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热点专题 2-4 指数与指数函数
近3年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新高考I卷，第6题,5
分 从近五年的高考情况来看，指
2024年北京卷，第7题,5分 数运算与指数函数是高考的一
个重点也是一个基本点，常与
2023年新高考I卷第4题，5分 幂函数、二次函数 、对数函 （1）指数幂的运算性质
数、三角函数综合，考查数值 （2）指数函数的图像与
2023年乙卷第4题，5分
大小的比较和函数方程问题.在 性质
利用指数函数的图像与性质应
2022年甲卷第12题，5分
用上，体现了逻辑推理与数学
2020年新高考II卷第11题，5 运算素养.
分
模块一
【题型1】指数幂的运算
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
指数与根式的概念
1、n次方根的定义
（1）定义：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且
（2）偶次方根的被开方数热要点为题非型负解数读（目录）
2、根式
（1）定义：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）性质：（ ，且 ）
a；
3、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一
种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如 有意义，但 就没有意义．
5、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
6、实数指数幂的运算性质
① ．
② ．
③ ．
1．（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【解析】（1）原式
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【巩固练习1】化简或求值：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） （ 且 ）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式= .
（2）
=21.
（3）
.
（4） .
【巩固练习2】已知 ，求下列各式的值.
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将 两边平方，得 ，
所以 ．
（2）将 两边平方，得 ，
所以 ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
1 1
【巩固练习3】计算(−64)3+[(−3) 4 ]4−(√2−1) 0+ √ 33 3 =（ ）
8
13 11 1 1
A．− B．− C．− D．
2 2 2 2
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【 解 答 过 程 】
(−64)3 1 +[(−3) 4 ]4 1 −(√2−1) 0+ √ 33 3 =(−43 )3 1 +(34 )4 1 −1+[( 3 ) 3 ]3 1 =−4+3−1+ 3 =− 1 .
8 2 2 2
故选：C.
【题型2】 指数函数过定点问题
指数函数图象都经过点 ， 恒过定点 ．
2．已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】令 ，得 ，则 .
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 .
【巩固练习1】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 等于 .
【答案】2
【解析】由 ，即 ，得 ，所以 ，所以
【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线 上，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】函数 且 的图象过定点 ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
则
令 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是 .
【题型3】求指数函数的解析式
y y
图
a (1,a)
象 1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性
③ ，即 时， 等于底数质 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
3．已知 是指数函数，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】设 ，
因为 ，即 ，解得 ，所以 ，即 ．
【巩固练习1】已知函数 ，若 为偶函数，且在 是增函数，求
的解析式
【答案】
【解析】 在 上增函数， ，解得
又 , ，
由 为偶函数知 ， ；
【巩固练习2】已知函数 是奇函数，且当 时， ，那么当 时，
的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，则 ，所以 ，
又因为函数 是奇函数，所以 ，
所以当 时 ．
【题型4】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称
等变换得到，当 时，指数函数 的图像呈上升趋势；当 时，指数函数 的
图像呈下降趋势.4．（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又不
与该直线相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 图象过原点，所以 ，
得 ，又该函数图象无限接近直线 ，且不与该直线相交，
所以 ，则 ，所以 .
5．函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：
， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】C
【解析】直线 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而 ，
所以a，b，c，d的值分别是 ， ， ， ，故选：C.
【巩固练习1】函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D【解析】由函数 的图像可知，
函数 在定义域上单调递减，
，排除AB选项；
函数 图像是由 向左平移所得，
， .故D选项正确.
【巩固练习 2】若函数 的图象如图所示，且 ，则实数 ， 的值可能为
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由函数 的图像，可得函数 为单调递增函数，所以 ，
又由 ，可得 ，可得 ，
结合选项，只有C项适合.故选：C.
【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数 ， ， ， 的图像，则实
数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C． ； D． ．【答案】B
【解析】作出直线 ，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以 ，故选：B
【题型5】比较指数幂的大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来
比较．
6．若 ，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故选：A
7．（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【解答过程】因为指数函数y=0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50=1，
又由幂函数y=x1.1在(0,+∞)上单调增函数，所以1=11.1>0.51.1>0.41.1，
又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10=1，
综上可得：b<a<c
【巩固练习1】（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 .
