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考点 13 数列概念及通项公式（核心考点讲与练）
一、数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照 一定 次 序 排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项 递减数列 a ＜a 其中n∈N
n＋1 n +
间的大
常数列 a ＝a
n＋1 n
小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项
摆动数列
小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{a}的第n项a 与n 之间的关系可以用一个式子a＝f(n)来表示，那么这个公式叫
n n n
做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{a}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a 与它的前一
n n
项a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
n－1
5.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
n
列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.若数列{a }的前n项和为S ，通项公式为a ，则a ＝
n n n n
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这
些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位
置序号.
4.S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解；
n n n－1 n n－1
②利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
5.由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a 且a－a ＝f(n)，可用“累加法”求a，即a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋(a－a)＋
1 n n－1 n n n n－1 n－1 n－2 3 2 2 1
a.
1
(2)已知a 且 ＝f(n)，可用“累乘法”求a，即a＝ · ·…· · ·a.
1 n n 1
(3)已知a 且a ＝qa＋b，则a ＋k＝q(a＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a＋k}．
1 n＋1 n n＋1 n n
(4)形如a ＝ (A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
n＋1
6.在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对
称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7.用错位相减法求和时，应注意
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意
n n与 的关系
1. （2022湖北省新高考） 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，若 ，则
__________．
由递推公式求通项
1.（2022河南省顶级名校9月开学联考）若数列 满足： ，则数列
的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022辽宁省盘锦市高级中学9月月考）已知数列 满足 ， ，且 = +
- （n≥2），则数列 的通项公式为_____________.
分组求和
1.（2022湖北省武汉市部分学校9月质量检测）设数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式.2.（2022安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，
（t为常数）．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和为 ．
裂项相消法求和
1.（2022河南省部分名校高三上学期8月份摸底）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .错位相减求和
1.（2021高三数学冲刺原创卷）已知 是首项为1的单调递增的等差数列，其中 ， ，
成等比数列． 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
2.（2022河南省顶级名校高三上学期9月联考）已知数列 、 满足： 且 ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）数列 满足： ，其中 ，若数列 的前 项和为 ，求 ．1.（2020年新课标Ⅰ）数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
2.（2020年新课标Ⅰ）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
3.（2021年全国高考乙卷）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．一、单选题
1．（2022·浙江嘉兴·二模）已知数列 满足 ， ， 为数
列 的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，则当 取得最大值时 的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
二、多选题
3．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 对于 恒成立，若
定义 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D．存在 使得
三、填空题
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知数列 ， ，对于任意正整数m，n，都满足 ，
则 ______．5．（2022·江西景德镇·三模（理））已知数列 和正项数列 ，其中 ，且满足
，数列 的前n项和为 ，记 ，满足 ．对于某个给定 或 的
值，则下列结论中：① ；② ；③若 ，则数列 单调递增；④若
，则数列 从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．
四、解答题
6．（2022·重庆八中模拟预测）已知 是公差不为零的等差数列 的前n项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ，数列化 的前2n项和为 ，若 ，求正整数n的最小
值.
7．（2022·福建·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 是等差数列，且 ， ，设 ，求数列 的前 项和 .8．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求证： ．
9．（2022·广东广州·二模）问题：已知 ，数列 的前n项和为 ，是否存在数列 ，满足
，__________﹖若存在．求通项公式 ﹔若不存在，说明理由．
在① ﹔② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面
问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．（2022·浙江嘉兴·二模）设等差数列 的前n项和为 ，数列 是首项为1公比为 的等
比数列，其前n项和为 ，且 ，对任意 恒成立.
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)设 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
