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专题 14.2 整式的乘法
【典例1】在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣
a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
【思路点拨】
（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣
a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【解题过程】
解：（1）甲错把b看成了6，
（2x+a）（x+6）
＝2x2+12x+ax+6a
＝2x2+（12+a）x+6a
＝2x2+8x﹣24，
∴12+a＝8，
解得：a＝﹣4；
乙错把a看成了﹣a，
（2x﹣a）（x+b）
＝2x2+2bx﹣ax﹣ab
＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab
＝2x2+14x+20，
∴2b﹣a＝14，
把a＝﹣4代入，得b＝5；
（2）当a＝﹣4，b＝5时，
（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）
＝2x2+10x﹣4x﹣20
＝2x2+6x﹣20．
1．（2021秋•东兴区校级期中）已知﹣2xmy2与4x2yn﹣1的积与﹣x4y3是同类项，求mn（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
直接利用单项式乘单项式运算法则得出：（﹣2xmy2）•（4x2yn﹣1）＝﹣8xm+2yn+1，再利用同类项的定义得出
m，n的值，即可得出答案．
【解题过程】
解：（﹣2xmy2）•（4x2yn﹣1）＝﹣8xm+2yn+1，
∵﹣2xmy2与4x2yn﹣1的积与﹣x4y3是同类项，
∴m+2＝4，n+1＝3，
解得：m＝2，n＝2，
∴mn＝4．
故选：C．
2．（2021秋•南安市月考）如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣6
【思路点拨】
先根据多项式乘以多项式法则展开，再得出答案即可．
【解题过程】
解：（x﹣3）（x+2）＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6，
∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，
∴﹣p＝﹣1，q＝﹣6，
∴p＝1．
故选：C．
3．（2021秋•佳木斯期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4
【思路点拨】
根据题意，即可得出a+b＝﹣7，ab＝12，进而得到a，b的值可能分别是﹣3，﹣4．
【解题过程】
解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12，
∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4，
故选：A．
4．（2021秋•陇县期末）若（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中，x2的系数为﹣6，那么a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【思路点拨】
先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x2的系数是﹣6，列出关于a的等式求解即可．
【解题过程】
解：（x+1）（2x2﹣ax+1）
＝2x3﹣ax2+x+2x2﹣ax+1
＝2x3+（﹣a+2）x2+（1﹣a）x+1；
∵运算结果中x2的系数是﹣6，
∴﹣a+2＝﹣6，
解得a＝8，
故选：C．
5．（2020秋•安岳县期末）已知a为任意实数，有多项式M＝x2+3ax+6，N＝x+3，且MN＝A，当多项式A
中不含2次项时，a的值为（ ）
2
A．﹣1 B．0 C．− D．1
3
【思路点拨】
先计算MN的结果，再根据多项式A中不含2次项可得方程，求解可得a的值．
【解题过程】
解：A＝MN＝（x2+3ax+6）（x+3）＝x3+3x2+3ax2+9ax+6x+18＝x2+（3a+3）x2+（9a+6）x+18，
∵多项式A中不含2次项，
∴3a+3＝0，
∴a＝﹣1．故选：A．
6．（2021春•靖江市月考）若 M＝（2x﹣1）（x﹣3），N＝（x+1）（x﹣8），则 M与N 的关系为
（ ）
A．M＝N
B．M＞N
C．M＜N
D．M与N的大小由x的取值而定
【思路点拨】
根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后利用作差法比较即可得到答案．
【解题过程】
解：M＝（2x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣6x﹣x+3＝2x2﹣7x+3，
N＝（x+1）（x﹣8）＝x2﹣8x+x﹣8＝x2﹣7x﹣8，
M﹣N＝（2x2﹣7x+3）﹣（x2﹣7x﹣8）＝x2+11≥11，
则M＞N．
故选：B．
7．（2021春•迁安市期末）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中
的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24．这道题的正确结果是（ ）
A．5x2+26x﹣24 B．5x2﹣26x﹣24 C．5x2+34x﹣24 D．5x2﹣34x﹣24
【思路点拨】
直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出m的值，代入原式求出答案．
【解题过程】
解：∵（x﹣m）（5x﹣4）＝5x2﹣34x+24，
∴5x2﹣4x﹣5mx+4m＝5x2﹣34x+24，
∴﹣4﹣5m＝﹣34，
解得：m＝6；
把m＝6代入原式得：
（x+m）（5x﹣4）＝（x+6）（5x﹣4）
＝5x2﹣4x+30x﹣24
＝5x2+26x﹣24．
故选：A．
8．（2021春•松桃县期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+2x+4）（x﹣▲）＝x3﹣■中的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（ ）
A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2
【思路点拨】
设▲代表a，■代表b，然后利用多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
【解题过程】
解：设▲代表a，■代表b，
左边＝（x2+2x+4）（x﹣a）
＝x3﹣ax2+2x2﹣2ax+4x﹣4a
＝x3﹣（a﹣2）ax2﹣（2a﹣4）x﹣4a，
又由题意可得，右边＝x3﹣b，
对比左右两边可得，a﹣2＝0，4a＝b，
解得：a＝2，b＝8，
∴▲代表2，■代表8，
故选：D．
9．（2021秋•浦东新区校级期中）若（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）展开后不含x3和x项，则m+n的值为 ．
【思路点拨】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．
【解题过程】
解：（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）
＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx+4x2﹣12x+4n
＝x4+（﹣3+m）x3+（n﹣3m+4）x2+（mn﹣12）x+4n，
∵（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3项和x项，
∴﹣3+m＝0，mn﹣12＝0，
解得：m＝3，n＝4，
m+n＝3+4＝7．
故答案为：7．
10．（2021秋•邓州市期中）已知ab＝a+b+2020，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
【思路点拨】
根据多项式乘多项式的法则展开，将条件变形整体代入求值即可．
【解题过程】
解：∵ab＝a+b+2020，∴ab﹣a﹣b＝2020，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣a﹣b+1
＝2020+1
＝2021，
