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【专题】分式化简求值（50题）
一、解答题
1 a 1
1．先化简，再求值：(1- )÷ ，其中a=- ．
a+1 a2-1 2
1 a
【答案】解：(1- )÷
a+1 a2-1
a+1 1 (a+1)(a-1)
=( - )×
a+1 a+1 a
a (a+1)(a-1)
= ×
a+1 a
=a-1
1 1 3
当a=- 时，原式=- -1=- ．
2 2 2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
a a 4a
2．先化简，再求值： +( - )，其中a=3．
a-2 a-2 a2-2
a a 4a
【答案】解： +( - )
a-2 a-2 a2-2
a a 4a
= + -
a-2 a-2 a2-2
2a 4a
= -
a-2 a2-2
2a(a2-2) 4a(a-2)
= -
(a-2)(a2-2) (a-2)(a2-2)
2a3-4a2+4a
=
(a-2)(a2-2)
2×33-4×32+4×3 30
当a=3时，原式= =
(3-2)(32-2) 7
【解析】【分析】先化简分式，再将a=3代入计算求解即可。
a 1
3．先化简，再求值： ÷(1+ )，其中a=√3-π0．
a2-1 a-1
a 1
【答案】解： ÷(1+ )
a2-1 a-1
a a
= ÷( )
(a+1)(a-1) a-1
a a-1
= ⋅
(a+1)(a-1) a1
= ，
a+1
∵a=√3-π0，
∴a=√3-1，
1 1 √3
∴原式= = = ．
√3-1+1 √3 3
【解析】【分析】先化简原式，再将a的值代入计算即可。
1 a-3
4．先化简，再求值：(1- )÷ ，其中a=-3．
a-2 a2-4
a-3 (a+2)(a-2)
【答案】解：原式= × =a+2，
a-2 a-3
当a=-3时，原式=-3+2=-1时．
【解析】【分析】先化简原式，再将a的值代入计算即可。
a-1 a-1 1
5．先化简，再求值： ÷ - ，其中a=√2．
a2+2a+1 a+1 a-1
a-1 a+1 1
【答案】解：原式= × -
（a+1）2 a-1 a-1
1 1
= -
a+1 a-1
（a-1）-（a+1）
=
（a+1）（a-1）
2
-
=
a2-1
2
当a=√2时，原式 =- =-2
（√2）2-1
【解析】【分析】先化简分式，再将a的值代入计算求解即可。
a2-4a+4 3
6．先化简，再求值： ÷( -a+1)，其中a＝8．
a+1 a+1
(a-2) 2 3 (a+1)(a-1)
【答案】解：原式＝ ÷[ - ]
a+1 a+1 a+1
(a-2) 2 4-a2
＝ ÷
a+1 a+1
(a-2) 2 a+1
＝ ⋅
a+1 -(a+2)(a-2)
＝2−aa+2，
当a＝8时，
原式＝2−88+2＝﹣610
＝−35．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
2x+2
7．先化简，再求值：(2x+2)÷(x+1+ )，其中x=-2．
x-1
x2-1 2x+2
【答案】解：原式=(2x+2)÷( + )
x-1 x-1
x2+2x+1
=(2x+2)÷
x-1
x-1
=2(x+1)⋅
x2+2x+1
x-1
=2(x+1)⋅
(x+1) 2
2x-2
= ，
x+1
2×(-2)-2
将x=-2代入得：原式= =6．
-2+1
【解析】【分析】先化简原式，再将x的值代入计算即可。
2ab+b2 a2-b2
8．先化简，再求值：(a+ )÷ ，其中a＝﹣2，b＝3．
a a2-ab
a2+2ab+b2 a(a-b) (a+b) 2 a(a-b)
【答案】解：原式＝ ⋅ = ⋅ ＝a+b，
a (a+b)(a-b) a (a+b)(a-b)
当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
2 x2-x
9．先化简，再求值：(1- )⋅ ，其中x=2．
x-1 x2-6x+9
x-1 2 x(x-1)
【答案】解：原式=( - )⋅
x-1 x-1 (x-3) 2
x-3 x(x-1)
= ⋅
x-1 (x-3) 2
x
=
x-3
x 2
当x=2时，原式= = =-2
x-3 2-3
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
x2-2x+1 1 1
10．先化简再求值：( - )÷ ，再在-1，0，1，2中选择一个合适的数
x2-1 x x+1代入求值．
x2-2x+1 1 1
【答案】解：( - )÷
x2-1 x x+1
x-1 1 1
=( - )÷
x+1 x x+1
x2-2x-1
= ×(x+1)
x(x+1)
x2-2x-1
= ．
x
根据分式有意义的条件可知：x≠0，且x≠±1，故取x=2，
当x=2时，
x2-2x-1 4-4-1 1
= =- ．
x 2 2
【解析】【分析】对第一个 分式的分子、分母进行分解，然后约分，对括号中的式子
进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行分解，接下来选取一个使分
式有意义的x的值代入计算即可.
