文档内容
专题讲座（十二） 晶胞参数、坐标参数的分析与应用
目录
第一部分：网络构建（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：典型例题剖析
高频考点1 晶胞参数与晶体密度间的互算
高频考点2 原子空间利用率的计算
高频考点3 晶胞中原子坐标的确定
正文
第一部分：网络构建（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
【知识梳理】
知识点一、常见晶体结构分析
1．常见原子晶体结构分析
晶体 晶体结构 结构分析
(1)每个C与相邻4个C以共价键结合，形成正四面体结构
(2)键角均为109°28′
金刚石 (3)最小碳环由6个C组成且6个C不在同一平面内
(4)每个C参与4个C—C键的形成，C原子数与C—C键数之比为1∶2
(5)密度＝(a为晶胞边长，N 为阿伏加德罗常数)
A
(1)每个Si与4个O以共价键结合，形成正四面体结构
(2)每个正四面体占有1个Si,4个“O”，因此二氧化硅晶体中Si与O的个
SiO
数比为1∶2
2
(3)最小环上有12个原子，即6个O,6个Si
(4)密度＝(a为晶胞边长，N 为阿伏加德罗常数)
A
SiC、BP、 (1)每个原子与另外4个不同种类的原子形成正四面体结构
AlN
(2)密度：ρ(SiC)＝；ρ(BP)＝；ρ(AlN)＝(a为晶胞边长，N 为阿伏加德罗
A常数)
2.常见分子晶体结构分析
晶体 晶体结构 结构分析
(1)每8个CO 构成1个立方体且在6个面的面心又各有1个CO
2 2
干冰 (2)每个CO 分子周围紧邻的CO 分子有12个
2 2
(3)密度＝(a为晶胞边长，N 为阿伏加德罗常数)
A
(1)面心立方最密堆积
白磷
(2)密度＝(a为晶胞边长，N 为阿伏加德罗常数)
A
3．常见金属晶体结构分析
(1)金属晶体的四种堆积模型分析
堆积模型 简单立方堆积 体心立方堆积 六方最密堆积 面心立方最密堆积
晶胞
配位数 6 8 12 12
原子半径(r)和晶
2r＝a 2r＝ 2r＝
胞边长(a)的关系
一个晶胞内原子
1 2 2 4
数目
原子空间利用率 52% 68% 74% 74%
(2)金属晶胞中原子空间利用率计算
空间利用率＝×100%，球体积为金属原子的总体积。
①简单立方堆积如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V ＝πr3，V ＝(2r)3＝8r3，空间利用率＝×100%＝
球 晶胞
×100%≈52%。
②体心立方堆积
如图所示，原子的半径为r，体对角线c为4r，面对角线b为a，由(4r)2＝a2＋b2得a＝r。1个晶胞中有2个
原子，故空间利用率＝×100%＝×100%＝×100%≈68%。
③六方最密堆积
如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则底面面积S＝2r×r＝2r2，h＝
r，V ＝S×2h＝2r2×2×r＝8r3,1个晶胞中有2个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。
晶胞
④面心立方最密堆积
如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，a＝2r，V ＝a3＝(2r)3＝16r3,1个晶胞中有4个原子，则空间
晶胞
利用率＝×100%＝×100%≈74%。
(3)晶体微粒与M、ρ之间的关系
若1个晶胞中含有x个微粒，则1 mol该晶胞中含有x mol 微粒，其质量为xM g(M为微粒的相对分子质
量)；若该晶胞的质量为ρa3 g(a3为晶胞的体积)，则1 mol晶胞的质量为ρa3N g，因此有xM＝ρa3N 。
A A
4．常见离子晶体结构分析
NaCl型 CsCl型 ZnS型 CaF 型
2晶胞
配位数 6 8 4 F－：4；Ca2＋：8
配位数及
影响因素 影响 阳离子与阴离子的半径比值越大，配位数越多，另外配位数还与阴、阳离子的电
因素 荷比有关等
密度的计算(a为晶胞边
长，N 为阿伏加德罗常
A
数)
知识点二、原子分数坐标参数
1．概念
原子分数坐标参数，表示晶胞内部各原子的相对位置。
2．原子分数坐标的确定方法
(1)依据已知原子的坐标确定坐标系取向。
(2)一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。
(3)从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。
