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第 3 讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的
所有函数为( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
答案 A
2.(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的
单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
3.(2017·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以y ＝2，y ＝－2.
max min
答案 D
4.(2016·山东卷)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B.π C.π D.2π
解析 f(x)＝4sincos＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝π.
答案 B
5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且
∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B. C. D.
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x) ＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
max
由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为.
答案 A
二、填空题
6.(2017·昆明调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，
所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
7.(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区
间是________.
解析 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案
8.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析 法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合
正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x) ＝f＝sinω＝1.
max
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
答案
三、解答题
9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x
＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
11.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(
)
A. B. C.2 D.3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
12.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关
解析 f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，若b＝0，则f(x)＝sin2x＋c＝(1－cos 2x)＋c，
∴f(x)的最小正周期T＝π.若b≠0，f(x)＝－cos 2x＋bsin x＋＋c，∵y＝cos 2x
的最小正周期为π，y＝bsin x的最小正周期为2π，则f(x)的最小正周期T＝2π.
因此f(x)的最小正周期与b有关，与c无关.答案 B
13.若函数f(x)＝4sin 5ax－4cos 5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则
实数a的值为________.
解析 因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.
答案 ±
14.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
又x∈，取k＝0，得－≤x≤，
∴f(x)在区间上是增函数，
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，
又x∈，取k＝－1，得－≤x≤－，
∴f(x)在区间上是减函数.
