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专题 14.2 整式的乘法
【典例1】在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣
a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
【思路点拨】
（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣
a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【解题过程】
解：（1）甲错把b看成了6，
（2x+a）（x+6）
＝2x2+12x+ax+6a
＝2x2+（12+a）x+6a
＝2x2+8x﹣24，
∴12+a＝8，
解得：a＝﹣4；
乙错把a看成了﹣a，
（2x﹣a）（x+b）
＝2x2+2bx﹣ax﹣ab
＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab
＝2x2+14x+20，
∴2b﹣a＝14，
把a＝﹣4代入，得b＝5；
（2）当a＝﹣4，b＝5时，
（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）
＝2x2+10x﹣4x﹣20
＝2x2+6x﹣20．
1．（2021秋•东兴区校级期中）已知﹣2xmy2与4x2yn﹣1的积与﹣x4y3是同类项，求mn（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021秋•南安市月考）如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣6
3．（2021秋•佳木斯期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4
4．（2021秋•陇县期末）若（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中，x2的系数为﹣6，那么a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
5．（2020秋•安岳县期末）已知a为任意实数，有多项式M＝x2+3ax+6，N＝x+3，且MN＝A，当多项式A
中不含2次项时，a的值为（ ）
2
A．﹣1 B．0 C．− D．1
3
6．（2021春•靖江市月考）若 M＝（2x﹣1）（x﹣3），N＝（x+1）（x﹣8），则 M与N 的关系为
（ ）
A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定
7．（2021春•迁安市期末）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中
的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24．这道题的正确结果是（ ）
A．5x2+26x﹣24 B．5x2﹣26x﹣24 C．5x2+34x﹣24 D．5x2﹣34x﹣24
8．（2021春•松桃县期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式（x2+2x+4）（x﹣▲）＝x3﹣■中
的两个数弄污了，则式子中的■，▲对应得一组数可以是（ ）
A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2
9．（2021秋•浦东新区校级期中）若（x2+mx+4）（x2﹣3x+n）展开后不含x3和x项，则m+n的值为．
10．（2021秋•邓州市期中）已知ab＝a+b+2020，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
11．（2021秋•浦东新区期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝ ．
12．（2021秋•镇平县月考）老师出了一道题，让学生计算（a+b）（p+q）的值．
（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a+b）（p+q）＝
；
小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a+b），宽为（p+q）的长方形，式子的结果就是长
方形的面积；如图，通过分割大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方形
的面积为 ．
比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式： ．
（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a+b）（a+2b）．
13．（2021秋•揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a
的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 S ，左下角的面积为S ，当AB的长变化时，
1 2
S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 21
14．（2020秋•西城区校级期中）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）
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1
（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那
2
么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数
1
就是： ×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思
2
路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
1
（2）（ x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为 ．
2
（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若 ，则a ＝ ．
(x+1) 2021=a x2021+a x2020+a x2019+⋯+a x+a 2020
0 1 2 2020 2021
15．（2021春•盐湖区校级期末）请阅读下列材料并完成相应的任务．
“速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算．如：十位数字相同，个位数字的和为10
的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果
加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．
如：24×26＝100×2×3+24，其结果为624，
48×42＝100×4×5+16，其结果为2016．
（1）仿照上面的方法，写出计算87×83的“速算”过程与结果：87×83＝ ＝ ．
（2）为说明上述两位数相乘“速算”方法的正确性，同学们进行了不同层次的思考：若两个两位数的个位数字分别是1和9，十位数字为a，用含a的式子表示上述“速算”的过程为（10a+1）（10a+9）＝
（请填空并说明其正确性）．
16．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新
数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数
对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友好数对”．
（1）36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为 a，个位数字为b，且a≠b；
另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过
程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为 10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字
交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8．
且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．17．（2021秋•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式
ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果
为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ．
18．（2021秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个
长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通
道的宽度是多少米？19．（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，S ．
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（1）S 与S 的大小关系为：S S ．
1 2 1 2
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S ﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如
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果不是，请说明理由．
20．（2020秋•襄汾县期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a＞b，如果将原长方形的长和宽各
增加3厘米，得到的新长方形面积记为S ，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面
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积记为S ．
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（1）若a、b为正整数，请说明：S 与S 的差一定是5的倍数；
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（2）如果S ＝2S ，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
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