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专题07 复合二次根式的化简
【例题讲解】
阅读材料：若想化简 ，只要我们找到两个正数 ，使 ，即
，那么便有： ．
例：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ，由于
即 ． ．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)化简： 写出计算过程
(3)化简： 为正整数
【详解】（1）这里 ， ， 即： ，
这里 ， ， 即： ，
故答案为： ；
（2） 这里 ，
， 即： ，
（3）．．．．．．，
原式 ．．．
【综合解答】
1．观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将 化简；
(2)化简 ；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出 中，m，n与a，b之间的关系．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， ．
【分析】（1）将31分解成 ，再利用完全平方公式即可求出答案；
（2）先将7分解成 ，计算第二层根式，再将35分解成 ，利用完全平方公式即可求出答
案；
（3）将等式两边同时平方即可求出答案．
【详解】（1）（2）
（3）
两边平方可得：
∴ ，
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式
的化简方法是解题关键．
2．先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简 经过思考，肖战解决这个
问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简 ﹒
【答案】(1)④，
(2)
【分析】（1）由于 ，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即
可；
（2）仿照题意进行化简即可．
【详解】（1）解： ①
②
③
④
，
∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为 ，
故答案为：④， ；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题
的关键．3．问题探究：因为 ，所以
因为 ，所以 因为 ，所以
请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式改为完
全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可;
（2）因为 ，且 ，由此把原式中被开方式改为完全平方式，
进一步因式分解，化简得出答案即可．
（1）
解：
＝
＝
＝
＝ ．
（2）＝
＝
＝
＝
= ．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质化简，
注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
4．阅读：根据二次根式的性质，有： ．根据这一性质，我们可以将一些“双重
二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简 ．
解：设 （ ， 为非负有理数），则 ．
∴
由①得， ，代入②得： ，解得 ，
∴ ，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出 的化简结果是__________；
(2)化简 ；(3)判断 能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行
求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解；
（3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解．
（1）
解：
＝
＝
＝
＝ ．
故答案为： ；
（2）
设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，
解得 ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）
不能，理由如下：
设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，
即： ，
，
∴关于 的一元二次方程 无解，
∴不能按照上面的方法化简．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，一元二次方程的解法和根的判别
式，掌握以上知识点是解题的关键．
5．像 ， …这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构
造完全平方式进行化简，如：
＝ ＝ ＝ ＝ ．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
（1）
（2）
（3）
∵ ，
∴ ， ，
∴
又∵ 、n为正整数，
∴ ，或者 ，
∴当 时， ；
当 时， ．
∴a的值为： 或 ．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，
注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
6．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ， ，使 并且 ，
则将 变成 ，开方，从而使得 化简．
例如：化简：
∵∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据 ，确定后化简计算．
(2)根据 ，确定后化简计算．
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
7．先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使 ， ，即
， ，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，所以 ．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简 时，根据范例确定a，b值为3和1；
（2）将 转化为： ，即可求解；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：在 中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即 ，
∴ = ；
故答案为： ；
（2）原式．
（3）原式
．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号
的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全
平方公式的特点的式子．
8．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且 ，则将
将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得 化简．
例如， ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) .
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）∵ = = ，
∴ = = +1．
（2）∵13- =
∴
9．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使记 ，并且，则将 ，变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简 ．
因为
所以
仿照上例化简下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】(1) ；（2） ．
【分析】根据题目所提供的方法，先将被开方式化为完全平方的形式，然后根据二次根式的性质
化简即可.
【详解】 原式 ．
原式 ．
【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解答本题的关键是根据完全平方公式将被开放式化为
完全平方的形式.
10．若要化简 我们可以如下做：
∵3+2 =2+1+2 =( )2+2× ×1+12=( +1)2，
∴ ；
仿照上例化简下列各式：
(1) ；(2) .
【答案】（1） ；（2）
【详解】分析：（1）根据 = 即可得出结论;（2）根据 即可得出结论;
详解：(1) ；
(2) .
点睛：本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意把被开方数化为完全平方式的形式是解答此
题的关键.
11．阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ；
小李的化简如下： ；
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简 ．
【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．（2）
【分析】分析：(1)、根据 的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化
为完全平方式，从而得出答案．
【详解】详解：解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 ；
（2）原式= ．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于中等题型．解决本题的关键就是将整数转
化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式．
12．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2
可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
【答案】（1）1+ ；（2） .
【分析】参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
13．阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝ ，则
把x±2 变成m2+n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵3+2 ＝1+2+2 ＝12+( )2+2×1× ＝(1+ )2
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1) ；(2) .
【答案】(1) ；(2) 2-
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】(1)∵5+2 ＝3+2+2＝( )2+( )2+2× ×
＝( + )2，
∴ ；
(2)∵7﹣4 ＝4+3﹣4 ＝22+( )2﹣2×2×
＝(2﹣ )2，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确应用完全平方公式．
14．有这样一类题目：将 化简，如果能找到两个数m、n，使 且 ，则
可将 变成 ，即变成 开方，从而使得 化简.
例如：5+2 =3+2+2
=
=
请仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据完全平方公式把5-2 化为 ，然后利用二次根式的性质计算；
（2）根据完全平方公式把4-2 化为 ，然后利用二次根式的性质计算．
【详解】(1)5-2 =3+3-2 = + -2 = ，所以 = ．(2)4-2 =3+1-2 = +(1)2-2 = ，所以 = ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简： |a|．也考查了完全平方公式和阅读理解能力．
15．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去
一层根号．例如： ＝|1＋ |＝1＋
解决问题：①模仿上例的过程填空： ＝_________________＝
________________＝_________________
②根据上述思路，试将下列各式化简：
(1) ； (2) .
【答案】① ， ，3+ ；②(1)5- ；(2) .
【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果；
②仿照以上方法将各式化简即可．
【详解】① = = =3+ ，
故答案为 ， ，3+ ；
②(1)
=
=
=
==5- ；
(2)
=
=
=
=
= .
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