故答案为：2021．
11．（2021秋•浦东新区期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝ ．
【思路点拨】
根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解题过程】
解：∵a+b＝﹣3，ab＝1，
∴（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）
＝[（a+1）（b+1）][（a﹣1）（b﹣1）]
＝（ab+a+b+1）（ab﹣a﹣b+1）
＝（1﹣3+1）×（1+3+1）
＝﹣1×5
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
12．（2021秋•镇平县月考）老师出了一道题，让学生计算（a+b）（p+q）的值．
（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a+b）（p+q）＝
；
小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a+b），宽为（p+q）的长方形，式子的结果就是长
方形的面积；如图，通过分割大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方形
的面积为 ．
比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式： ．
（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a+b）（a+2b）．【思路点拨】
（1）根据多项式乘以多项式的法则直接计算即可；
（2）画一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形即可．
【解题过程】
解：（1）（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq，
大长方形的面积为：ap+aq+bp+bq，
可以得到等式为：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq，
故答案为：ap+aq+bp+bq，ap+aq+bp+bq，（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq；
（2）如图所示：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
13．（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 S ，左下角的面积为S ，当AB的长变化时，
1 2
S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2【思路点拨】
（1）由题可知代数式的值与 x的取值无关，所以含 x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣
3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝
0，即可得出答案；
（3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），即可得到S ﹣S 关于x的代数式，根据取值
1 2 1 2
与x可得a＝2b．
【解题过程】
解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
3
解得，m= ，
2
3
答：当m= 时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
2
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
2
∴5y﹣2＝0，即y= ；
5
（3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），
1 2
∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
1 2
∵当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变．
1 2
∴S ﹣S 取值与x无关，
1 2
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．1
14．（2020秋•西城区校级期中）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）
2
1
（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那
2
么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数
1
就是： ×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思
2
路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
1
（2）（ x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为 ．
2
（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若 ，则a ＝ ．
(x+1) 2021=a x2021+a x2020+a x2019+⋯+a x+a 2020
0 1 2 2020 2021
【思路点拨】
（1）根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
（2）根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
（3）根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
（4）根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
【解题过程】
解：（1）（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为1×1×（﹣3）+3×2×（﹣3）+5×2×1＝﹣
11．
故答案为：﹣11．
1 1 1 127
（2）（ x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为 ×2×（﹣4）+ ×5×3+2×5×6= ．
2 2 2 2
127
故答案为： ．
2
（3）由题意得：（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）得到的一次项系数为1×a×（﹣1）+（﹣3）×1×（﹣
1）+2×1×a＝0．
∴a＝﹣3．
（4）由题意得：a 2020 ¿ 2021．
=1+1+⋯+1=故答案为：2021．
15．（2021春•盐湖区校级期末）请阅读下列材料并完成相应的任务．
“速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算．如：十位数字相同，个位数字的和为10
的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果
加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．
如：24×26＝100×2×3+24，其结果为624，
48×42＝100×4×5+16，其结果为2016．
（1）仿照上面的方法，写出计算87×83的“速算”过程与结果：87×83＝ ＝ ．
（2）为说明上述两位数相乘“速算”方法的正确性，同学们进行了不同层次的思考：若两个两位数的个
位数字分别是1和9，十位数字为a，用含a的式子表示上述“速算”的过程为（10a+1）（10a+9）＝
（请填空并说明其正确性）．
【思路点拨】
（1）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就
得到这两个两位数的积，列式表示即可；
（2）同理根据规律可得结论，并根据多项式乘以多项式法则进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）87×83＝100×8×9+21＝7221；
故答案为：100×8×9+21，7221；
（2）（10a+1）（10a+9）＝100×a（a+1）+9，
理由：（10a+1）（10a+9）＝100a2+90a+10a+9＝100a2+100a+9＝100×a（a+1）+9；
