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专题 09 整式的乘除重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《整式的乘除与因式分解》这一节除压轴题之外的全部重要题型，所选题目源
自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含八类题型：幂的运算选择题、幂的逆运算、幂的混合
运
算、平方差公式、完全平方公式与面积问题、整式的先化简后求值、完全平方公式的配方、完全平方公
式
的整体代入法、整式乘法的中档文字题与应用题（含三子类：不含二次项三次项类、利用整式乘法解决
几
何面积类、小马虎类文字题）。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使
用。
题型一：幂的运算选择题
1．（2021·山东青岛）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： = = ，故选B.
2．（2019·福建漳州）下列计算正确的是（ ）
A．a4•a3＝a7 B．a4+a3＝a7 C．（2a3）4＝8a12 D．a4÷a3＝1
【详解】解：∵a4•a3＝a7，∴选项A符合题意；∵a4+a3≠a7，∴选项B不符合题意；
∵（2a3）4＝16a12，∴选项C不符合题意；∵a4÷a3＝a，∴选项D不符合题意．故选A．
3．（2020·山东德州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A. ，故原选项错误；B. ，故原选项错误；C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误，故选C．
题型二：幂的逆运算
4．（2022·安徽六安）已知 ，则 （ ）
A．1 B．6 C．7 D．12【详解】解：∵ ，∴ ，∴故选：D．
5．（2022·甘肃）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．52
【详解】∵ ，∴ = ．故选A．
6．（2021·四川）已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵ ，
∴ ．故选：A．
题型三：幂的混合运算
7．（2022·辽宁）计算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4．
【详解】解：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2•a4= = = ．
8．（2021·湖南·长沙）计算： ．
【详解】 =-6a4·b2+9a4b2=3a4b2．
9．（2021·广东）计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．
【详解】解：原式＝9a2•a4+a6﹣a6＝9a6+a6﹣a6＝9a6．
题型四：平方差公式、完全平方公式与面积问题
10．（2022·上海）从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相
同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可
以验证成立的公式为（ ）A． B．
C． D．
【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高
为a−b，∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝（a＋b）（a−b）．
即：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．所以验证成立的公式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．故选：A．
11．（2022·安徽）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分
剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【详解】解：在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，面积表示为a2﹣b2；
拼成的矩形的面积为a（a-b）+b（a-b）=（a-b）（a+b），由此得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：
A．
12．（2021·江西宜春）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和
大小都一样的小长方形，小长方形的长为 ，宽为 ，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，
用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）A． B．
C． D．
【详解】解：大正方形的边长为： ,空白正方形边长： ，
图形面积：大正方形面积 ，空白正方形面积 ，四个小长方形面积为： ，
∴ = + ．故选择：B．
题型五：先化简后求值
13．（2020·新疆）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b= ．
【详解】（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab，
当a=﹣2，b= 时，原式=﹣4．
14．（2022·江苏徐州）求值：先化简再求值 ，其中 ， ．
【详解】解： =x2-4xy+4x2-y2-4x2+4xy-y2=x2-2y2
将 ， 代入，原式= = ．
15．（2018·江苏·南京）已知4x=3y，求代数式 的值．
【详解】试题分析：首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可．试题解析：原式= = ．∵4x=3y，∴原式= =0．
16．（2020·河南南阳）先化简，再求值： ，其 ，
【详解】
，当 ，n＝2020时， =2021。
17．（2021·贵州铜仁）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【详解】解：
原式
．
当 ， 时， ．
题型六：完全平方公式的配方
18．（2019·山东·郓城）设 是一个完全平方式，则m= _______
【详解】∵4x2-mx+81=（2x）2-mx+92，∴-mx=±2•2x•9，解得m=±36．
故答案为36或-36．
19．（2011·山东济宁）若代数式 可化为 ，则 的值是________．
【详解】 ，根据题意得 ， ，解得 =3，b=8,那么 =5.
20．（2018·贵州安顺）若 是关于 的完全平方式，则 __________．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
21．（2022·湖南常德）若代数式x2﹣6x+k是完全平方式，则k＝___．
【详解】若代数式x2﹣6x+k是完全平方式，
， ，故答案为： 。题型七：完全平方公式的整体代入法
22．（2011·辽宁大连）若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝_______．
【详解】解：x2+y2=x2+2xy+y2-2xy=（x+y）2-2xy=9-2=7．
23．（2020·山东枣庄）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．
【详解】（a+b）2＝32＝9，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．∵a2+b2＝7，∴2ab＝2，ab＝1，故答案为1．
24（2021·全国·七年级专题练习）若a+b=17，ab=60，则a-b的值是__________．
【详解】∵ ，∴ ，∴ .
故答案为±7.
25．（2020·吉林长春）已知 ， ．
（1）求 的值．
（2）求 的值．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴
．
∴ 的值为19．
（2）∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ 的值为 ．
26．（2018·黑龙江）已知有理数m，n满足(m＋n)2＝9，(m－n)2＝1．求下列各式的值．
(1)mn； (2)m2＋n2－mn．
【详解】解：(1)、原式=
(2)、原式= ．
27．（2020·重庆綦江）已知:
(1)求 的值；
(2)若 求 的值；
(3)若 分别求出 和 的值.