x x2+2x+1
11．先化简，再求值：( -1)÷ ，其中x=-2
x-1 x2-1
x x2+2x+1
【答案】解：( -1)÷ ，
x-1 x2-1
x x-1 x2-1
=( - )⋅ ，
x-1 x-1 x2+2x+1
1 (x-1)(x+1)
= ⋅ ，
x-1 (x+1) 2
1
= ，
x+1
1
当x=﹣2时，原式= =-1．
-2+1
【解析】【分析】利用分式运算化简再代入求值即可。
x2+x x2
12．先化简，再求值： ÷ ，其中x=3．
x2+2x+1 x2-1
x(x+1) (x+1)(x-1)
【答案】解：原式= ⋅
(x+1) 2 x2
x-1
=
x
3-1 2
当x=3时，原式= =
3 3【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
x2 4
13．先化简，再代入求值： ·( +x-4)，其中x2-2x-2=0
x-2 x
x2 4
【答案】解： ·( +x-4)，
x-2 x
x2 4 x2 4x
＝ ·( + - )，
x-2 x x x
x2 4+x2-4x
＝ ·( )，
x-2 x
x2 (x-2) 2
＝ · ，
x-2 x
＝x（x－2），
＝x2-2x，
x2-2x-2=0，
变形为x2-2x=2，
原式＝x2-2x
＝2．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 x2-2x=2， 最后代入求解即可。
1 x-1
14．先化简，再求值： (1+ )÷ +4 ，其中 x=6 ．
x-2 x2-2x
1 x-1
【答案】解： (1+ )÷ +4
x-2 x2-2x
x-2+1 x(x-2)
= × +4
x-2 x-1
x-1 x(x-2)
= × +4
x-2 x-1
=x+4 ，
当 x=6 时， x+4=6+4=10 ．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
a2-2ab+b2 a2-ab 2
15．先化简，再求值： ÷ - ，其中a＝2，b＝﹣1．
a2-b2 a a+b
a2-2ab+b2 a2-ab 2
【答案】解： ÷ -
a2-b2 a a+b
(a-b) 2 a 2
= ⋅ -
(a-b)(a+b) a(a-b) a+b1 2
= -
a+b a+b
1
=-
a+b
1 1
将a＝2，b＝﹣1代入- =- =-1.
a+b 2+(-1)
【解析】【分析】先化简原式，再将a、b的值代入计算即可。
x 1 1
16．先化简，再求值：( + )÷ ，其中x是6的平方根．
x+1 x-1 x2-1
x(x-1)+(x+1)
【答案】解：原式=[ ]⋅(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)
x2-x+x+1
= ⋅(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)
=x2+1．
∵x是6的平方根，
∴x2=6，
∴原式=6+1=7．
【解析】【分析】先化简原式，因为x是6的平方根，可得出x2=6，再代入计算即可。
2x+2 x+1
17．先化简，再求值： ( +1)÷ ，其中x＝4．
x2-1 x2-2x+1
2x+2 x2-1 (x-1) 2
【答案】解：原式＝ ( + )
x2-1 x2-1 x+1
x2+2x+1 (x-1) 2
=
x2-1 x+1
(x+1) 2 (x-1) 2
=
(x+1)(x-1) x+1
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算化简，然后代入x值，即可求出结果.
1 1 1 1
18．先化简，再求值：( - )÷ ，其中x= ．
x+1 1-x x2-1 2
1 1
【答案】解：原式=( + )×(x+1)(x-1)
x+1 x-1
1 1
= ×(x+1)(x-1)+ ×(x+1)(x-1)
x+1 x-1
=x-1+x+1
=2x，1
当x= 时，
2
1
原式=2× =1．
2
【解析】【分析】先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律展开，然后合并同类项化
简，再将x的值代入代数式中求结果.
