热点专题2-5对数与对数函数12类题型（原卷版）-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

热点专题 2-5 对数与对数函数 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年II卷第8题，5分 从近四年的高考情况来看， 2024年北京卷第7题，4分 对数运算与对数函数是高考 的一个重点也是一个难点， 2024年天津卷第5题，5分 常与二次函数、幂函数、指 （1）对数的概念及运算性 2023年北京卷第11题，5分 质 数函数、三角函数综合，考 （2）对数函数的图象 2023年I卷第10题，5分 查数值大小的比较和函数方 （3）对数函数的性质 程问题.在利用对数函数的图 2022年I卷I卷第7题，5分 像与性质应用上，体现了逻 2022年浙江卷第7题，5分 辑推理与数学运算素养. 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】指数对数混合运算 【题型2】换底公式的应用 【题型3】 对数函数的图象及应用 【题型4】对数函数过定点问题 【题型5】指对幂比较大小 【题型6】解对数方程或不等式 【题型7】对数函数模型的实际应用 【题型8】对数型复合函数的单调问题 【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题 【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题 【题型11】反函数问题 【题型12】对数函数的综合问题 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】指数对数混合运算1、对数计算公式 （1）同底对数加减运算： ； （2）底数和真数是乘方数时： （3）对数恒等式： 1 log b= （4）倒数式： a log a b 2、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最 简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真 数的积、商、幂再运算. (3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算 中应注意互化. 1．化简下列各式： (1) ； (2) . 【巩固练习1】化简 的值为（ ） A． B． C． D．-1 【巩固练习2】求值 （1） （2） （3）（4） 【题型2】换底公式的应用 log b 换底公式： log b= c (a＞0，且a 1；c＞0，且c 1；b＞0)． a log a c ¿ ¿ 2．已知 ， ，则 （用 ， 表示） 3．已知 ， ，则 .（用 表示） 4．已知 ，则 ． 【巩固练习1】设 ， ， （1）用含 ， 的式子表示 ，形式为___________. （2）用含 ， 的式子表示 ，形式为___________. 【巩固练习2】设 ，求 的值．【题型3】 对数函数的图象及应用 对数函数的图象（底大图低） a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 性质 当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0； 函数值的变化 当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、 平移、对称等变换得到，当 时，对数函数的图像呈上升趋势；当 时，对数函数的图 像呈下降趋势. 5．已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列 不等关系正确的是（ ） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 6．函数 的图象是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)【巩固练习1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 的大致图象 不可能为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 （ 且 ， ， 为常数）的图象如图，则下列结 论正确的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【巩固练习3】已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为 . 【题型4】对数函数过定点问题 对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0； 函数 过定点8．函数 ( 且 )的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则 的最小值为（ ）． A． B． C．3 D． 【巩固练习1】已知函数f(x)=1+log (2x−3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=（ ） a A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】已知直线 经过函数 图象过的定点（其中 均大于 0），则 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习3】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则 的最小值为（ ） A．9 B．8 C． D． 【题型5】指对幂比较大小 1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1 例1： 和 （倍数一致） 简析： ； ，由图像可知 例2： 和 （差一致） 简析： ； ，由图像可知10．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 11．设 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【巩固练习3】已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【巩固练习4】设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【题型6】解对数方程或不等式 【方法技巧】 （ 1 ） 对 于 形 如 的 形 式 ， 利 用 转 化 ； 对 于 形 如 的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. （2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这 个不等式即可． 12．方程 的解为________ 13．设 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D． ， 14．不等式 的解集为 ． 【巩固练习1】方程 的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 【巩固练习2】已知 ，则 的值为____． 【巩固练习3】若实数x满足不等式 ，则实数x的取值范围是______． 【巩固练习4】已知实数 ，且满足不等式 ，则不等式 的解 集为________． 【题型7】对数函数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代 入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 15．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠 起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据： ．） 16．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超 过 ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少 ．那么此 人在开车前至少要休息 （参考数据： ， A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时 【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度 可由公式： 求得．其中 是一个随着物体与空气的接触 状况而定的大于0的常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是 ，则 约等于 （参考数据： A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 【巩固练习2】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（ ， ， ） 【巩固练习3】我们可以把 看作每天的"进步”率都是1%，一年后是 ；而把 看作每天的“落后”率都是1%，一年后是 .利用计算工具计算并回答下列问题： （1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？ （2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 【题型8】对数型复合函数的单调问题 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 17．函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 18．若函数 在区间 上是单调增函数，则实数a的取值范围是___． 【巩固练习1】函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 在定义域上是增函数，则 k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 .【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题 对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的 问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的 构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与 化归思想的应用. 19．函数 的最小值是（ ）． A．10 B．1 C．11 D． 20．已知函数 的最大值为2，则 ． f xlg  x21  ,x1,3 f x 【巩固练习1】已知函数 ，则 的值域为（ ） 0, 0,1 lg2,1 0,1 A． B． C． D． 【巩固练习2】若函数 的最大值为0，则实数a的值为___________. 【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值 或最小值，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题 常见指对型函数奇偶模型 （1）（2） （3） （4） （ 5 ） 是 偶 函 数 ， 如 ， 21．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 22．函数 的部分图像大致为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ． (1)求 ；(2)解不等式 ．f(x)log (4x1)kx,xR 【巩固练习2】设函数 2 为偶函数． y f(x) f(2x1) f(x1) (1)求k的值；(2)写出函数 的单调性（不需证明），并解不等式 ． 【题型11】反函数问题 指数函数 （a>0且a≠1）与对数函数 （a>0且a≠1）互为反函数 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 和方程 的根分别为 ，设函 数 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 和 的图象与直线 交 点的横坐标分别为 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知 ， 分别是关于 的方程 ， 的根，则下面为定值2023的是（ ） A． B． C． D． E．均不是【题型12】对数函数的综合问题 1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内 层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规 律求解． 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，再利用数形结合的方法来解决． 24．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】设定义域为R的函数 ，若关于x的方程 有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .