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第 3 讲 平面向量的数量积及其应用
一、选择题
1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝(
)
A.0 B.1 C.2 D.
解析 |a－b|＝＝＝＝.
答案 D
2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b||
C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非
零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.
答案 B
3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝( )
A.2 B. C.10 D.5
解析 ∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.故选B.
答案 B
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，
AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，
－1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.
答案 A
5.(2015·重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角
为( )
A. B. C. D.
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角
为θ，则cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝，故选C.
答案 C
二、填空题
6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________.
解析 由题意，得a·b＝0 x＋2(x＋1)＝0 x＝－.
⇒ ⇒答案 －
7.(2016·北京卷)设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条
件.
解析 |a＋b|＝|a－b| (a＋b)2＝(a－b)2 a·b＝0，
∴|a＋b|＝|a－b| / |a|＝|b|；|a|＝|b| / a·b＝0，得不到|a＋b|＝|a－b|，
⇔ ⇔
因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.
⇒ ⇒
答案 既不充分也不必要
8.已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角
则实数m的取值范围是________.
解析 由已知得AB＝OB－OA＝(3，1)，
AC＝OC－OA＝(2－m，1－m).
若AB∥AC，
则有3(1－m)＝2－m，解得m＝.
由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m).
∵∠ABC为锐角，
∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，可得m>－.
由题意知，当m＝时，AB∥AC，且AB与AC同向.
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪.
答案 ∪
三、解答题
9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积.
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，
∴S ＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.
△ABC
10.(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝
(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.
解 (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，c＝－7舍去，
故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝.
11.(必修4P120 1(6)改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝
1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( )
A.2 B.5 C.2或5 D.或
解析 由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于或
0°，|a＋b＋c|＝
＝
当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.
答案 C
12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于(
)
A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2
解析 在菱形 ABCD 中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋
BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos 60°＝a2＋a2＝a2.
答案 D
13.(2017·洛阳统考)已知A(－1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O
为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析 法一 利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作
平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线
相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.
法二 坐标法：OA＋OB＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA－OB＝(－sin θ－1，cos θ
－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋
(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝.
答案
14.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三
边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R).
(1)若m＝n＝，求|OP|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.
解 (1)∵m＝n＝，AB＝(1，2)，AC＝(2，1)，
∴OP＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，
∴|OP|＝＝2.
(2)∵OP＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大
值1，
故m－n的最大值为1.
