文档内容
专题 11 整式运算的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值.................................................................................................2
类型二、整式中的化简求值...............................................................................................................................4
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值.................................................................................................6
类型四、多项式乘多项式与图形面积................................................................................................................9
类型五、多项式乘法中的规律性问题..............................................................................................................14
压轴能力测评（19题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1.单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2.单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
3.多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．压轴题型讲练
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为
（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，即可求出m、n的值．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （
）
A．11 B．5 C．1 D．
【答案】C
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，求出m、n的值，然后代入 中计算求解即
可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
【变式训练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．【答案】 /
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到 ，
据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 ，再由同类项的定义得
到 ，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解： ，
∵ 与 的积与 是同类项，
∴ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ；
（2）解：，
当 时，原式 ．
类型二、整式中的化简求值
例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，6
(2) ，
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解
答本题的关键．
（1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把 代入计算；
（2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把 代入计算．
【详解】（1）解：
，
当 ， 时，
原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
【变式训练1】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值： ，
其中 ．
【答案】 ，【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了整式的乘法的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键．
根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式
．
【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ．
【答案】 ，
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计
算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式去括号，
再合并同类项即可化简，最后代入 ， 计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．【变式训练4】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ， ；
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算、多项式除以单项式
【分析】本题考查整式的化简求值，根据多项式的乘法除法法则直接计算化到最简，再将数字代入求解即
可得到答案；
【详解】解：原式
当 ， 时，
原式 ．
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含x的一次项，常数项是
．
(1)求m，n的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)35
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出 ， 的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：原式
，
由于展开式中不含x的一次项，常数项是 ，
则 且 ，
解得： ， ；
（2）由（1）可知： ， ，
原式．
【变式训练1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式 ，A与B的乘积中不含有
，且常数项为24．
(1)试确定m和n的值；
(2)求 ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先计算A与B的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有 项和常数项为24，列方程即可得
到答案；
（2）把A与B分别代入利用整式的加减运算法则进行计算即可．
本题考查整式的乘法混合运算和整式的加减运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是
解题的关键．
【详解】（1）
因为不含 ，常数项为24
所以
；
（2）
．
【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式 化简后不含有
项和常数项．
(1)求a，b的值．
(2)求 的值．
【答案】(1) ，(2)
【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法
则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．
（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含 和常数项得出 ， ，即可解答；
（2）根据幂的运算法则得出 ，根据（1）中得出的a和b的值，即可解
答．
【详解】（1）解：
，
∵不含 和常数项，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）解： ，
由（1）知 ， ，
原式 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与 项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值的问题，注意计算的准确性即可.
（1）计算 ，令含x项与 项的系数为零即可求解；
（2）将 代入计算即可.
【详解】（1）解：∵ 的积中不含x项与 项
∴ ，
解得：
（2）解：∵ ，
∴
∴
类型四、多项式乘多项式与图形面积
例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图
形的面积来解释公式 ，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图 ，
图形的面积可解释恒等式 ．
(1)请写出图 表示的代数恒等式为 ；
(2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式： ；
(3)请仿照上述方法另写一个含 ， 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ．
【答案】(1)
(2)图见解析；
(3) （答案不唯一）．【分析】（ ）图（ ）中大长方形的长为 ，宽为 ，根据题意列出恒等式；
（ ）根据给出的恒等式，画出的几何图形的长为 ，宽为 即可；
（ ）根据给出的例子画出几何图形，并写出恒等式即可；
本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握相关的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）图 面积的表示：
方法一： ，
方法二： ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，
面积表示：
方法一： ，
方法二： ，
∴ ；
（3）如图，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地
块进行规划改造，已知该地块如下图是长为 米，宽为 米的长方形地块，学校准备在该地块