3.金刚石晶胞中碳原子坐标的确定
以金刚石晶胞结构为例，金刚石晶体整体上是正四面体立体网状结构。每个碳原子L能层的4个电子
采用sp3杂化，形成4个等同的杂化轨道，相邻的两个碳原子之间形成σ键。这样每个碳原子与周围4个碳
原子形成4个σ键，每个碳原子都是直接相连的4个碳原子的重心。
在一个金刚石晶胞中有8个碳原子位于立方体的顶点，6个碳原子位于面心，4个碳原子位于晶胞内部。
每个晶胞中8个顶点中有4个顶点、6个面心和4个晶胞内部的碳原子形成4个正四面体，每个正四面体的
4个顶点分别是一个晶胞顶点和这个顶点所在平面的面心，正四面体中心是晶胞内的1个碳原子。
用解析几何知识研究晶体中各个微粒间的位置关系更具体更直接。以底面一个顶点的碳原子(通常取后
左下)为原点建立一个三维坐标系。原点上的原子坐标为(0，0，0)，晶胞边长参数看作1，并据此分析坐标参数。在晶胞进行“无隙并
置”时，可以看出，8个顶点的原子都可以作为原点，注意看清楚，与这个原点原子重合的是晶胞上哪一
个顶点的碳原子。所以顶点上的8个原子坐标都是(0，0，0)，这与纯粹立体几何不同，所以高中阶段我们
只标注顶点以外的晶胞内和晶胞上点的坐标；棱心和面心坐标点中数据中不会出现“1”。
以下是晶胞中各点碳原子对应的三维坐标和晶体中坐标的对应关系。
(1)6个面心坐标
上面心 下面心 左面心 右面心 前面心 后面心
三维坐标
晶体中坐
标
(2)12个棱中心坐标
上面四条棱
三维坐标
晶体中坐标
下面四条棱
三维坐标
晶体中坐
标
垂直底面四条棱三维坐标
晶体中坐
标
(3)晶胞内部4个碳原子的坐标
金刚石晶胞有两种取向，由于金刚石晶胞内部有4个碳原子，在空间分布是不对称的，所以从不同方
向观察晶胞时，内部的4个碳原子的位置是不相同的。我们把左边的图叫作取向1，右边的图叫作取向2
它们各自绕竖直中心轴旋转90°，就能够变为对方。金刚石晶胞内4个碳原子坐标：
取向1：
取向2：
所以金刚石晶胞的取向不同时，晶胞内部不对称的4个原子的坐标会发生改变。
4.常见晶胞的原子坐标
1）金刚石晶胞的原子坐标
（1）取向一：
金刚石晶胞中碳原子的坐标：
8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；
6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；
4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，3/4；3/4，1/4，1/4；3/4，3/4，3/4；1/4，3/4，1/4；（2）取向二：
金刚石晶胞中碳原子的坐标：
8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；
6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；
4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4；
注：金刚石晶胞的取向不同时，即使都是取前左下的顶点原子作原点，晶胞内部不对称的4个碳原子的坐
标，也会发生改变。
2）氟化钙晶体：
每个CaF 晶胞有4个Ca2＋和8个F－原子分数坐标如下：
2
Ca2＋： 0，0，0 1/2，1/2，0 1/2，0，1/2 0，1/2，1/2
F－： 1/4，1/4，1/4 3/4，1/4，1/4 1/4，3/4，1/4 1/4，1/4，3/4
3/4，3/4，1/4 3/4，1/4，3/4 1/4，3/4，3/4 3/4，3/4，3/4
3）氯化钠晶胞：
每个晶胞含有4个Cl－和4个Na＋，它们的原子分数坐标为：
Na＋： 1/2，1/2，1/2 1/2，0，0 0，1/2，0 0，0，1/2Cl－： 0，0，0 1/2，1/2，0 0，1/2，1/2 1/2，0，1/2
注：碱金属的卤化物、氢化物，碱土金属的氧化物、硫化物、硒化物、碲化物，过渡金属的氧化物、硫化
物，以及间隙型碳化物、氮化物都属NaCl型结构。
知识点三、宏观晶体密度与微观晶胞参数的关系
1.密度的计算式：
2.计算类型
晶体的密度有两种计算形式，一种是知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算，一种是知道原子或离子半
径和晶胞结构进行的计算。
1）知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算
