文档内容
热点专题 2-4 指数与指数函数
近3年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新高考I卷，第6题,5
分 从近五年的高考情况来看，指
2024年北京卷，第7题,5分 数运算与指数函数是高考的一
个重点也是一个基本点，常与
2023年新高考I卷第4题，5分 幂函数、二次函数 、对数函 （1）指数幂的运算性质
数、三角函数综合，考查数值 （2）指数函数的图像与
2023年乙卷第4题，5分
大小的比较和函数方程问题.在 性质
利用指数函数的图像与性质应
2022年甲卷第12题，5分
用上，体现了逻辑推理与数学
2020年新高考II卷第11题，5 运算素养.
分
模块一
【题型1】指数幂的运算
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
指数与根式的概念
1、n次方根的定义
（1）定义：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且
（2）偶次方根的被开方数热要点为题非型负解数读（目录）
2、根式
（1）定义：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）性质：（ ，且 ）
a；
3、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一
种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如 有意义，但 就没有意义．
5、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
6、实数指数幂的运算性质
① ．
② ．
③ ．
1．（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【解析】（1）原式
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【巩固练习1】化简或求值：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） （ 且 ）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式= .
（2）
=21.
（3）
.
（4） .
【巩固练习2】已知 ，求下列各式的值.
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将 两边平方，得 ，
所以 ．
（2）将 两边平方，得 ，
所以 ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
1 1
【巩固练习3】计算(−64)3+[(−3) 4 ]4−(√2−1) 0+ √ 33 3 =（ ）
8
13 11 1 1
A．− B．− C．− D．
2 2 2 2
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【 解 答 过 程 】
(−64)3 1 +[(−3) 4 ]4 1 −(√2−1) 0+ √ 33 3 =(−43 )3 1 +(34 )4 1 −1+[( 3 ) 3 ]3 1 =−4+3−1+ 3 =− 1 .
8 2 2 2
故选：C.
【题型2】 指数函数过定点问题
指数函数图象都经过点 ， 恒过定点 ．
2．已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】令 ，得 ，则 .
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 .
【巩固练习1】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 等于 .
【答案】2
【解析】由 ，即 ，得 ，所以 ，所以
【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线 上，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】函数 且 的图象过定点 ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
则
令 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是 .
【题型3】求指数函数的解析式
y y
图
a (1,a)
象 1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性
③ ，即 时， 等于底数质 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
3．已知 是指数函数，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】设 ，
因为 ，即 ，解得 ，所以 ，即 ．
【巩固练习1】已知函数 ，若 为偶函数，且在 是增函数，求
的解析式
【答案】
【解析】 在 上增函数， ，解得
又 , ，
由 为偶函数知 ， ；
【巩固练习2】已知函数 是奇函数，且当 时， ，那么当 时，
的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，则 ，所以 ，
又因为函数 是奇函数，所以 ，
所以当 时 ．
【题型4】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称
等变换得到，当 时，指数函数 的图像呈上升趋势；当 时，指数函数 的
图像呈下降趋势.4．（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又不
与该直线相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 图象过原点，所以 ，
得 ，又该函数图象无限接近直线 ，且不与该直线相交，
所以 ，则 ，所以 .
5．函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：
， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】C
【解析】直线 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而 ，
所以a，b，c，d的值分别是 ， ， ， ，故选：C.
【巩固练习1】函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D【解析】由函数 的图像可知，
函数 在定义域上单调递减，
，排除AB选项；
函数 图像是由 向左平移所得，
， .故D选项正确.
【巩固练习 2】若函数 的图象如图所示，且 ，则实数 ， 的值可能为
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由函数 的图像，可得函数 为单调递增函数，所以 ，
又由 ，可得 ，可得 ，
结合选项，只有C项适合.故选：C.
【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数 ， ， ， 的图像，则实
数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C． ； D． ．【答案】B
【解析】作出直线 ，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以 ，故选：B
【题型5】比较指数幂的大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来
比较．
6．若 ，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故选：A
7．（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a0.51.1>0.41.1，
又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10=1，
综上可得：b
