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2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第十四章 整式的乘法与因式分解单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第14章 整式的乘法与因式分解，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则结合有理数的乘方运算进行计算．
【详解】解：∵ ， ，且
∴
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
2．（2021·广东·九年级专题练习）计算 的结果为16，则m的值等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据幂的运算公式即可求解．
【详解】∵ =16
∴ =24
则2m-3-m=4
解得m=7
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算及应用，解题的关键是熟知幂的运算法则．
3．（2019·全国·七年级课时练习）化简(a－2)2＋a(5－a)的结果是( )
A．a＋4 B．3a＋4 C．5a－4 D．a2＋4
【答案】A
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可求解.【详解】 ＋a(5－a)
=
=a+4.
故选A.
【点睛】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，关键是掌握完全平方公式.
4．（2020·山东·潍坊市潍城区潍州麓台学校七年级阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种
表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据长方形面积公式判断各式是否正确即可．
【详解】①（2a+b）（m+n），正确；②a（m+n）+b（m+n），错误；③m（2a+b）+n（2a+b），正确；
④2am+2an+bm+bn，正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【点睛】本题考查了长方形的面积问题，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
5．（2020·江苏·七年级课时练习）已知 ，n的值是
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先把32m+2化为底数为9的幂，再根据同底数幂的除法运算法则计算，最后比较指数的值即可．
【详解】∵32m+2=（32）m+1=9m+1，
∴9m÷3m+2=9m÷9m+1=9-1= =（ ）2，
∴n=2．
故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．6．（2019·山西太原·九年级期中）已知 ，当 时，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知 ，得a=5b，c=5d，将其代入即可求得结果．
【详解】解：∵
∴a=5b，c=5d，
∴
故选：A
【点睛】本题考查的是求代数式的值，应先观察已知式，求值式的特征，采用适当的变形，作为解决问题
的突破口．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2021·江苏扬州·中考真题）计算： __________．
【答案】4041
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：
=
=
=4041
故答案为：4041．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
8．（2022·江苏·太仓市第一中学七年级期中）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____．
【答案】12
【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【详解】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
＝（a+b）（a﹣b+2）
＝4×（1+2）
＝12．
故答案是：12．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可解答．
9．（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）已知x2+mx+16能用完全平方公式因式分解，则m
的值为 ___．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵要使得 能用完全平方公式分解因式，
∴应满足 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键．
10．（2021·江苏·昆山市第二中学七年级阶段练习）现规定一种运算： ，其中 为实数，
则 ___．
【答案】y2−y
【分析】根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，
然后根据单项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】解：x⊕y＋（y−x）⊕y，
＝xy＋x−y＋（y−x）y＋（y−x）−y，
＝y2−y；
故答案为：y2−y．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解
题的关键．
11．（2021·全国·八年级专题练习）已知am＝10，bm＝2，则（ab）m＝___．【答案】20
【分析】根据积的乘方计算法则解答．
【详解】解：∵am＝10，bm＝2，
∴（ab）m＝ ，
故答案为：20．
【点睛】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是
解题的关键．
12．（2021·福建·泉州市第六中学八年级期中）若 ， ，则 __．
【答案】9
【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求式子变成幂的运算即可．
【详解】 ， ，
．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是灵活运用幂的运算的逆运算，把所求式子转换成幂的
运算．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·江苏·镇江市第三中学七年级阶段练习）因式分解：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】解：（1）
；（2）
．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．（2021·全国·八年级课时练习）已知 ， ， 均为整数，且 ，求 的所有
可能值．
【答案】 ， ．
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出 即可得到
， ，由此进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵a，b，均为整数，
∴ 或 或 或 或 或 或 或 ，
∴ ， 或 或 ， ， 或
或
m取的值有±5或±7．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多
项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
15．（2021·江苏苏州·七年级期中）因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）直接提取公因式2a，即可得出答案；
（2）首先提取公因式（x-y），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（3）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：（1）
= ；
（2）
=
=
= ；
（3）
=
=
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．
16．（2022·吉林白城·八年级期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x＋2y）－（x＋1）2＋2x
＝（x2＋2xy）－（x2＋2x＋1）＋2x第一步
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x第二步
＝2xy＋4x＋1第三步
（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）写出此题正确的化简过程．
【答案】（1）第二步；去括号时第二、三项没变号；（2）见解析
【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，去括号再合并同类项进行计算化简
【详解】解：（1）第二步；去括号时第二、三项没变号
故答案为：第二步；去括号时第二、三项没变号（2）原式
【点睛】本题考查了整式的化简，掌握运算法则和去括号是解题的关键．
17．（2020·江苏·七年级课时练习）已知 ，求 的值.