内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．(1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积 和种植区的总面积 ； （请将结果化为最简）
(2)若 ， ，求出此时种植区的总面积 ．
【答案】(1) ， ；
(2)216．
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键；
（1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简
求解即可；
（2）将 代入（1）中代数式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
；
（2）解：当 ， 时，
；
【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解
释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，
例如， 就可以用图②中的几何图形的面积来表示．(1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式；
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示
(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积，解答的关键是掌握长方形和正方形的面积公式；
（1）利用矩形的面积相等列关系式即可；
（2）画一个长为 ，宽为 的矩形即可；
（3）一个含有 的代数恒等式可以是 然后画一个长为 ，宽为 的矩
形即可．
【详解】（1）解：根据图形可得： ，
故答案为： ；
（2）解：画图如下(答案不唯一)：它的面积能表示 ；
（3）解：恒等式是 ，如图所示(答案不唯一)．
【变式训练3】（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成了如图2所示的大正方形．
(1)①观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到 ______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为 ，（在图4的方框内
进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，求 的值．
【答案】(1)① ②
(2)图见详解，
(3)5
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法；
（1）分别用两种方法表示出面积为 和 ，即可求解；
（2）分别用两种方法表示出面积为 和 ，即可求解；
（3）将 化为 ，由（2）可得 ，即可求解；
掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为 ，
方法二：图2的面积可表示为：
，
，
故答案： ；
②方法一：图3的面积可表示为 ，
方法二：图3的面积可表示为：，
；
故答案： ；
（2）解：如图，
；
故答案： ；
（3）解：
由（2）可得： ，
，
，
∴ ．
∴当 时，
．
类型五、多项式乘法中的规律性问题
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简 吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
；
；
；
．
(2)请你利用上面的结论计算： = ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解： ；
；
；
；
（2） ．
【变式训练1】（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）自“双减”政策实施以来，我校积极响应政策要求，
精心设计课后服务，根据学生的兴趣爱好开设了各种社团活动，受到了学生与家长的一致好评．在某天的
课后服务中参加数学兴趣小组的小明同学在做“化简 ”时遇到了困难，
聪明的你能帮帮小明吗？
思考：我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
(1)先填空： ； ；由此猜想： ．
(2)利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求 的值；
②若 ，则a等于 ．
【答案】(1) ； ；
(2)① ②【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律探究问题：
（1）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算即可；
（2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中结论进行求解即可．
【详解】（1）解： ；
；
猜想： ；
故答案为： ； ； ；
（2）① ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶
在计算 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、
一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一
般．如下所示：
[观察]① ；
② ；
③ ；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【答案】(1)
(2)22025−1
(3)
【分析】此题考查了多项式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键.
（1）根据题意得到规律即可；（2）由 即可得到答案；
（3）设 ①，则 ②，①＋
②后即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
故答案为：
（2）由题意可得， ，
∴
故答案为：22025−1
（3）设 ①
则 ②
①＋②得，
∴
【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，
原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知 ，所以，
（1）仿照②，写出 进行因式分解的过程．【发现规律】
（2） ______．
【问题解决】
（3）计算： ______（结果用乘方表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的
关键．
（1）仿照②进行解答即可；
（2）归纳①、②得到规律即可；
（3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2） ，
．
（3）
．
压轴能力测评（19题）
一、单选题1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查单项式的乘法，根据 求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C． D．7
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开，进而求出
的值，进一步求出 的值即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的多项式 与 的乘积展开式中不含 的二次
项，且一次项系数为5，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、加减消元法
【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，根据多项式乘多项式的法则，计算后，根据不含
的二次项，且一次项系数为5，得到 的二次项的系数为0，求出 的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：
，由题意，得： ，解得： ，
∴ ；
故选D．
4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定 ，例如 ，已知
，则代数式 的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得 ，从而得到
，再代入，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底
上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为 ；若按图2摆放时，阴
影部分的面积为 ，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】根据矩形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较 和 的大小．此题考查了多
项式乘多项式，熟练掌握运算法则解本题的关键．
【详解】解：设底面的矩形的长为 ，宽为 ，矩形卡片 ， ， 的长为 ，宽为 ，由图1，得 ，
由图2，得 ，
则 ．
故选：B．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ， ，那么 的值为 ．
【答案】9
【知识点】多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出
，再利用整体代入法代值计算即可．
【详解】解：
，
， ，
原式 ，
故答案为：9．
7．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）如果关于x的整式 和 相
乘的结果中不包含三次项，那么 ．
【答案】2
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，
根据“关于 的整式 和 相乘的结果中不含 的三次项”建立方程，即可求解．解题的关键是
明确不含 的三次项，则三次项的系数为 ．
【详解】解：
，
∵关于 的整式 和 相乘的结果中不含 的三次项，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 的展开式中不含x项， 项的系数为 ，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中
不含x项， 项的系数为 ，得到 ，整体代入代数式计算即可．
【详解】解：
，
由题意，得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形 中， ，将两张边长分别为a