若晶胞为正方体，边长为a pm，含有b个分子，分子的相对分子质量为M，则密度的计算过程为(别记结
论，学会计算过程)
晶胞的体积为：(a×10－12m)3= a3×10－36m3
晶胞中分子的总质量为：m=nM=(b/N )M= bM/6.02×1023g
A
ρ=M/V=(bM/6.02×1023g) /( a3×10－36m3)=(bM×1013)/(6.02×a3)g/m3
(1)CO 分子晶体的密度计算：
2
已知CO 分子晶体的结构如下图(面心立方)，晶胞边长为572pm(计算数据)。
2
①晶胞中的分子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4
一个晶胞中有4个CO。
2
②晶体密度计算：m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×44g/mol=2.9236×10－22g
V=(572×10－12)3m3=1.8715×10－28m3
ρ=m/V=2.9236×10－22g /1.8715×10－28m3=1.562×106g/m3=1.562g/ cm3。
(2)Po(钋)，相对原子质量为209，晶胞边长为336pm。
①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。
②密度计算：
m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×209g/mol=3.472×10－22g
V=(336×10－12)3m3=3.7933×10－29m3
ρ=m/V=3.472×10－22g /3.7933×10－29m3=9.153 ×106g/m3=9.153g/cm3
2）知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算
先用原子或离子的半径计算出晶胞的边长，然后再进行密度计算。
(1)Na的体心立方
Na的原子半径r=186pm。
①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。
②密度计算：
先计算晶胞的边长a：根据体对角线=√3a=4r，
边长a=4r/√3=4×186pm/√3=429.56pm。
m=nM=[2/(6.02×1023/mol)]×23g/mol=7.6412×10－23g
V=(429.56×10－12)3m3=7.9263×10－29m3
ρ=m/V=7.6412×10－23g /7.9263×10－29m3=9.64 ×105g/m3=0.964g/cm3
(2)Zn的六方堆积：Zn的范德华半径为139pm。
①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6
②密度计算：六方最密堆积不是正方体晶胞，不能用正方体的公式计算。
用上面的正六棱柱计算，正六棱柱的边长为278pm。
若边长为r，体积为24√2 r3。(计算式见空间利用率计算的(3))
V=24√2 r3=24√2×(139×10－12m)3=9.1153×10－29m3
m=nM=[6/(6.02×1023/mol)]×65.38g/mol=6.5163×10－22g
ρ=m/V=6.5163×10－22g /9.1153×10－29m3=7.15 ×106g/m3=7.15g/cm3
(3)金刚石原子晶体的结构
①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8
②密度计算：以金刚石结构为例，C的共价半径为77pm。
大立方体的边长为8r/√3，即355.65 pm。(计算式见空间利用率计算的(4))
m=nM=[8/(6.02×1023/mol)]×12g/mol=1.5947×10－22g
V=(355.65×10－12)3m3=4.4985×10－29m3
ρ=m/V=1.5947×10－22g /4.4985×10－29m3=3.545 ×106g/m3=3.545g/cm3
(4)离子晶体的密度计算：①NaCl：Na＋的离子半径为95pm，Cl－的离子半径为181pm
晶胞边长的计算：2r(Na＋)＋2r(Cl－)=552pm。
其中含Na＋4个，Cl－4个。
m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×23g/mol＋[4/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=3.8837×10－22g
