文档内容
清单 08 锐角三角函数（8 个考点梳理+题型解读
+核心素养提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在 中， ，CD、CE分别是斜边AB上的高
和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，∠ACB
＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（ ） △
A． B． C． D．
【变式2】．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C
都在格点上，以 为直径的圆经过点C，D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点二、特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα30°
45° 1
60°
【例2】（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算： ．
【变式1】（2022·四川乐山·九年级期末）在 中，若 ， ， 都是锐
角，则 是______三角形．
【变式2】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）计算：
考点三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，延长等腰 斜边 到 ，使 ，连接
，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式】（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，把一个量角器与一块30°（ ）角的三角板拼
在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结
CP．若BC＝4，则CP的长为（ ）
A． B． C． D．
考点四、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例4】（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱
BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处
测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【变式1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，小明同学在民族广场 处放风筝，风筝位于 处，风筝线
长为100m，从 处看风筝的仰角为30°，小明的父母从 处看风筝的仰角为50°．求 、 相距多少米？
（参考数据： ， ， ， ，结果精确到0.1m）
【变式2】（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图：聪聪的做法：
第一步：他在地面上B点处测得大树顶端的仰角为35°，
第二步：他继续向大树方向走8m到达D点时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，（已知A、E、M三点共
线，聪聪的眼睛距地面的高度保持不变且为1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m，EF⊥BN，
MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）．
第三步：计算出大树的高MN．
请你根据聪聪做法，计算出大树大概有多高？（结果精确到1m）．
（参考数据： ， ， ， ）
考点五、坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【例5】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是 ，前进20
米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是 ，继续沿着坡比为 的斜坡BC上升到C处，
此时又测得旗杆顶端N点的仰角是 ，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//
AD，求旗杆MN的高度．
【变式1】（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，旗杆 竖立在斜坡 的顶端，斜坡
长为65米，坡度为 ．小明从与点 相距115米的点 处向上爬12米到达建筑物 的顶端点 ．
在此测得旗杆顶端点 的仰角为39°，求旗杆的高度 ．（参考数据： ， ，
）【变式2】（2022·山东威海·九年级期末）某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达景点步行台阶的
倾角由45°改为30°，已知原台阶坡面AB长为5m（BC所在地面为水平面），调整后的台阶坡面为AD．求：
(1)调整后的台阶坡面会加长多少？
(2)调整后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据： ， ）
考点六、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【例6】（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图， 是湿地公园里的一条环形跑道，
B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以
每分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据： ， ）
(1)求BC的长；（结果保留整数）
(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D
处，再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成
本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．
【变式】（2022·安徽合肥·九年级期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，
古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，
已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50 米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考
数据： ≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)
考点七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
【例7】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在 处测得点 在北偏东 方向上，在 处测得点
在北偏东 方向上，若 米，则点 到直线 距离 为（ ）．
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【变式】．（2021春·浙江杭州·九年级期末）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上
的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，
B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______．（结果保留根号）
考点八、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例8】（2021·浙江·九年级期末）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1， 中，
， 和 是星相似三角形．如图2， 是 的中点，以 为直径画圆，交
， 于点 ， ， ．
（1）①若 ，求 的长．
②设 ， ，试写出 与 的函数关系式．
（2）若 ，则 与哪个三角形星相似，并证明．
（3）在（2）的条件下，求 的长．
【变式】．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中
长为 ， 长为 ， ， ．
(1)点D到 的距离为_____ ；
(2)求点D到 的距离．
【核心素养提升】1.直观想象-通过画函数图象解决三角函数问题
1．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，一块含有 的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，
角的顶点A在反比例函数 的图象上，顶点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 ．
2．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中点 点 的坐标分别为 ，
，将三角形 沿着 折叠，点 落在点 处，求过点 的反比例函数表达式
．
3．（2022上·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，把
沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．
(1)求点A、B、C、D的坐标；
(2)求 的余弦值．
2.数学运算-利用特殊角的三角函数值求值
4．（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知 中，点 为 边上一点，则下列四个说法中，
一定正确的有（ ）
①连接 ，若 为 中点，且 平分 ，则 ；②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ， ，且 平分 ，则 的重心在 上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·河南南阳·九年级期末）在 ABC中，∠C=90°，AB= ，BC=1，则∠A的度数为（ ）
△
A． B． C． D．
6．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长
为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则弧AB的长为_______．
7．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如果 ，那么锐角 的度数为________°．
8．（2021·河北保定·九年级期末）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在
坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再
朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机
器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚
动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最
快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，
cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）3.数学建模-构造含已知条件的直角三角形解决实际问题
9．（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF平行
MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸
EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于
A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据
求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）
4.转化思想
10.（2023•包河区三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点 A处测
得河的北岸点B在其北偏东13°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东53°方向，
求河宽．（结果精确到 0.1，参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，
cos77°≈0.22，tan77°≈4.33）11.（2023•庐阳区校级三模）如图，灯塔B位于港口A的北偏东67.4°方向，灯塔C位于灯塔B的正东方向，
且B，C之间的距离为18km．一艘轮船在港口A的正南方向距港口46km的D处，测得灯塔C在轮船北
偏东37.0°方向上，求港口A距离灯塔B有多远？（结果取整数）
（参考数据：sin67.4°＝ ，cos67.4°＝ ，tan67.4°＝ ，sin37.0°＝ ，cos37.0°＝ ，tan37.0°＝
）
5.分类讨论思想
12.（2023·上海·一模）如图，在 中， ， ， ， ， 平分
交 边于点D，点E是 边上的一个动点（不与B、C重合），F是 边上一点，且
， 与 相交于点G．(1)求证： ；
(2)设 ， ，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的长．
【中考热点聚焦】
热点1.锐角三角函数
1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，
OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是
（ ）A． B． C． D．3
2．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
热点2.特殊角三角函数值
3．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B． ＝3 C． ＝2 D．cos30°＝
5．（2022•荆门）计算： +cos60°﹣（﹣2022）0＝ ．
6．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，
sin（α﹣β ）＝sinα coβs ﹣coαs sβin ．
α β α β α β
例如：当 ＝45°， ＝30°时，sin（45°+30°）＝ × + × ＝ ，则sin15°的值为
． α β
7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+ ．
热点3.锐角三角函数与圆
8．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光
启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上
的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．
当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，⊙此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据 ≈1.414，
≈1.732）
9．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所
示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高
位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：
sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）热点4.利用解直角三角形解决实际问题
10．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形
拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，
则cos 的值为（ ） α
α
A． B． C． D．
11．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知
∠BAC＝ ，则A，C两处相距（ ）
αA． 米 B． 米 C．x•sin 米 D．x•cos 米
12．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老α 师打算从学校图书馆α的顶楼拉出一条彩旗绳 AB
到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书
馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米 B．32cos25°米
C． 米 D． 米
13．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放
烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽
燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图 2，无人机飞至距地面高度31.5米
的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的
数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
14．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次
航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该
建筑物 BC 的水平距离 AD 为 10 米，求该建筑物 BC 的高度．（结果精确到 0.1 米；参考数据：
， ）15．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东
航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短
距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，
cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