和 的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形
被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为 ，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为 ，当
时， ；
【答案】7
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】利用面积的和差关系，分别表示出 和 ，再表示出 ，结合 ，
，即可求解．
【详解】∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵
=
= ，
=
== ，
∴
= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：7．
10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式 （a，b均为非零常数），关
于x的三次三项式 （其中c，d，e，f均为非零常数），
下列说法：
①当 时， ；
②当 为关于x的三次三项式时，则 ；
③当多项式M与N的乘积中不含 项时，则 ；
④ ．其中正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、整式乘法混合运算、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将 代入代
数式求出 的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到 的常数项为0，求出 的值，确定
②，计算多项式乘多项式后， 项的系数为 ，求出 的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出
的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ；故①正确；
∵ ，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常
数，
∴ ，
∴ ；故②错误；
∵
，
又多项式M与N的乘积中不含 项，
∴ ，∴ ；故③正确；
∵ ，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
综上：正确的有①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题
11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值： 其中 ．
【答案】 ，
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查整式的乘法法则、加减法则、代数式求值，根据整式乘法法则展开，然后合并同类项，
最后将 代入即可．
【详解】解：
，
，
∴原式 ．
12．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，5
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、多项式除以单项式
【分析】原式中括号里利用多项式乘多项式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除
以单项式法则计算得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握整式运算法则是解本题的关键．
13．（2023七年级下·江苏·专题练习）若 ，求 的值．
【答案】【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】首先利用单项式乘法可得 ，进而得到 ，再把两个
方程相加可得答案．
【详解】解： ，
则 ，
∴ ，
即 ，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母
分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14．（24-25八年级上·全国·期中）若 的积中不含 和 项．
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆用
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含 和 项，求出 与 的值，
（1）将 与 的值代入计算即可求出值；
（2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
，
∵ 的积中不含 和 项，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ；
（2）解：
当 ， 时，原式
．
15．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子 称为二阶行列式，并
且规定 ．
(1)计算 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、用科学记数法表示数的乘法
【分析】（1）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解；
（2）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道 的展开结果是一个多项式，并且最高次项为
，常数项为 ． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是： ，
即一次项为 ．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求 展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知 展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出相应的算式．
（1）根据题干中提供的方法求出展开所得多项式中的一次项系数即可；
（2）根据提供提供的方法列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：一次项系数为 ．
（2）解：由题意，得二次项系数为：
，
解得 ，
即a的值为2．
17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，
常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别
为 ， 的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？(1)用等式表示出来为______；
(2)已知 ，求 的值；
(3)已知 ， ， 为正整数，求 的值．
【答案】(1)
(2) 的值为 ；
(3) 的值为7或5．
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式的乘法与几何图形，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表
示同一图形的面积．
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是1个正方形的面积和3个矩形的
面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）由（1）的结论结合已知得到 ，则 ， ，进一步计
算即可求解；
（3）将已知等式得到 ， ，根据 ， 为正整数，求得 ， 分别为1，6或2，3，进一步
计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，这个等式可以为 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）的结论得 ，
∵ ，
∴ ，
即 ， ，
∴ ， ，
∴ 的值为 ；
（3）解：由题意得 ，
∴ ， ，
∵ ， 为正整数，
∴ ， 分别为1，6或2，3或6，1或3，2，∴ 或 ，
综上， 的值为7或5．
18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽为
的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一
些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并说
明理由．
【答案】(1)
(2)5，46，9
(3) ，理由见解析
【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式
的混合运算法则成为解题的关键．
（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；
（3）设 ，由图可知 ，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答．
【详解】（1）解：由 ．
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴需用A类卡片5张， 类卡片46张， 类卡片9张．故答案为：5，46，9．
（3）解： ，理由如下：
设 ，
由题意可得
由于S的值与 无关，则 ，即 ．
19．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，
学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．
请解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右上
角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；（2）根据新定义求出 ，再根据不含x的一次项，即可含
x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出 ，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得 ，根据 推出 ，再根据新定义
，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：
∵代数式中不含x的一次项，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
∵ ，
∴原式 ；
（4）解：根据题意得： ，
整理得： ，
∴
．