V=(552×10－12)3m3=1.682×10－28m3
ρ=m/V=3.8837×10－22g /1.682×10－28m3=2.309×106g/m3=2.309g/cm3
②CsCl：Cs＋的离子半径为169pm，Cl－的离子半径为181pm。
晶胞边长的计算：[2r(Cs＋)＋2r(Cl－)]/√3=404.15pm。
其中含Cs＋1个，Cl－1个。
m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×132.9g/mol＋[1/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=2.7965×10－22g
V=(404.15×10－12)3m3=6.6013×10－29m3
ρ=m/V=2.7965×10－22g /6.6013×10－29m3=4.236×106g/m3=4.236g/cm3
③CaF ：Ca2＋的离子半径为99pm，F－的离子半径为136pm。
2
右侧为晶胞的八分之一
晶胞边长计算为2{[2r(Ca2＋)＋2r(F－)]/√3}=542.71pm。
其中含Ca2＋4个，F－8个，则密度为
M=nm=[4/(6.02×1023/mol)]×40g/mol＋[8/(6.02×1023/mol)]×19g/mol=5.1827×10－22gV=(542.71×10－12)3m3=1.5985×10－28m3
ρ=m/V=5.1827×10－22g /1.5985×10－28m3=3.242×106g/m3=3.242g/cm3
知能点四 晶体中堆积方式不同的棱长与原子半径的关系
1.面心立方最密堆积，金属原子之间的距离为面对角线的一半，r为金属原子的直径。
如果边长为acm，半径r=（ ／4）acm ,
2.体心立方最密堆积，金属原子之间的距离为体心对角线的一半，为金属原子的直径。
如果边长为acm，则半径r=（ ／4）acm
3.六方最密堆积
4.简单立方堆积
立方体的边长为acm,则r=a／2 cm。5.金刚石
图中原子均为碳原子，这种表示为更直观。如边长为acm,碳原子的半径为（ ／8）acm。
知识点五 空间利用率的计算
1、空间利用率的计算式
若原子的半径为R，晶胞中原子有n个，立方晶胞的边长为a：
单个原子的体积为4πr3/3，立方晶胞的体积为a。
3
则空间利用率为
2、各种晶胞的空间利用率计算
(1)金属晶体的简单立方
①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。
②空间利用率计算：设球的半径为r，则正方体的边长为2r。
原子的总体积为4πr3/3。正方体的体积为8r3。
空间利用率为(4πr3/3)/(8 r3)=π/6=52.36%
(2)金属晶体的体心立方①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。
②空间利用率计算：在体心立方中，设为球半径为r，
则正方体的体对角线为4r。
又因为正方体的体对角线是边长的√3倍，则边长为4r /√3。
原子的总体积为2×4πr3/3，正方体的体积为64r3/3√3。
空间利用率为(2×4πr3/3)/(64r3/3√3)=π√3/8= 68.02%
(3)金属晶体的六方堆积
左图的粉色区域代表一个晶胞
由于1个正六棱柱相当于3个晶胞，所以用六棱柱的1/3进行计算。
①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6。
则晶胞中的原子数目为6×1/3=2。
②空间利用率计算：设球的半径为r，则面上正六边形的边长为2r。正六棱柱的高的计算：
正六棱柱的高为两个边长为2r的正四面体的高。边长2r的正四面体的体高为2√6r/3，则正六棱柱的高为
4√6r/3。
正六边形的面积为6×√3r2=6√3r2。
正六棱柱的体积为(6√3r2)×(4√6r/3)=24√2 r3。
晶胞体积为正六棱柱的1/3，为8√2r3。
原子的总体积为2×4πr3/3=8πr3/3。
空间利用率为(8πr3/3)/(8√2r3)=π/3√2= 74.05%
(4)金刚石原子晶体的结构
①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8
②空间利用率计算：根据两个C之间紧密相邻，若C的原子半径为r，则C－C为2r。