【答案】 ．
【分析】根据 ，可得 ，然后将 化为 ，最后根据同底数幂的乘法法则求解．
【详解】解： ，
，
则 ，
，
原式 ．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂乘法，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方以
及同底数幂的乘法法则．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）（1）已知2x＋3y=4，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值
【答案】（1）16；（2）
【分析】（1）先逆用幂的乘方公式将 变形为 ，再用同底数幂相乘方法则计算得 ，然后
把2x＋3y=4整代入计算即可；
（2）先用幂的乘方公式将 变形为 ，再逆用同底数幂相除法则把 变形为 ，然后再
逆用幂的乘方公式变形为 ，最后整体代入计算即可．
【详解】解：（1）=
= ，
∵2x＋3y=4，
∴原式= =16；
（2）∵ ，
∴ ，
∴
=
= ．
【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，熟练掌握积的乘方与幂的乘方、
同底数幂相除运算法则的逆用是解题的关键．
19．（2022·广东·佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校七年级期中）如图所示，在边长为a米的正方
形草坪上修建两条宽为b米的道路．
(1)为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①： .方法②：
.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是： ．
(2)根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5， ，求ab的值；②己知：
，求 的值．【答案】(1) ； ；
(2)① ；②5
【分析】（1）方法①：根据已知条件得出剩余草坪是一个边长为 的正方形，利用正方形的面积公
式即可得；方法②：剩余草坪的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的
面积；再根据两种方法所求的面积相等即可得出等式；
（2）①先求出 的值，再根据（1）的等式即可得；
②先将 变形为 ，再设 ，则
，利用（1）的等式求值即可得．
（1）
解：方法①：由图可知，剩余草坪是一个长为 的正方形，
则剩余草坪的面积为 ，
方法②：剩余草坪的面积为 ，
所以含有字母 代数式的等式是 ，
故答案为： ； ； ．
（2）
解：① ，
，
， ，
，
解得 ；
② ，，
设 ，则 ，
，
解得 ，
即 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟记完全平方公式 是解题关键．
20．（2020·河南南阳·八年级期中）先化简，再求值： ，其 ，
【答案】 ；2021．
【分析】先进行整式的化简求值运算，再将m、n数值代入求值即可．
【详解】
当 ，n＝2020时，
=2021
【点睛】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，解答关键是按照相关法则进行计算．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2019·贵州贵阳·中考真题）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，
且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．【答案】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；
【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；
【详解】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；
（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；
【点睛】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关
键．
22．（2022·甘肃定西·八年级期末）我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，
但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如 ，通过观察可知，多项
式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：
，我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这
种分解因式的方法解答下列各题：
(1)分解因式： ．
(2)若 三边 满足 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，见解析
【分析】（1）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式继续分解即可；
（2）先把所给等式左边利用分组分解法得到 ，由于 ，则 ，即 ，然
后根据等腰三角形的判定方法进行解题．
(1)解：原式 ；
(2)
的为等腰三角形．
理由： ，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定、因式分解的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
六、（本大题共12分）
23．（2021·全国·七年级课时练习）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______．
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
（3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式： ， ，mn．
（4）若x，y都是有理数， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）能， ；
（4）
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用
正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2；
（4）根据（3）的结论得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入计算．
【详解】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
故答案为： ；
（2）由题意得： ， ；
（3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为： ．
（4）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．