x2-6x+9 5 1
19．先化简，再求值： ÷（x+2﹣ ），其中x＝ - ．
x-2 x-2 2
x2-6x+9 5
【答案】解： ÷（x+2﹣ ）
x-2 x-2
x2-6x+9 (x+2)(x-2) 5
= ÷（ - ）
x-2 x-2 x-2
(x-3) 2 (x+3)(x-3)
= ÷
x-2 x-2
(x-3) 2 x-2
= ×
x-2 (x+3)(x-3)
x-3
=
x+3
1
当x＝ - 时
2
1 7
- -3 -
2 2 7
原式＝ = ＝﹣
1 5 5
- +3
2 2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
2m2-4 m2+2m 1 -1
20．先化简，再求值：( -1)÷ ，其中m=( ) +(3.14-π) 0．
m2 m2 2
2m2-4 m2+2m
【答案】解：( -1)÷
m2 m2
m2-4 m2+2m
= ÷
m2 m2
(m+2)(m-2) m2
= ·
m2 m(m+2)
m-2
=
m
1 -1
∵m=( ) +(3.14-π) 0
2
∴m=2+1=33-2 1
当m=3时，原式= = ．
3 3
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出m的值，最后将m的值代入计
算即可。
1 a
21．先化简 ÷ ，然后在0，1，-1中挑选一个合适的数代入求值．
a+1 a2+2a+1
1 (a+1) 2 a+1
【答案】解：原式 = ⋅ = ．
a+1 a a
由分式有意义可知， a≠0，a≠-1 ，故 a=1 ，
1+1
当 a=1 时，原式 = =2 ．
1
【解析】【分析】先利用分式的除法化简，再将a的值代入计算即可。
x2+x 2
22．先化简： ÷(1+ ) ，再任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值.
x2-2x+1 x-1
x(x+1) x+1
【答案】解：原式= ÷
(x-1) 2 x-1
x(x+1) x-1
= ⋅
(x-1) 2 x+1
x
=
x-1
∵x-1≠0，x+1≠0，
∴x≠±1，
当x=0时，原式=0．
【解析】【分析】先化简分式，再求出 x≠±1， 最后求解即可。
1 a2-1
23．先化简(1- )÷ ，再从-1，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代
a a2+2a+1
入求值．
1 a2-1
【答案】解：(1- )÷
a a2+2a+1
a-1 (a+1) 2
= ×
a (a+1)(a-1)
a+1
=
a
根据题意得：a 不能取0，1，-1，
2+1 3
当a=2 时，原式= = ．
2 2
【解析】【分析】先化简原式，再根据题意得：a 不能取0，1，-1，即可得出答案。b2 a2-b2 a 1
24．先化简，再求值： ÷( + )，其中a=(2022-π) 0，b= .
a2-ab a2-2ab+b2 b-a 3
b2 a2-b2 a
【答案】解： ÷( + )
a2-ab a2-2ab+b2 b-a
b2 (a-b)(a+b) a(a-b)
= ÷[ - ]
a(a-b) (a-b) 2 (a-b) 2
b2 (a-b)(a+b-a)
= ÷
a(a-b) (a-b) 2
b2 (a-b)
= ×
a(a-b) b
b
=
a
1
∵a=(2022-π) 0=1，b= ，
3
1
∴b 3 1.
= =
a 1 3
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将分式的除法转化为乘法运算，约
分化简，然后将a，b的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
1 x2-6x+9
25．先化简分式(1- )÷ ，再从2≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．
x-2 2x-4
x-2 1 (x-3) 2
【答案】解：原式=( - )÷
x-2 x-2 2(x-2)
x-3 2(x-2)
= ×
x-2 (x-3) 2
2
= ，
x-3
∵2≤x≤4，
又∵x≠2且x≠3，
∴x=4，
2
∴原式= =2．
4-3
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
1 x2-4x+4
26．先化简(1- )÷ ，再从0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并
x-1 x2-1
求值．x-2 (x+1)(x-1) x+1
【答案】解：原式= ⋅ = ．
x-1 (x-2) 2 x-2
0+1 1
取x=0，原式= =- ．
0-2 2
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘
法，进行约分即可化简，最后从0，－2，－1，1中选择一个使分式有意义的值代入计
算即可.
3 a2-2a+1
27．先化简(1- )÷ ，再从－2，2，－1，1中选取一个恰当的数作为a
a+2 a2-4
的值代入求值.
3 a2-2a+1
【答案】解：(1- )÷
a+2 a2-4
a+2 3 a2-4
=（ - ）×
a+2 a+2 a2-2a+1
a-1 (a+2)(a-2)
= × =
a+2 (a-1) 2
a-2
=
a-1
3
当a=-1时，原式＝ .