大立方体切8个小立方体，其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为4r(自己
思考一下)，则小立方体的边长为4r/√3。
求得大立方体的边长为8r/√3，体积为512r3/3√3。
大立方体内的碳原子数为8，碳原子的总体积为8×4πr3/3=32πr3/3。
所以空间利用率为(32πr3/3)/(512 r3/3√3)=π√3/16=34.01%
第三部分：典型例题剖析
高频考点1 晶胞参数与晶体密度间的互算
例1.（2022·辽宁辽阳·二模）在普通铝中加入少量 和 后，形成一种称为拉维斯相的 (结构如
图)微小晶粒，其分散在 中可使得铝材的硬度增加、延展性减小，形成所谓“坚铝”，“坚铝”是制造飞机的主要材料。
已知：该结构中 以金刚石方式堆积，八面体空隙和半数的四面体空隙中填入以四面体方式排列的 。
则晶体结构中镁原子之间的最短距离为
A． B． C． D．
【名师点睛】计算晶体的密度关键在于计算晶胞的体积和晶胞中的粒子数。
【变式训练】（2022·辽宁·二模） 具有 型晶体结构，其晶胞如图所示，晶胞边长为 ，为下
列说法正确的是
A．熔点：
B． 位于 构成的八面体空隙中
C．距离 最近的 有8个
D．阿伏加德罗常数数值为 ，则晶胞密度为
高频考点2 原子空间利用率的计算
例2.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）金刚石和C 都是由碳元素组成的重要单质，金刚石和C 分
60 60
子及它们的晶胞如图所示(已知 ≈1.732、π≈3.14)：下列说法正确的是
A．每个金刚石晶胞中含有4个碳原子
B．每个C 分子含有90个σ键
60
C．金刚石和C 晶胞中微粒间的作用力均只有共价键
60
D．每个金刚石晶胞原子的空间利用率为74.05%
【名师点睛】解答原子空间利用率的计算问题要掌握以下四方面知识：①四种堆积的切割模型； ②晶胞
参数（边长）与金属原子半径的关系； ③六方最密堆积晶胞所含原子数及晶胞体积；④空间利用率计算
方法；
【变式训练】（2022·全国·高三专题练习）有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示(原子半径为
rcm)，下列叙述错误的是
A．晶胞中原子的配位数分别为：①6，②8，③12，④12
B．晶胞①的空间利用率：
C．晶胞中含有的原子数分别为：③2，④4，
D．金属晶体是一种“巨分子”，可能存在分子间作用力
高频考点3 晶胞中原子坐标的确定
例3.（2022·辽宁·二模）锗(Ge)是典型的半导体元素，在电子、材料等领域应用广泛。Ge与碳是同族元素，
碳原子之间可以形成双键、三键，但Ge原子之间难以形成双键或三键。Ge单晶的晶胞结构类似于金刚石，
如图。( =1.732，π=3.14)(注：晶胞中所有的球是等径硬球，且A球和D球相切)下列说法错误的是A．原子坐标参数表示晶胞内部各原子的相对位置，其中原子坐标参数A为(0，0，0)，则C( ， ，0)，
D( )，B( ，0， )
B．碳原子之间可以形成双键、三键，但Ge原子之间不能形成的原因是Ge原子的半径大，原子间形成的
σ单键长，p-p轨道肩并肩的重叠程度小
C．若Ge原子半径为r，Ge单晶晶胞边长为a，Ge原子在晶胞中的空间占有率为34%(一个晶胞中构成晶
体粒子在整个晶体空间中所占的体积百分比)
D．两个最近的Ge原子之间的距离为 (Ge单晶晶胞边长为a)
【名师点拨】原子分数坐标的确定方法
(1)依据已知原子的坐标确定坐标系取向。
(2)一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。
(3)从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。
【变式训练】（2022·湖南·高三开学考试）氯化亚铜(CuCl)广泛应用于冶金工业，也用作催化剂和杀菌剂。
CuCl的晶胞如图1所示，图2为晶胞沿y轴的投影1∶1平面图，注：apm表示两个原子在投影平面上的核
间距离，而非实际距离。下列说法不正确的是
A．CuCl晶胞中Cl原子的配位数为4
B．晶胞中最近的两个Cu原子之间的距离为2a
C．图中b位置原子的坐标参数为( ， ， )，则d位置原子的坐标参数为( ， ， )
D．CuCl的熔点为426℃，熔化时几乎不导电；CuF的熔点为908℃，密度为7.1g•cm-3，CuF比CuCl熔点
高的原因是CuF的稳定性比CuCl强