【详解】（1）∵a+b=5，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=25，∵ab=4，∴a2+b2=25-2×4=17.（2）∵(a-b)2= a2-2ab+b2=17-2×4=9，∴a-b= 3，∵a>b，∴a-b=3.
（3）由已知和（2）得 ，解得 .
题型八：整式乘法的中档文字题与应用题
Ⅰ 不含二次项、三次项类
28．（2022·福建·大同）计算 得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，
则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
【详解】解： =
=
展开后多项式不含x、y的一次项，
， ， ，故选B．
29．（2022·河南新乡）已知 的展开式中不含 和 项，求 的平方根．
【详解】解：
，
∵化简结果中不含 项和 项，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的平方根是4和-4．
故答案为：4和 ．
30．（2022·全国）已知 的展开式中不含 项，常数项是-6．
(1)求m，n的值．
(2)求 的值．【详解】（1）解：原式
，由于展开式中不含 项，常数项是-6，则2m+n=0且-3n= 6，
解得：m= 1，n=2；
（2）解：由（1）可知：m= 1，n=2，∴原式 = 1+8=7．
Ⅱ利用整式乘法解决几何面积
31．（2022·河南·泌阳）去年，某校为了提升学生综合素质，推出了一系列校本课程．“蔬菜种植课”上，
张老师用两条宽均为 的小道将一块长 ，宽 的长方形土地分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个
部分（如图①的形状）．
(1)求图①中两条小道的面积之和并化简；
(2)由于去年学生报名人数有限，张老师只要求学生们在Ⅰ部分土地上种植 型蔬菜，在Ⅳ部分土地上种
植 型蔬菜．已知种植 型蔬菜每平方米的产量是 ，种植 型蔬菜每平方米的产量是 ，求去年种
植蔬菜的总产量并化简；
(3)今年“蔬菜种植课”反响热烈，有更多学生报名参加，张老师不得不将该土地分成如图②的形状，并
全部种上 型蔬菜．如果今年 型蔬菜每平方米的产量仍为4kg，那么今年蔬菜总产量比去年多多少千克？
（结果要化简）
【详解】（1）两条小道的面积之和为 ． ；
（2）去年种植蔬菜的总产量为
；
（3）今年蔬菜总产量为．
今年蔬菜总产量比去年多 ．
32．（2020·湖北恩施）小明家所在社区原有一块长方形绿地，为美化社区环境对绿地进行改造．
（1）若这块绿地的长比宽多2m，且将长和宽都增加2m后，绿地面积增加24m2，求绿地原来的长和宽；
（2）若将这块绿地的长减少4m，宽增加4m后得到一个正方形绿地，它的面积是原来面积的2倍，求改
造后的绿地面积．
【详解】（1）设绿地原来的长为 m，则绿地原来的宽为 m，根据题意得
解得 ，从而 答：绿地原来的长为 m，则绿地原来的宽为 m．
（2）设改造后正方形绿地的边长为 m，则绿地原来的长为 m，宽为 m．
根据题意得 ， ，
答：改造后的绿地面积 ．
33．（2022·山东济南）如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为
m+2，m+4．(其中m为正整数)
(1) 图①中长方形的面积 =_______________
图②中长方形的面积 =_______________
比较： ______ (填“＜”、“＝”或“＞”)
(2) 现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，
①求正方形的边长(用含m的代数式表示)；
②试说明：该正方形面积 与图①中长方形面积 的差(即 - )是定值．
(3) 在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间(不包括 、 )并且面积为整数，这样的整数值有且只有20个，求m的值．
【详解】（1）图①中长方形的面积S =（m+7）（m+1）=m2+8m+7，
1
图②中长方形的面积S =（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：∵S -S =2m-1，m为正整数，m最小为1
2 1 2
∴2m-1≥1＞0，∴S ＞S ；故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞；
1 2
（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S-S =（m+4）2-（m2+8m+7）=9定值；
1
（3）由（1）得，S -S =2m-1，∴当20＜2m-1≤21时，
1 2
∴ ＜m≤11，∵m为正整数，∴2m-1=21 m=11．
Ⅲ 小马虎类问题
34．（2019·山东·阳谷外国语学校七年级期末）小明和小红两人共同计算一道整式乘法题：
，小明由于抄错了第一个多项式中 的符号，即把 抄成 ，得到的结果为
；小红由于漏抄了第二个多项式中x的系数，即把 抄成x，得到的结果为 .
（1）求出式子中的 、 的值
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
【详解】（1）(2x﹣a)(3x+b)=6x2+2bx﹣3ax﹣ab=6x2+(2b﹣3a)x﹣ab=6x2+11x﹣10.
(2x+a)(x+b)=2x2+2bx+ax+ab=2x2+(2b+a)x+ab=2x2﹣9x+10
∴ ，∴ ；
（2）(2x﹣5)(3x﹣2)=6x2﹣4x﹣15x+10=6x2﹣19x+10.
35．（2020·湖北十堰·八年级期中）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错
了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求a，b的值；
（2）细心的你请计算这道题的正确结果；
（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．
【详解】（1）根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝
2x2﹣7x+3，
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，
所以 ， ，联立 得： ；（2）由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；
（3）当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6．