【巩固练习2】设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上单调递增， 在 上单调递减
所以 ，故 .故选：B
【巩固练习3】已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是减函数， ，所以 ，
又 ，∴ ．故选：C．
【题型6】解指数方程或不等式
简单指数不等式的解法
1、形如 的不等式，可借助 的单调性求解2、形如 的不等式，可将 化为以 为底数的指数幂的形式，再借助 的单调性求解
3、形如 的不等式，可借助两函数 ， 的图象求解
8．（2024·河北邯郸·一模）不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由 ，可得 .
令 ，
因为 均为 上单调递减函数
则 在 上单调递减，且 ，
，
故不等式 的解集为 .
【巩固练习1】若x满足不等式 ，则函数 的值域是（ ）
1 1 1
A．[ ，2) B．[ ，2] C．(−∞， ] D．
8 8 8 [2，+∞)
【答案】B
【解析由 可得 ，
因为 在 上单调递增，所以 即 ，解得： ，
所以 ，即函数 的值域是 ，故选：B.
【巩固练习2】已知函数 ，那么不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】已知函数 ，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式 等价于
【巩固练习3】不等式 的解集为 ．
【答案】【解析】不等式 ，可化为 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【题型7】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
9．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，在 单调递增，在 单调递减，
在 单调递增，
根据“同增异减”可得，函数 的单调递减区间是 .故选：A.
10．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设 ， ，则 在 上单调递增.
因为 在区间 内单调递减，所以函数 在区间 内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得： ，解得 4.
11．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 单调递减，所以 ，解得 ．
【巩固练习1】函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：
的单调递减区间为 .故选：D
【巩固练习2】已知函数 ，若 在 上减函数，求 的取值范围．
【答案】{ 或 且 }.
【解析】若 在 上减函数，则 ，
解得 或 ，
即 的取值范围是{ 或 且 }．
【巩固练习3】（2023·重庆巴蜀中学高一校考）已知函数 在 上单
调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令 , 则 ，
当 时， 单调递增，且 ，当 时， ，当 时单调递增，
则函数 在 上单调递增，符合题意；
当 时， 的对称轴为 ，
由题意 ，
当 时， 表示开口向下的抛物线，对称轴为 ，
在 上单调递减，不符合题意，综上， .
【题型8】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
12．函数 ， 的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，则 ，
故选：A.
【巩固练习1】函数 的值域是 .
【答案】
【解析】依题意， ，当且仅当 时取等号，而函数 在R上单
调递减，
因此 ，
所以函数 的值域是 .
【巩固练习2】已知函数 ， ，则函数 的值域为（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 ， ，
令 ，则 在 上单调递增，即 ，
于是有 ，当 时， ，此时 ， ，
当 时， ，此时 ， ，
所以函数 的值域为 .故选：B
【巩固练习3】函数 在 上的值域为___________.
【答案】
【解析】 ，∵ 则令
在 递增，∴
【题型9】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质
的衰变等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
13．心理学家有时用函数 来测定人们在时间 内能够记忆的单词量 ，其中
表示记忆率.心理学家测定某学生在 内能够记忆50个单词，则该学生在 从能记
忆的单词个数为（ ）
A．150 B．128 C．122 D．61
【答案】C
【分析】根据已知可求出 ，再代入 即可求出.
【详解】由题可得 ，则 ，所以 ，
即该学生在 从能记忆的单词个数为122.
14．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时
间被称做半衰期，记为 （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别
为 ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，
则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出
等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为： ，乙的质量为： ，
由题意可得 ，
所以 ．
【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）近似满
足函数关系 （ ， 为常数， 为自然对数底数），若该果蔬在 的保鲜时间为216小时，
在 的有效保鲜时间为8小时，那么在 时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时.
【答案】
【分析】根据已知条件求得 ，进而求得正确答案.
【详解】依题意 ，两式相除得 ，
则 ，
所以当 时， 小时.【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到 个．已知
经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据指数式的运算求解.
【详解】由题可知，，所以 ，
经过 天，数量变为原来的16倍，即 ，
则有 ，解得
【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么
后物体的温度 （单位： ）可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空
气的接触情况而定的正常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度
是 ．要使物体的温度变为 ，还要经过 分钟．
【答案】120
【分析】先把现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是 代入公式
，再列出此物体的温度变为 时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可
求得要使物体的温度变为 ，还要经过的时间.