故原结论正确．
故答案为：100×a（a+1）+9．
16．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新
数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数
对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友好数对”．
（1）36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为 a，个位数字为b，且a≠b；
另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过
程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为 10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8．
且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【思路点拨】
（1）计算36×84和63×48，根据定义判断；
（2）利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并
化简；
（3）A、结合（2）中的等量关系ac＝bd写出新的“友好数对”；
B、根据“ac＝bd”得（x+2）（x+2）＝x（x+8），解方程得到x，写出两个两位数．
【解题过程】
解：（1）∵36×84＝3024，63×48＝3024，
∴36×84＝63×48，
∴36和84是友好数对．
故答案为：是．
（2）∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为10b+a，10d+c，
∵这两个数是友好数对，
∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
化简得：ac＝bd．
故答案为：10b+a，10d+c，（10b+a）（10d+c），ac＝bd．
（3）选A，根据ac＝bd，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，•••
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一．
选B，由（2）得：（x+2）（x+2）＝x（x+8），
解得：x＝1，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．故答案为：A或B．
17．（2021秋•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式
ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果
为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ．
【思路点拨】
（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 （3，2，﹣1），
故答案为：（3，2，﹣1）；
（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）
＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16
＝x4﹣8x2+16；
（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
令x＝﹣2，
则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，
∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
18．（2021秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个
长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通
道的宽度是多少米？
【思路点拨】
（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可；
（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据a＝2b，剩余草坪
的面积是216平方米，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）S通道 ＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝（6ab+5b2）平方米，
答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；
（2）S草坪 ＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]
＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2
＝8a2+10ab+2b2，
∵a＝2b，
∴8a2+10ab+2b2
＝8×（2b）2+10×2b•b+2b2
＝32b2+20b2+2b2
＝54b2
＝216，
∴b2＝4，
∴b＝2（负值舍去）（米）．
答：通道的宽度是2米．19．（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，S ．
1 2
（1）S 与S 的大小关系为：S S ．
1 2 1 2
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S ﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如
3 3 2 3 2
果不是，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
【解题过程】
解：（1）由题意：
S ＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
1
S ＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
2
∵S ﹣S ＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
1 2
∴S ＜S ，
1 2
故答案为：＜，
（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，
4m+16
∴正方形的边长为 =m+4，
4
②由①可得，正方形的面积S ＝（m+4）2，
3
∴S ﹣S ＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）
3 2
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S 与S 的差（即S ﹣S ）是常数，这个常数是1．
3 2 3 220．（2020秋•襄汾县期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b，如果将原长方形的长和宽各
增加3厘米，得到的新长方形面积记为S ，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面
1
积记为S ．
2
（1）若a、b为正整数，请说明：S 与S 的差一定是5的倍数；
1 2
（2）如果S ＝2S ，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
1 2
【思路点拨】
（1）根据多项式乘多项式，分别计算出S ，S ，作差即可；
1 2
（2）根据S ＝2S ，得到ab﹣7a﹣7b＝1，从而求得新长方形的面积．
1 2
【解题过程】
解：（1）S ＝（a+3）（b+3）
1
＝ab+3a+3b+9，
S ＝（a﹣2）（b﹣2）
2
＝ab﹣2a﹣2b+4，
S ﹣S
1 2
＝ab+3a+3b+9﹣（ab﹣2a﹣2b+4）
＝ab+3a+3b+9﹣ab+2a+2b﹣4
＝5a+5b+5
＝5（a+b+1），
∵a，b为正整数，
∴S 与S 的差一定是5的倍数；
1 2
（2）∵S ＝2S ，
1 2
∴ab+3a+3b+9＝2（ab﹣2a﹣2b+4），
∴ab+3a+3b+9＝2ab﹣4a﹣4b+8，
∴ab﹣7a﹣7b﹣1＝0，
∴ab﹣7a﹣7b＝1，
∴新长方形的面积＝（a﹣7）（b﹣7）
＝ab﹣7a﹣7b+49
＝1+49
＝50．
