文档内容
第 25 讲 分式的运算
目录
第一部分 典例剖析+针对训练..................................................................................................................................1
【模块一】分式的运算......................................................................................................................................1
题型一 分式的运算....................................................................................................................................1
题型二 分式的化简与求值........................................................................................................................2
题型三 分式的条件求值............................................................................................................................3
【模块二】分式的拆分......................................................................................................................................5
题型一 分式的拆分....................................................................................................................................5
题型二 分离常数........................................................................................................................................6
第二部分 专题提优训练............................................................................................................................................9
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】分式的运算
题型一 分式的运算
典例1（2022秋•绿园区校级月考）计算：
（1）2ax2y； （2） 2y y ； （3） a b ．
− +
3ax y2 x+1 x+1 a−b b−a
典例2（2022秋•环翠区校级月考）分式计算：
（1）
3x2y⋅
5
÷(−
5a
)
； （2）
(−
a2b
) 3 ⋅(−
c2
) 2÷(−
bc
) 4
；
12ab2 4b c a2 a（3）a+3 a2+3a ； （4） a2−b2．
÷ (ab−b2 )÷
1−a a2−2a+1 a+b
典例3 计算：
(b3
)
−2
a2
(1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) a-2b2·(a2b-2)-3
针对训练
1．（2022秋•东营区校级月考）计算：
b2c ac c x2−4 1
（1） × ÷(− ) 2； （2） • ÷（x﹣2）；
a b a x+2 x−2
x❑−5 x 1+x 2x 1
（3） − − ； （4）( − )(x−y) 2 ．
x−2 x−2 2−x x2−y2 x+ y
2.计算：
(1) x2y-3(x-1y)3 (2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
题型二 分式的化简与求值
典例4 （2021秋•萨尔图区校级期末）先化简，再求值： y2 x ，其中x＝2，y＝﹣4．
+
x2−xy y−x典例5（2021秋•武隆区校级期末）先化简，再求值： 1 x2−4x+4 3 ，其中x是不等
− ÷(x+1− )
x+2 x2−x x−1
{ x−1＞0
式组 的整数解．
2(x−1)≤x+1
针对训练
1．（2021秋•巩义市期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
3x x x2−1
先化简，再求值：（ − ）• ，其中x＝﹣3．
x−1 x+1 2x
3x(x+1) x(x−1) (x−1)(x+1)
解：原式＝[ − ]• ⋯⋯第一步
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) 2x
3x2+3x−x2+x (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第二步
(x−1)(x+1) 2x
2x2+4x (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第三步
(x−1)(x+1) 2x
2x(x+2) (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第四步
(x−1)(x+1) 2x
＝x+2……第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
任务一：以上解题过程中，第 步是约分，其变形依据是 ；
任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
1 m2−6m+9
2．（2022秋•开福区校级月考）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中1＜m＜5，从中选取
m−2 m−2
一个整数值，代入求值．
3．（2021秋•潍坊期末）先化简，再求值： 4mn m2+4mn+4n2，其中m+n＞0，|m|＝2，|n|＝
( +m)÷
m−2n 4n3−m2n
1．4．（2021秋•西宁期末）先化简，再求值： m2−1 m−1，选一个合适的数作为m的值代入求
m− ÷
m2+2m+1 m
值．
题型三 分式的条件求值
1
典例6（2022春•黔江区校级期中）（1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+ 的值．
a2
2016
（2）已知a为实数，且a2﹣2016a+1＝0，求a2﹣2015a+ 的值．
a2+1
针对训练
1 1 2 x y
1．（2022春•南阳期末）已知x＞0，y＞0且− + = ，则 + 的值为（ ）
x y x−y y x
1 1 1
A． B． C． 或1 D．4
4 2 4
2 2
2．（2022春•封丘县期末）若x+y＝3，xy＝﹣3，则 + 的值是（ ）
x y
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【模块二】分式的拆分
题型一 分式的拆分
典例7（2022春•驿城区校级期末）请仿照例子解题：
M N 1−3x
+ = 恒成立，求M、N的值．
x+1 x−1 x2−1
M N 1−3x
解：∵ + = ，
x+1 x−1 x2−1
M(x−1)+N(x+1) 1−3x Mx−M+Nx+N 1−3x
∴ = ，则 = ，
(x+1)(x−1) x2−1 (x+1)(x−1) x2−1
(M+N)x−M+N −3x+1 {M+N=−3
即 = ，故 ，
(x+1)(x−1) x2−1 −M+N=1
{M=−2 M N x−8
解得： ，请你按照上面的方法解题：若 + = 恒成立，求M、N的值．
N=−1 x+2 x−2 x2−4
针对训练
M N 1−5x
1．若 + = 恒成立，求M、N的值．
x+1 x−1 x2−1
3x2−7x+2 A B
2．（丰台区校级期中）已知： =3+ + 恒成立，其中A，B为常数，求4A﹣2B的
(x−1)(x+1) x−1 x+1
值．题型二 分离常数
典例8（2022•南京模拟）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数
高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一
个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，
此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：
x2−2x+3 x(x−1)+x−2x+3 −(x−1)+2 2
= =x+ =x−1+ ，这样，分式就拆分成一个分式
x−1 x−1 x−1 x−1
2
与一个整式x﹣1的和的形式．
x−1
根据以上阅读材料，解答下列问题．
x+6
（1）假分式 也可化为带分式 形式；
x+4
（2）利用分离常数法，求分式2x2+5的取值范围；
x2+1
5x2+9x−3
（3）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
x+2
1
5m−11+ ，则m2+n2+mn的最小值为 ．
n−6
针对训练
1．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往
往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或
整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法
在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
x2−x+3
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
x2−x+3 x(x+1)−2(x+1)+5 x(x+1) 2(x+1) 5 5
解： = = − + =x−2+ ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1x2−x+3 5
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
x+1 x+1
x2+6x−3
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
x−1
2x2+5x−20
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ ．
x−32．（2021春•泰兴市校级期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子
的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整
式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分
离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
x2−2x+3 x(x−1)+x−2x+3
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： = =x
x−1 x−1
−(x−1)+2 2 2
+ =x﹣1+ ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式x﹣1的和的形式．
x−1 x−1 x−1
根据以上阅读材料，解答下列问题：
x−4
（1）如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值；
x−2
3x2+7x−2
（2）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
x+2
4
3m+7+ ，则m2+n2+mn的最小值为 ．
n−2
（3）利用分离常数法，求分式2x2+3的取值范围．
x2+2第二部分 专题提优训练
(2a) 2 1 a b
⋅ − ÷
b a−b b 4
1． 计算：
( 5 ) 2m−4 ( x+2 x−1 ) x−4
m+2+ ⋅ − ÷
2． 计算：(1)
2−m 3−m
(2)
x2 −2x x2 −4x+4 x
( x ) 2 y x 2y2 x+1 ( 2x ) 2 ( 1 1 )
⋅ − ÷ ⋅ − −
2y 2x y2 x x x+1 x−1 x+1
3．计算：(1) (2)
( x2 −y2 x ) y2
− ÷
4．先化简，再求值：
x2 −2xy+y2 x−y x2 −xy
，其中x＝2y(xy≠0).
( 1 ) x2 −x {2−x≤3¿¿¿¿
x−1+ ÷
5.先化简，再求值：
x+1 x+1
，其中x的值从不等式组 的整数解中选取.
1 a2
a+ =5
6．已知 a ，求a4 +a2 +1的值.1
x4
+
7.已知x2－4x＋1＝0，求出
x4
的值