2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
x2-2x+1 3
28．先化简，再求值： ÷(1- )，其中x与2，3构成等腰三角形．
x2-1 x+1
(x-1) 2 x-2
【答案】解：原式= ÷
(x+1)(x-1) x+1
x-1 x+1
= •
x+1 x-2
x-1
=
x-2
∵x与2，3构成等腰三角形，
∴x=2或3，
∵x=2时，x-2=0，不符合题意，
∴x=3，
3-1
∴原式= =2.
3-2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
a 2a-1
29．先化简，再求值： ÷（a﹣1﹣ ），并从﹣1，0，1，2四个数中，选
a+1 a+1
一个合适的数代入求值
a a2-1 2a-1
【答案】解：原式= ÷( - ) ，
a+1 a+1 a+1
a a2-2a
= ÷
a+1 a+1
a a+1
= ·
a+1 a(a-2)
1
= ，
a-2
∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，
∴a=1，
1
则原式= =﹣1．
1-2
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
a+2 a-1 a-4
30．先化简，再求值： ( - )÷ ，其中a满足 a2-4a+1=0 ．
a2-2a a2-4a+4 a
a+2 a-1 a-4
【答案】解： ( - )÷
a2-2a a2-4a+4 a
a+2 a-1 a
=[ - ]⋅
a(a-2) (a-2) 2 a-4
(a+2)(a-2)-a(a-1) a
= ⋅
a(a-2) 2 a-4
a2-4-a2+a 1
= ⋅
(a-2) 2 a-4
a-4 1
= ⋅
(a-2) 2 a-4
1
=
(a-2) 2
1
=
，
a2-4a+4
∵a2-4a+1=0 ，
∴a2-4a=-1 ，
1 1
当 a2-4a=-1 ，原式 = = ．
-1+4 3【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a2-4a+1=0整体代入计算即可。
2 x2-5x+6
31．先化简，再求值：(1- )÷ ，其中x从0，1，2，3四个数中适当选
x-1 x-1
取.
x-3 x-1 1
【答案】解：原式= × = ，
x-1 (x-2)(x-3) x-2
1 1
∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，2，3，当x=0时，原式= =﹣ .
0-2 2
【解析】【分析】首先对括号中的式子进行通分，然后将各个分式的分子、分母能分
解因式的分别分解因式，并将除法化为乘法，进行约分可对原式进行化简，最后选取
一个使分式有意义的x的值代入进行计算即可.
4 a2-4a+4
32．先化简，再求值： (1- )÷ ，其中a＝ 2-1+(π-2022) 0 .
a+2 2a-4
4 a2-4a+4
【答案】解：∵(1- )÷
a+2 2a-4
a+2-4 2(a-2)
= ×
a+2 (a-2) 2
2
= ；
a+2
3
a＝ 2-1+(π-2022) 0 = ，
2
2
∴原式= 3
+2
2
4
= .
7
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，
然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，由0次幂以及负整数指数幂的运算
性质求出a的值，接下来代入化简后的式子中进行计算即可.
1 a
33．先化简，再求值 ： (1- )÷ 并在1，-1，2，0这四个数中取一个合适
a+1 a2-1
的数作为a的值代入求值．
a+1 1 a2-1
【答案】解： 原式=( - )×
a+1 a+1 a
a (a+1)(a-1)
= ×
a+1 a
=a-1
∵a≠-1 ， 1 ， 0∴ 取 a=2
∴ 原式 =2-1=1
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，
然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，最后根据分式有意义的条件从1，-
1，2，0这四个数中选取一个代入计算即可.
m 3
34．先化简，再求值： ÷[(m+3) 0+ ] ，其中 m=-2 ．
m2-9 m-3
m m-3 3
【答案】解：原式＝ ÷( + )
m2-9 m-3 m-3
m m
＝ ÷
m2-9 m-3
m m-3
＝ ⋅
(m+3)(m-3) m
1
＝ ，
m+3
1
当 m=-2 时，代入原式 = =1
-2+3
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将m的值代入计算即可。
m 1
35．已知分式A=1- ÷(1+ )．先化简A，再从-1、0、1、2中选一个合适
m2-1 m-1
的数作为m的值代入A中，求A的值．
m m-1+1
【答案】解：A=1- ÷
m2-1 m-1
m m-1
=1- ⋅
(m+1)(m-1) m
1 m+1-1 m
=1- = =
m+1 m+1 m+1
∵当m=±1和0时，原分式无意义，
m 2 2
∴当m=2时，A= = =
m+1 2+1 3
【解析】【分析】先化简分式，再将m=2代入计算求解即可。
x2-4x+4 4+x2
36．先化简： ÷(2x- ) ，再从 -2 ，0，1，2中选取一个合适的 x
2x-x2 x
的值代入求值.
