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第十四章 整式的乘法与因式分解压轴题考点训练
1．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11
【答案】B
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
2．若 ，则 等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
【答案】C
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
=2018．
故选：C
3．已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．4． 的个位数字为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】解：
，
∵ ， ， ， ， ……
可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，
∴ 的个位数为1，
∴ 的个位数为0，
∴ 的个位数可能是0或5，
∴ 的个位数可能是1或6，
观察选项可知，只有B选项为1，
故选B．
5．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解： 由 方程两边同时除以 得 ，变形为 ，
则 ，故选：B．
6．若 ，其中 均为整数，则m的值为_______．
【答案】 或
【详解】 ，
，
，
，
均为整数，
分以下8种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，
③当 时， ，
④当 时， ，
⑤当 时， ，
⑥当 时， ，
⑦当 时， ，
⑧当 时， ，
综上，m的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
7． 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ______．
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为13，
小数部分为 ，
∴ ， ，
.
故答案为： .
8．若实数a，b满足 ，则代数式 的值为_______________．
【答案】6．
【详解】解： ，
把 代入得 ，
再把 代入得 ；
故答案为：6．
9．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是____．
【答案】4
【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，
∴2（x﹣2021）2+2＝10，
∴（x﹣2021）2＝4．
故答案为：4．
10．若 ，则 的值为_________．
【答案】0或2或4【详解】∵ ，
∴a、b、c三个数中必定是一正两负，
∴当 时， ，此时
当 时， ，此时
当 时， ，此时
故答案为：0或2或4
11．分解因式： _________．
【答案】
【详解】解： = = = = ．
故答案为 ．
12．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相
同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之
比为________．
【答案】1：6
【详解】解：如图②种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．
如图③可知
3a+3b=4a
∴a=3b
∴S =（3b-b）2=4b2;
阴影部分
∴图③中S阴影部分=3×4b2=12b2;
图③中整个图形的面积为：4a×（a+3b）=12b（3b+3b）=72b2；∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b2：72b2=1：6．
故答案为：1：6．
13．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请
阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x满足 ，求 的值．
解：设 则
∴
请继续完成计算．
(2)算法体验：若 满足 ，求 的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC
为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形
AEPC的面积
【答案】(1)过程见解析，12；(2)1260；(3)54
【解析】
（1）设 则
∴ =（a+b）2-2ab=（-4）2-2×2=16-4=12．
（2）解：设 ，则 ，a+b=10，
；
（3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）
2，则有（13-m）2+（10-m）2=117，
设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3，所以长方形AEPC的面积为： ．
14．如图，在 中，点 分别是 上的点， 相交于点 ．点 在
延长线上， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的大小关系，并说明理由．
(3)若 ，且 ，求 的周长值．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析；(3)100
【解析】（1）证明：在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，即： ；
（2）
解： ，理由如下：
是 的外角，
．
是 的外角，
，
，
，，
在 和 中，
，
AB FC
，
（3）
解： ，
，
， ，
，
整理得 ，
故 ，
，
而 ，
，此时 ， ，
又 ． 的周长 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B（a，b）是第一象限内一点，且a、b满足等式 ．
(1)求点B的坐标；
(2)如图1，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒
3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时， ABC
是以AB为斜边的等腰直角三角形； △(3)如图2，在（2）的条件下，作∠ABC的平分线BD，设BD的长为m， ADB的面积为S．请用含m的式
子表示S． △
【答案】(1)B（4，1）；(2)t＝1；(3)S＝
【解析】（1）
∵ ，
∴ ，
且 ，|b﹣1|≥0，
∴a﹣4＝0，b﹣1＝0，
∴a＝4，b＝1，
∴B（4，1）；
（2）
如图1中，过B作BH⊥x轴于H．
∵B（4，1），
∴BH＝1，
由题意得OA＝3t，OC＝t，
∵△ACB是以AB斜边的等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCH＝90°，
∵BH⊥x轴，
∴∠OHB＝90°，
∴∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠ACO＝∠CBH，∴∠AOC＝∠CHB＝90°，
在 AOC与 CHB中，
△ △
，
∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴OC＝BH＝1，
∴t＝1，
∴当t＝1时， ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；
（3） △
过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E．
∵∠AFB＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠E＝90°，
∠2+∠E＝90°，
∴∠2＝∠1，
在 DCB与 ECA中，
△ △
，
∴△DCB≌△ECA （ASA），
∴AE＝DB＝m，
在 BFA与 BFE中，
△ △
，∴△BFA≌△BFE （ASA），
∴AF＝EF＝ AE＝ m，
∴S＝ •BD•AF＝ ×m× m＝ ．
