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第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.(2015·湖北卷)l ，l 表示空间中的两条直线，若p：l ，l 是异面直线；q：l ，l 不相
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交，则( )
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析 直线l ，l 是异面直线，一定有l 与l 不相交，因此p是q的充分条件；若
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l 与l 不相交，那么l 与l 可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要
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条件.故选A.
答案 A
2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的
射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案 D
3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共
点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确
的序号是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
解析 显然命题①正确.
由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.
命题③中，两个平面重合或相交，③错.
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.
答案 B
4.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(
)
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c
相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异
面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
答案 C
5.已知正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别为BB ，CC 的中点，那么异面直线
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AE与D F所成角的余弦值为( )
1
A. B. C. D.
解析 连接DF，则AE∥DF，
∴∠D FD为异面直线AE与D F所成的角.
1 1
设正方体棱长为a，
则D D＝a，DF＝a，D F＝a，
1 1
∴cos∠D FD＝＝.
1
答案 B
二、填空题
6.如图，在正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别为棱C D ，
1 1 1 1 1 1
C C的中点，有以下四个结论：
1
①直线AM与CC 是相交直线；
1
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB 是异面直线；
1
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________(填序号).
解析 A，M，C 三点共面，且在平面AD C B中，但C∉平面AD C B，C ∉AM，因
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此直线AM与CC 是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B
1 1
三点共面，且在平面MBB 中，但N∉平面MBB ，B∉MB ，因此直线BN与MB 是
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异面直线，③正确；连接D C，因为D C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就
1 1
是D C与AC所成的角，且角为60°.
1
答案 ③④
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线
EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，
CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面
EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.
答案 4
8.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC－A B C 中，∠BCA＝90°，M，N分别是
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A B ，A C 的中点，BC＝CA＝CC ，则BM与AN所成角的余弦值为________.
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解析 如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.
∵M，N分别是A B ，A C 的中点，
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∴MN綉B C .又BD綉B C ，
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∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，
∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).
设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，
在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝＝.
故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.
答案
三、解答题
9.如图所示，正方体 ABCD－A B C D 中，M，N 分别是
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A B ，B C 的中点.问：
1 1 1 1
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D B和CC 是否是异面直线？说明理由.
1 1
解 (1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A C ，AC.
1 1
因为M，N分别是A B ，B C 的中点，所以MN∥A C .
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又因为A A綉C C，所以四边形A ACC 为平行四边形，
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所以A C ∥AC，所以MN∥AC，
1 1
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.
(2)直线D B和CC 是异面直线.
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理由：因为ABCD－A B C D 是正方体，所以B，C，C ，D 不共面.假设D B与
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CC 不是异面直线，
1则存在平面α，使D B 平面α，CC 平面α，
1 1
所以D ，B，C，C ∈α，
1 1 ⊂ ⊂
这与B，C，C ，D 不共面矛盾.所以假设不成立，
1 1
即D B和CC 是异面直线.
1 1
10.(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥
底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，
PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
解 (1)S ＝×2×2＝2，
△ABC
三棱锥P－ABC的体积为
V＝S ·PA＝×2×2＝ .
△ABC
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以
∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
11.以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这
与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面
有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正
确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.
答案 B
12.若空间中四条两两不同的直线l ，l ，l ，l ，满足l ⊥l ，l ⊥l ，l ⊥l ，则下列结
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论一定正确的是( )
A.l ⊥l B.l ∥l
1 4 1 4C.l 与l 既不垂直也不平行 D.l 与l 的位置关系不确定
1 4 1 4
解析 如图，在长方体ABCD－A B C D 中，记l ＝DD ，l
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＝DC，l ＝DA.若l ＝AA ，满足l ⊥l ，l ⊥l ，l ⊥l ，此时
3 4 1 1 2 2 3 3 4
l ∥l ，可以排除选项A和C.
1 4
若取C D为l ，则l 与l 相交；若取BA为l ，则l 与l 异面；
1 4 1 4 4 1 4
取C D 为l ，则l 与l 相交且垂直.
1 1 4 1 4
因此l 与l 的位置关系不能确定.
1 4
答案 D
13.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形 ACB所在的平面互
相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，
BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.
解析 取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝.
答案
14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正
方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.
又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知
可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