【详解】∵现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是 ，
∴ ，即 ①，
要使物体的温度变为 ，则 ，即 ②，
联立①②， ，解得 ，
故还要经过 分钟．
【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内
层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规
律求解．
15．已知函数 为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.
【答案】
【解析】由于 是定义在R上的奇函数，
所以 ，所以 ，
由于 是奇函数，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
16．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的
值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以当 时，函数为增函数，当 时，函数为减函数，
因为 ，
所以 ，故 .
17．已知函数 是奇函数，且 .(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 是奇函数 ，
经检验当 时， 是奇函数符合题意，
又 或 （舍），
；
（2） ，
即 ，
又 ，故 恒成立，
令 ，因为 ，故 ，由对勾函数性质可得 在 上单调递减，
.
【巩固练习1】已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 ， 的值；
(2)若存在 ，使 成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】（1）由 及 即可求解；
（2）求出函数 的单调性，不等式可转化为 ，根据二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，又因为 ，
所以 将 代入，解得 ，
经检验符合题意，所以， ， .
（2）由（1）知：函数 ，
所以函数 在 上是减函数.因为存在 ，使 成立，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以不等式可转化为 ，
又因为函数 在 上是减函数，所以 ，
所以 ，令 ，
题意可知：问题等价转化为 ，
又因为 ，所以 ,故 的取值范围为 .
【巩固练习2】已知函数 在区间 上有最小值2和最大值10．
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的对称轴为 ，因为 ，
所以在区间 上最小值为 ，最大值为 ，
故 解得 ．
（2）由（1）可得 ，所以 可化为 ，
化为 ．令 则 ，
因为 ，故 ，记 ，
故 ，所以实数 的取值范围是 ．
【巩固练习3】已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是 .【答案】
【解析】当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， 为增函数，
所以 时， 取得最大值 ，
∵对 ，使得 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
【 巩 固 练 习 4 】 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ， 满 足 不 等 式
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可令 ，且 是 上的增函数并关于点 成中心对称，将
不等式变形即可求得 ，解得 .
【详解】易知函数 在 上为单调性递增，
即可得 是 上的增函数，
令 ，则 是 上的增函数，
易知 ，可得 ,
即 的图象关于点 成中心对称，
由 可得 ，
即 ，由 可得 ；
所以 ，利用 是 上的增函数可得 ，
解得 .
即 的取值范围是 .
【题型11】指数函数的综合性问题
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.18．已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 ．
【答案】2或
【解析】因为 是奇函数，所以 ，
解得 ，即 ．
当 时，函数 在 上单调递增，则 ，解得 ．
当 时，函数 在 上单调递减，则 ，解得 ．
故答案为：2或
19．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值.
【解析】（1）函数 是定义域为 的偶函数，
可得 ，即为 ，
化为 ，
由 ，可得 ，即 ；
（2） ，
设 ，由 ， 递增，可得 ，
设 ，对称轴为 ，
当 时， 在 , 递增，可得 的最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 时， 在 处取得最小值，且为 ，
解得 舍去）
【巩固练习1】已知函数 ，且 ，若函数 在[0，2]上的最大值比最
小值大 ，则 的值为 .
【答案】 或【解析】①当 时，函数 在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数.
∵ ，∴函数的最大值为 ，而 ，∴函数 的
最小值为 ，
∴ ，解得 ，符合题意.
②当 时，函数 在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数.
∵ ，
∴函数 的最大值为 ，而 ， ，
当 时， ，此时函数 的最小值为 ，因此有 ，无解；
当 时， ，此时函数 的最小值为 ，因此有 ，解得
，符合题意.
综上所述，实数 的值为 或 .
【巩固练习2】已知函数 在 处取得最小值 .
(1)求 ， 的值；
(2) ，求函数 ， 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应
的 值.
【解析】（1）因为 在 处取得最小值 ，
即 ， ，解得 ， ；
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 ，
令 ，∵ ，则 ，
则 ， ，
由对勾函数的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时 即 ，解得 ；又 ， ，
当 时，即 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时，
