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专题 01 二次根式化简的四种题型全攻略
类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式
例．等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，可得 ，
解不等式组，得 ，
所以，等式 成立的条件是 ．
故选：A．
【变式训练1】已知 ， 为实数，且 ，则 ________．
【答案】
【详解】依题意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0
∴n=3，∴ =
故答案为： ．
【变式训练2】已知a，b，c是 的三边长，且满足关系 的形状是_______．
【答案】等腰直角三角形
【详解】解： ，
， ，
，且 ，
为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【变式训练3】若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
可得 ，
解得： ，
故选：B．
【变式训练4】已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足 ，求此
等腰三角形周长．
【答案】17
【详解】解：由题意得： ，解得：a=3，则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．
若c=b=7，此时周长为17．
类型二、利用数轴化简二次根式
例．实数 在数轴上的对应点如图所示，化简 的结果是是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：由数轴知： ，
∴ ，
∴原式＝
＝
＝ ．故选：A．
【变式训练1】已知实数 在数轴上的对应点如图所示，化简 ＝_____
【答案】
【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【变式训练2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，
则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．
故选：A．
【变式训练3】已知实数 、 、 表示在数轴上如图所示，化简 ．【答案】
【详解】由题意可知： ， ， ，且 ，
∴ ， ，
∴原式
【变式训练4】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：
．
【答案】
【详解】解：由图可知： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
类型三、利用字母的取值范围化简二次根式
例1．已知，化简： ， __________．
【答案】 ##
【详解】解： ，
， ，
，
故答案为： ．例2. 的三边长分别为1、k、3，则化简 _____．
【答案】1
【详解】解：∵ 的三边长分别为1、k、3，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．故答案为：1．
【变式训练1】已知 ，化简二次根式 的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
，所以a和b同号， ，
，故选：D．
【变式训练2】若 ，则 _______；
【答案】2
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：2．
【变式训练3】化简： _______．【答案】0
【解析】由题意可知：3-x≥0，∴ = = = =0
故答案为：0．
【变式训练4】已知 .
(1)求a的值；
(2)若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）解： ，
， ， ；
（2）解： ， ， ，解得 ，
、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，
另一条直角边的长度为： ．
类型四、双重二次根式的化简
例.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进
一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简 ；（2）化简 ；
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1） ；
（2） ．
【变式训练1】阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： ，除此之外，我们也可
以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设 ，
易知
故 ，由
解得 ，即 ．
根据以上方法，化简
【答案】
【详解】解：设 ，易知 ，∴
∴ ，∴ ，∴∵ ，∴原式
【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ① ． ② ．
【答案】（1）④； ；（2）① ；②
【详解】解：（1）第④步出现了错误；
=
= ．
（2）①
=
=
= ．② = =
．
【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简 中发现：首先把
化为 ﹐由于 ， ，即： ， ，所以
，
问题：
（1）填空： __________， ____________﹔
（2）进一步研究发现：形如 的化简，只要我们找到两个正数a，b（ ），使 ， ，
即 ， ﹐那么便有： __________．
（3）化简： （请写出化简过程）
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】解：（1） ；
；
（2） ；
（3） = = ．
【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如 ，善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中a、b、m、n均为正整数），则有 ，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝
，b＝ ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3） ﹣1．
【详解】解：（1）∵ ，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵ ，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵ ，
则 ．
课后作业
1．已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B【详解】解：∵
∴ ， ，解得 ，
当腰长为2，底边为4时，∵ ，不满足三角形三边条件，不符合题意；
当腰长为4，底边为2时，∵ ， ，满足三角形三边条件，
此时等腰三角形的周长为 ．
故选：B
2．化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得， ，
，故选：A．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，
∴ ， ，
∴
．
故选：C．4．若 ，则 的平方根是______．
【答案】
【详解】解： ， ， ，
， ，
， ，
，
的平方根 ，
故答案为： ．
5．设 ， 是整数，方程 有一个实数根是 ，则 ___________．
【答案】1
【详解】∵ ，
∴把 代入方程有 ，
整理得 ，
∵ ， 是整数，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：1
6．已知 、 为实数， ，则 的值等于______．
【答案】16
【详解】解：∵ ，∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
7．已知实数 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
【答案】 ．
【详解】解：由题意可得， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴
，
，
．
8．阅读：根据二次根式的性质，有： ．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根
式”去掉一层根号，达到化简效果．
如：在实数范围内化简 ．
解：设 （ ， 为非负有理数），则 ．
∴
由①得， ，代入②得： ，解得 ，
∴ ，∴
请根据以上阅读理解，解决下列问题：
(1)请直接写出 的化简结果是__________；
(2)化简 ；
(3)判断 能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：
＝
＝
＝
＝ ．
故答案为： ；
（2）设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）不能，理由如下：
设 （ ， 为非负有理数），则 ，
∴ ，
由①得， ，代入②得： ，
即： ，
，
∴关于 的一元二次方程 无解，
∴不能按照上面的方法化简．
9．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2 和b＝3
的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4 ，d＝2 大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝ ，n＝ 之间的大小，并证明．
(3)化简： ＝ （直接写出答案）．
【答案】(1)c>d
(2)md2，
∴c>d；
故答案为：>．
（2）解：猜想：m0，即p>2时，原式=2 +2 ，
=4
综合①②得：
当1≤p≤2时，原式=4；
当p>2时，原式=4 ；
故答案为：4或4 ．
10．（1）已知 、 为实数，且 ，求 、 的值．
（2）已知实数 满足 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】解：（1）∵ 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
