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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
14.1 整式的乘法
题型导航
题型1
同底数幂的乘法
整 题型2
幂的乘方
式
题型3
积的乘方
的
题型4
同底数幂的除法
乘
题型5
多项式乘多项式
法
题型6
整式乘法混合运算
题型7 多项式除以单项式
题型8
整式的四则运算
题型变式
【题型1】同底数幂的乘法
1．（福建省泉州市安溪县第一中学2021—2022学年上学期八年级期中质量检测数学试卷）计算 的结
果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加是解题的关键．
【变式1-1】
2．（广东省高州市第一中学附属实验中学2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）已知 ，
，则 =____
【答案】10
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算可得答案．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【题型2】幂的乘方
1．（重庆市第十一中学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）计算 结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方运算直接计算即可求解．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘法运算法则是解题的关键．
【变式2-1】2．（湖南省娄底市涟源市长郡蓝田中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）已知 ， ，
则 ______ ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算规则进行计算．
【详解】解： ，
，
．
【点睛】此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算；幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：
底数不变，指数相加．
【题型3】积的乘方
1．（陕西省西安市未央区西航二中2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷）下列运算正确的是( )
A．（a2）3＝a6 B．﹣a•a3＝﹣a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．2a2+3a2＝5a4
【答案】A
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、合并同类项的运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A、（a2）3＝a6，故A符合题意；
B、﹣a•a3＝﹣a4，故B不符合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故C不符合题意；
D、2a2+3a2＝5a2，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算
法则是解答本题的关键．
【变式3-1】
2．（黑龙江省大庆市林甸县2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）若 ，则__________________．
【答案】3
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
【题型4】同底数幂的除法
1．（湖北省武汉市硚口区2021-2022学年九年级上学期6月质量检测数学试题）下列计算结果为 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐
一判断即可．
【详解】解：A． ，故本选项符合题意；
B． ，故本选项不合题意；
C． ，故本选项不合题意；
D． 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的
关键．
【变式4-1】2．（辽宁省沈阳市培英中学2021-2022学年七年级下学期数学期中考试题）已知2m＝3，2n＝9，则24m﹣
2n＝_____．
【答案】1
【分析】先根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，把24m－2n转化为用已知条件表示，然后代入数
据计算即可．
【详解】解：∵2m＝3，2n＝9，
∴24m－2n＝（2m）4÷（2n）2，
＝34÷92，
＝1
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的
关键．
【题型5】多项式乘多项式
1．（福建省泉州市培元中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷）如果
的展开式中不含 项，则a的值是（ ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项，根据题意得出 ，求解即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含 项，
∴ ，
解得：a=5，
故选A．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某项求参数的问题，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式5-1】
2．（湖南省株洲市天元区第二中学2020-2021学年七年级上学期期末数学试卷）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】2
【分析】根据单项式乘以多项式，多项式乘以单项式，乘法公式等，对 ，
进行化简，然后把 代入，即可．
【详解】
当 时，原式
【点睛】本题考查整式的乘除与化简求值，解题的关键是掌握整式乘除的运算法则和乘法公式的运用．
【题型6】整式乘法混合运算
1．（山东省淄博市博山区万杰朝阳学校2021-2022学年七年级下学期4月月考数学试题）计算(a4)3÷(a2)5的
结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．
【详解】解：原式= ，
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
【变式6-1】
2．（湖南省娄底市新化县东方文武学校2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）=________________．
【答案】
【分析】根据同底数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．
【题型7】多项式除以单项式
1．（陕西省西安市未央区西航二中2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷）计算：
．
【答案】
【分析】首先对式子进行化简 ，再利用多项式除以单项式运算法则：多项式中的
每一项除以单项式，再将所得的项相加，即可求得结果．
【详解】解：原式＝
＝
【点睛】本题主要考查的是多项式除法运算，解题的重点是掌握运算顺序．
【变式7-1】
2．（四川省成都市成都佳兴外国语学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）已知多项式2x2
﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【答案】
【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项
式，再把所得的商相加，计算即可．
【详解】解：由题意可得：故答案为：
【点睛】本题考查多项式除以单项式的法则，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题关键．
【题型8】整式的四则运算
1．（陕西省西安市浐灞二中2021---2022学年七年级下学期第二次月考数学试题）化简：（2x+3）
（2x-3） +（4x3 -12x）÷（ -2x）．
【答案】
【分析】先根据平方差公式，多项式除以单项式运算法则进行计算，再合并同类项，求出答案即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题主要考查了整式的四则运算，熟练掌握平方差公式和多项式除以单项式运算法则是解答的关
键．
【变式8-1】
2．（广东省佛山市南海区桂城街道瀚文外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次大测数学试卷）先
化简，再求值： ，其中x＝﹣1，y＝2．
【答案】 ；
【分析】先按照运算顺序进行化简，再将x，y的值代入计算即可．【详解】解：
=
=
= ．
将x＝﹣1，y＝2代入 得：
上式= ．
【点睛】本题考查整式的化简求值，正确的化简是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2022·山东菏泽·七年级期中）下列算式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法运算法则计算即可．
【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意；
B. ，此选项正确，符合题意；
C. ，此选项错误，不符合题意；
D. ，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟知运算法则是解本题的关键．
2．（2020·山东·潍坊市潍城区潍州麓台学校七年级阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种
表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（ ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据长方形面积公式判断各式是否正确即可．
【详解】①（2a+b）（m+n），正确；②a（m+n）+b（m+n），错误；③m（2a+b）+n（2a+b），正确；
④2am+2an+bm+bn，正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【点睛】本题考查了长方形的面积问题，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
3．（2018·江苏南京·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可.
