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专题07 复合二次根式的化简
【例题讲解】
阅读材料：若想化简 ，只要我们找到两个正数 ，使 ，即
，那么便有： ．
例：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ，由于
即 ． ．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)化简： 写出计算过程
(3)化简： 为正整数
【详解】（1）这里 ， ， 即： ，
这里 ， ， 即： ，
故答案为： ；
（2） 这里 ，
， 即： ，
（3）．．．．．．，
原式 ．．．
【综合解答】
1．观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将 化简；
(2)化简 ；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出 中，m，n与a，b之间的关系．
2．先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简 经过思考，肖战解决这个
问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简 ﹒
3．问题探究：因为 ，所以
因为 ，所以 因为 ，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
(1) ；
(2)
4．阅读：根据二次根式的性质，有： ．根据这一性质，我们可以将一些“双重
二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简 ．
解：设 （ ， 为非负有理数），则 ．
∴
由①得， ，代入②得： ，解得 ，
∴ ，
∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出 的化简结果是__________；
(2)化简 ；
(3)判断 能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说
明理由．
5．像 ， …这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构
造完全平方式进行化简，如：
＝ ＝ ＝ ＝ ．再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．
6．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ， ，使 并且 ，
则将 变成 ，开方，从而使得 化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
7．先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使 ， ，即
， ，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，
所以 ．请根据材料解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简： ．
8．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且 ，则将
将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得 化简．
例如， ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) .
9．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使记 ，并且
，则将 ，变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简 ．
因为
所以
仿照上例化简下列各式：
（1） ；
（2） ．10．若要化简 我们可以如下做：
∵3+2 =2+1+2 =( )2+2× ×1+12=( +1)2，
∴ ；
仿照上例化简下列各式：
(1) ；(2) .
11．阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ；
小李的化简如下： ；
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简 ．
12．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2
可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
13．阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝ ，则
把x±2 变成m2+n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得 化简．例如：化简
解：∵3+2 ＝1+2+2 ＝12+( )2+2×1× ＝(1+ )2
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1) ；(2) .
14．有这样一类题目：将 化简，如果能找到两个数m、n，使 且 ，则
可将 变成 ，即变成 开方，从而使得 化简.
例如：5+2 =3+2+2
=
=
请仿照上例化简下列各式：
(1)
(2)
15．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去
一层根号．例如： ＝|1＋ |＝1＋
解决问题：①模仿上例的过程填空： ＝_________________＝
________________＝_________________
②根据上述思路，试将下列各式化简：
(1) ； (2) .
