
n的 方 差 为
S2
， 设 a 为 常 数 ，
x 1 −a,x 2 −a,x 3 −a,⋯,x n −a 的方差为S 2 ，则S2 =S 2 。
x ,x ,x ,⋯,x
注：当 1 2 3 n各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较
便。
2、标准差：方差（S2
）的算术平方根叫做标准差（S）。（重点、考
点）
注：通常由方差求标准差。
四、频率分布（重点、考点）
1、有关概念
（1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在
100个以内时，通常分成5－12组。
（2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之
和等于数据总数n。
（3）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l。
（4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表
格叫做频率分布表。
（5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分
点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。
（6）图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。
（7）每个小长方形的面积等于该组的频率。
（8）所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。
（9）样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量 n的比例的
大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，
一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。
2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数
据，后画出频率分布直方图，其步骤是：
（1）计算最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）决定分点；
（4）列领率分布表；
（5）绘频率分布直方图。