x2-4x+4 4+x2
【答案】解： ÷(2x- )
2x-x2 x(x-2) 2 2x2 4+x2
= ÷( - )
-x(x-2) x x
x-2 x2-4
= ÷
-x x
x-2 x
= ×
-x (x+2)(x-2)
1
=- ，
x+2
∵x≠0 ，2， -2 ，
1
∴ 当 x=1 时，原式 =- .
3
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，
然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，然后选取一个使分式有意义的x的
值代入进行计算.
x-3 x2+2x+1 1
37．先化简： ⋅ -( +1)，其中0≤x≤3，且x为整数，请选择一个
x2-1 x-3 x-1
你喜欢的数x代入求值．
x-3 x2+2x+1 1
【答案】解： ⋅ -( +1)
x2-1 x-3 x-1
x-3 (x+1) 2 1 x-1
= ⋅ -( + )
(x+1)(x-1) x-3 x-1 x-1
x+1 x
= -
x-1 x-1
1
=
x-1
∵x≠±1，x≠3，
∴当0≤x≤3，且x为整数时，x=0或x=2（以下选一），
1 1
当x=0时，原式= =-1；当x=2时，原式= =1．
0-1 2-1
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
38．先化简，再求值：
a 9-4a a-3
( + )÷ ，其中a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且a
a+2 a2-4 a-2
是整数．
a 9-4a a-3 a(a-2) 9-4a a-2
【答案】解：( + )÷ =[ + ]⋅ ，
a+2 a2-4 a-2 (a+2)(a-2) (a+2)(a-2) a-3a2-2a+9-4a a-2
= ⋅ ，
(a+2)(a-2) a-3
(a-3) 2 a-2
= ⋅ ，
(a+2)(a-2) a-3
a-3
= ，
a+2
∵a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3-2-3 ，
∵x 为非正整数，且 x≠-2、0 ，
∴x=-1 ，
x-2 -1-2
∴ 原式 = = =3 .
x(x+2) (-1)×(-1+2)
【解析】【分析】对原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除
法法则变形，约分得到最简结果；求出不等式的解集，找出符合条件的整数解，代入
计算即可求出值.
x x+1
48．先化简分式：（1﹣ ）÷ ，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认
x-1 x2-x
为合适的x的值，代入求值．
x-1-x x(x-1) x
【答案】解：原式＝ · =- ，
x-1 x+1 x+1
2
把x＝2代入得：原式＝－ ．
3
【解析】【分析】本题要先化简再求值，不能直接选一个x的值代入求值。化简时要先
对括号中两项通分再利用同分母分式的减法法则计算，最后再用除法法则化简
x x2-1 {-x≤1
49．先化简，再求值： ( -1)÷ ，其中x的值从不等式组
x2+x x2+2x+1 2x-1<4
的整数解中选取．x x2-1
【答案】解： ( -1)÷
x2+x x2+2x+1
x (x+1) 2
＝ [ -1]×
x(x+1) (x-1)(x+1)
1 x+1 x+1
＝ ( - )×
x+1 x+1 x-1
-x x+1
＝ ×
x+1 x-1
x
＝﹣ ，
x-1
{-x≤1
解不等式组 得：
2x-1<4
5
﹣1≤x＜ ，
2
∴整数解有 -1,0,1,2 ，
∵分式要有意义，
x
∴当x＝2时，原式＝﹣ ＝﹣2．
x-1
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再解出不等式组的解集，再找一个x的
值代入计算即可。
x2-2x+1 x-1
50．有这样一道题：先化简再求值，“ ÷ -x+1，其中x=2021．”小
x2-1 x2+x
华同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但他的计算结果也是正确的，请通过
计算说明这是怎么回事．
(x-1) 2 x(x+1)
【答案】解：原式= ⋅ -x+1
(x-1)(x+1) x-1
=x-x+1=1．
∵化简后结果不含字母x，
∴小华同学虽然把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但他的计算结果也是正确的．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得
x2-2x+1 x-1
÷ -x+1=x-x+1=1， 化简后结果不含字母x，因此原式的值与x的
x2-1 x2+x
值取值无关。