【详解】解：
=
=
故选B.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键.
4．（2021·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）当x=-1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式
9b﹣6a+2=（ ）
A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣32
【答案】C
【分析】首先根据当x＝−1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，求出-2a+3b的值为10．再把9b-6a+2改为
3(-2a+3b)+2，最后将-2a+3b的值代入3(-2a+3b)+2中即可．
【详解】解：∵当x=-1时，代数式2ax3-3bx+8的值为18，∴-2a+3b+8=18，
∴-2a+3b=10，
则9b-6a+2，
=3(-2a+3b)+2，
=3×10+2，
=32，
故选：C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
5．（2021·江苏·七年级专题练习）要使多项式 不含 的一次项，则 与 的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．乘积为
【答案】A
【分析】计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p
与q相等.
【详解】解：
∵乘积的多项式不含x的一次项
∴p-q=0
∴p=q
故选择A.
【点睛】此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.
6．（2018·山东威海·中考真题）已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出
52x﹣3y的值为多少即可．
【详解】∵5x=3，5y=2，
∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x﹣3y= ．故选D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指
数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，
其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确
底数是什么，指数是什么．
二、填空题
7．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）已知 (m ， n 为正整数），则 =__________．
【答案】24
【分析】逆运用同底数幂的乘法和幂的乘方公式计算即可．
【详解】解：∵ (m ， n 为正整数），
∴ ．
故答案为：24．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方公式的逆运用，熟练掌握公式是解题关键．
8．（2022·江苏·宝应县氾水镇初级中学七年级阶段练习）计算 __________．
【答案】
【分析】直接根据积的乘方、幂的乘方法则即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查积的乘方、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．（2021·贵州·九年级专题练习）（﹣3×106）×（2×104）的值用科学记数法可表示为 ___．
【答案】-6×1010
【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指
数相加进行计算即可得解
【详解】解：（﹣3×106）×（2×104）
＝（-3×2）×（106×104）
＝-6×1010故答案为：-6×1010．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级专题练习）计算：42n·（ ）2n+1=____________（n为正整数）．
【答案】
【分析】先逆用同底数幂相乘变形为42n·( )2n·( )，再逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：42n·( )2n+1
=42n·( )2n·( )
=[4×(- )]2n×( )
=1×( )
=
故答案为：
【点睛】本题考查逆用同底数幂相乘和积的乘方，熟练掌握同底数幂相乘和积的乘方运算法则上解题的关
键．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）若3x＝4，3y＝5，则3x－2y的值为_____．
【答案】 ##0.16
【分析】利用同底数幂的除法的逆用把 化为已知的形式即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的逆用，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
12．（2018·广西玉林·中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．
【答案】2
【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运
用．
13．（2017·山东菏泽·七年级期末）若 ， 则 =______
【答案】2
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得.
【详解】 ，
故答案为：2.
三、解答题
14．（2022·甘肃·天水市秦州区藉口中学八年级期末）化简：
（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）运用交换律直接进行合并同类项即可；
（2）先去括号，然后进行合并同类项化简即可．
【详解】解：（1） ，
，
；
（2），
．
【点睛】题目主要考查整式的混合运算及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
15．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）已知 ， ，分别求：
(1) 的值；
(2) 的值
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案；
（2）根据同底数幂的除法，可得要求的形式，再根据幂的乘方，可得答案．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关
键是掌握相应的运算法则．
16．（2022·四川·大竹县石河中学七年级期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ．(2) ，其中 ．
【答案】(1)3
(2)5
【分析】（1）单项式乘多项式展开，完全平方公式展开，合并同类项，即可解得．
（2）按照平方差公式展开，同底数幂的除法，合并同类项，代数即可解得．
（1）
把x=1代入
原式=3．
（2）
把 带入，
原式=5．
【点睛】此题考查了整式的乘法，解题的关键是熟悉计算法则．
17．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）计算：
(1) ，
，
______，
…
猜想： ______，
(2)根据以上结果，试写出下面两式的结果① ______，
② ______，
(3)利用以上结论求值： ．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）先利用多项式乘以多项式法则计算 ，再归纳类推出一般规律即可得；
（2）①将 代入即可得；
②根据 即可得；
（3）将所求的式子变形为 ，利用（1）中的规律进行计算即可得．
（1）
解：
，
则猜想： ，
故答案为： ， ．
（2）
解：① ，
故答案为： ；②因为当 时， ，
，
故答案为： ．
（3）
解：
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
18．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）探究应用：
(1)计算：
① ；
② ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)直接用公式写出计算结果： ______．
【答案】(1) ；
(2)
(3)C(4)
【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；
（2）根据（1）中的计算进行总结即可；
（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；
（4）利用（2）中的公式进行计算即可．
（1）
解：
；
．
（2）
解：如 中， ， ， ，
∴发现的公式为： ．
故答案为：
（3）
解：A、 ，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
B、 ，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
C、 ，符合（2）中公式规律，故符合题意；
D、 ，不符合（2）中公式规律，故不符合题意．
故选：C（4）
解：根据公式，原式 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式
与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
19．（2022·广东·深圳市宝安区中英公学七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．
（单位：米）
(1)用含 ， 的整式表示花坛的面积；
(2)若 ， ，工程费为 元 平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)花坛的面积是 平方米
(2)建花坛的总工程费为 元
【分析】（1）用大长方形的面积减去一个小长方形面积即可；
（2）将a和b的值代入（1）中的结果，求出面积即可．
（1）
解：（1）
=
= 平方米 ．
答：花坛的面积是 平方米．
（2）
当 ， 时，=
=
= (平方米)
（元）
答：建花坛的总工程费为14375元．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
