文档内容
专题 11 整式运算的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值.................................................................................................2
类型二、整式中的化简求值...............................................................................................................................4
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值.................................................................................................6
类型四、多项式乘多项式与图形面积................................................................................................................9
类型五、多项式乘法中的规律性问题..............................................................................................................14
压轴能力测评（19题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1.单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢
掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2.单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
3.多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．压轴题型讲练
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为
（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （
）
A．11 B．5 C．1 D．
【变式训练2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
【变式训练3】（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
类型二、整式中的化简求值
例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【变式训练1】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值： ，
其中 ．
【变式训练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值： ，
其中 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【变式训练4】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含x的一次项，常数项是
．
(1)求m，n的值；
(2)求 的值．
【变式训练1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式 ，A与B的乘积中不含有
，且常数项为24．
(1)试确定m和n的值；
(2)求 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式 化简后不含有
项和常数项．
(1)求a，b的值．
(2)求 的值．
【变式训练3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 的积中不含x项与 项．
(1)求p、q的值；
(2)求代数式 的值．
类型四、多项式乘多项式与图形面积
例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图
形的面积来解释公式 ，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如图 ，
图形的面积可解释恒等式 ．
(1)请写出图 表示的代数恒等式为 ；
(2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式： ；
(3)请仿照上述方法另写一个含 ， 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为： ．【变式训练1】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地
块进行规划改造，已知该地块如下图是长为 米，宽为 米的长方形地块，学校准备在该地块
内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
(1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积 和种植区的总面积 ； （请将结果化为最简）
(2)若 ， ，求出此时种植区的总面积 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解
释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，
例如， 就可以用图②中的几何图形的面积来表示．
(1)请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式；
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示
(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形．
【变式训练3】（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边
长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成了如图2所示的大正方形．(1)①观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到 ______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为 ，（在图4的方框内
进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，求 的值．
类型五、多项式乘法中的规律性问题
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简 吗？遇到这样的复杂问题时，
我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
；
；
；
．
(2)请你利用上面的结论计算： = ．
【变式训练1】（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）自“双减”政策实施以来，我校积极响应政策要求，
精心设计课后服务，根据学生的兴趣爱好开设了各种社团活动，受到了学生与家长的一致好评．在某天的
课后服务中参加数学兴趣小组的小明同学在做“化简 ”时遇到了困难，
聪明的你能帮帮小明吗？
思考：我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
(1)先填空： ； ；由此猜想： ．
(2)利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求 的值；
②若 ，则a等于 ．【变式训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶
在计算 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、
一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一
般．如下所示：
[观察]① ；
② ；
③ ；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，
原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知 ，所以，
（1）仿照②，写出 进行因式分解的过程．
【发现规律】（2） ______．
【问题解决】
（3）计算： ______（结果用乘方表示）．
压轴能力测评（19题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C． D．7
3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的多项式 与 的乘积展开式中不含 的二次
项，且一次项系数为5，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定 ，例如 ，已知
，则代数式 的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底
上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为 ；若按图2摆放时，阴
影部分的面积为 ，则（ ）A． B． C． D．无法确定
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ， ，那么 的值为 ．
7．（上海市普陀区2024—2025学年七年级上学期中考试数学试题）如果关于x的整式 和 相
乘的结果中不包含三次项，那么 ．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 的展开式中不含x项， 项的系数为 ，则
的值为 ．
9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形 中， ，将两张边长分别为a
和 的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形
被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为 ，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为 ，当
时， ；
10．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式 （a，b均为非零常数），关
于x的三次三项式 （其中c，d，e，f均为非零常数），
下列说法：
①当 时， ；
②当 为关于x的三次三项式时，则 ；
③当多项式M与N的乘积中不含 项时，则 ；
④ ．其中正确的有 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值： 其中 ．
12．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）先化简，再求值： ，其中 ，．
13．（2023七年级下·江苏·专题练习）若 ，求 的值．
14．（24-25八年级上·全国·期中）若 的积中不含 和 项．
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．
15．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子 称为二阶行列式，并
且规定 ．
(1)计算 的值；
(2)若 ，求 的值．
16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道 的展开结果是一个多项式，并且最高次项为
，常数项为 ． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是： ，
即一次项为 ．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求 展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知 展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
17．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，
常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别
为 ， 的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？
(1)用等式表示出来为______；
(2)已知 ，求 的值；(3)已知 ， ， 为正整数，求 的值．
18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽为
的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一
些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．
(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片 张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并说
明理由．
19．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，
学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．
请解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右上
角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
