文档内容
专题 2-3 幂函数与二次函数，方程与不等式
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2020年天津卷第3题，5分 从近五年全国卷的考查情况来
看，本节内容很少单独命题， （1）幂函数的定义、图
2020年江苏卷第7题，5分
幂函数要求相对较低, 常与指 像与性质
2024年天津卷：第2题，5分 数函数、对数函数综合，比较 （2）三个二次之间的关
幂值的大小，多以选择题、填 系
2024年上海卷：第3题，5分
空题出现.
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】幂函数的定义及图像
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
【题型4】三个“二次”关系的应用
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
【题型6】解含参一元二次不等式
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
【题型12】一元二次方程根的分布
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】幂函数的定义及图像
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，
幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.1．（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数 是幂函数，则实数m的值可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】 是幂函数，则 ，解得 或 .
【巩固练习1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为 ，由于函数过点 ，故 ，解得 ，该幂函数的解
析式为 ；
故选：B
【巩固练习2】已知函数 为幂函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意有 ，可得 ，其定义域为R，
且 ，则函数 为奇函数，
所以 .
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握
各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，而 ，
所以a，b，c的大小关系为 .
【巩固练习1】设 ，则 大小关系是 .
【答案】
【解析】因为 在 单调增，
所以 ，即 ，
因为 在 单调减，
所以 ，即 综上， .
【巩固练习2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设
a=f (20.3)，b=f (0.32)，c=f (log 0.3)，则a，b，c的大小关系是（ ）
2
A．b0的解集满足（ ）
( 5 ]
A．(−2,4] B．(−3,5] C． − ,2 D．(−2,2]
2
【分析】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的
单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为函数f (x)=x3+(a−2)x2+2x+b在[−2c−1,c+3]上为奇函数,
所以−2c−1+c+3=0，解得c=2，又f (−x)=−f (x)，
即−x3+(a−2)x2−2x+b=−x3−(a−2)x2−2x−b，所以2(a−2)x2+2b=0，解得¿，解得¿，
所以f (x)=x3+2x，x∈[−5,5]，
由y=x3与y=2x在定义域[−5,5]上单调递增，所以f (x)在定义域[−5,5]上单调递增，
则不等式f(2x+1)+f (a+b+c)>0，即f (2x+1)+f (4)>0，等价于f (2x+1)>f (−4)，
5 ( 5 ]
所以¿，解得− 0的解集是（ ）
A．(−2,1) B．(−∞,−2)∪(1,+∞) C．[−2,1] D．
(−∞,−2]∪[1,+∞)
【分析】本题可根据图像得出结果.
【解析】结合图像易知，不等式ax2+bx+c>0的解集(−2,1)
【巩固练习1】不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 的解集为 ，
所以方程 的两根分别为 和1，且 ，
则 变形可得
故函数 的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为 和 ，故A选项的图象符合.故选：A
【巩固练习2】关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
a=（ ）
A． B． C． D．
【分析】看问题：求实数a的值．（属于求值问题）
想方法：寻找等量关系建立关于所求量的方程，利用方程思想求解，
看条件： 的解集为 ，且 ，
定措施：由题意知 是方程 的两根，根据韦达定理及 建关于a
方程去求值。
【答案】A
【 解 析 】 因 为 关 于 x 的 不 等 式 的 解 集 为 ， 所 以
，又 ，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 .
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
5．已知关于x的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的
解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】因为关于x的一元二次不等式 的解集为 ，
所以 且方程 的解为 ，所以 ，所以 ，
则不等式 ，即为不等式 ，
则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D.
6．（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
或 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．
【答案】AC
【解析】关于 的不等式 的解集为 ，
所以二次函数 的开口方向向上，即 ，故A正确；
且方程 的两根为 、4，
由韦达定理得 ，解得 .
对于B， ，由于 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 ，故B不正确；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
对于D， ，故D不正确.
【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式 的解集为或 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 的解集为
【答案】ABD
【解析】因为不等式 的解集为 或 ，则 ， 是方程 的
两根，则 ，解得 ，故A正确，C错误；
因为 ，故B正确；
不等式 可以化简为 ，解得 ，故D正确；
故选：ABD
【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式 的解集是
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】因为不等式 的解集是 ，
可得 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数 的两个零点为 ，且图像开口向下，
所以当 时， ，所以B正确．
【题型6】解含参一元二次不等式对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察
解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对
判别式分类讨论，分类要不重不漏
7．解关于 的不等式： .
【解析】不等式 ，即 ，
当 时，原不等式即 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 时，解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
当 时，解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
综上可得：当 时不等式的解集为 ，
当 时不等式的解集为 或 ，
当 时不等式的解集为 或 .
ax2 −(4a+1)x+4>0
8．解关于x的不等式 .
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知， 可化为
（1）当 时，不等式化为 ，解得 ，
（2）当 时，不等式化为 ，解得 ，
（3）当 时，不等式化为 ，解得 或 ，
（4）当 时，不等式化为 ，解得 ，
（5）当 时，不等式化为 ，解得 或 ，
综上所述， 时，不等式的解集为
时，不等式的解集为 ；
时，不等式的解集为 ；
时，不等式的解集为 ；
时，不等式的解集为 ;
【巩固练习1】解不等式【解析】即 ，
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【巩固练习2】当 时，解关于 的不等式 .
【解析】当 时，代入不等式可得 ，解得 ；
当 时，化简不等式可得 即 ，
由 得不等式的解为 ，
当 时，化简不等式可得 即 ，
由 得不等式的解为 或 ，
综上可知，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 或 .
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
9．已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为函数 在区间 上是增函数，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【巩固练习1】函数 的单调递增区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，令 ，即 或 ，
根据二次函数性质知： 在 上递减，在 上递增
又 在定义域上递增，故 的单调递增区间为 .
【巩固练习2】函数 在 上单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
则 或 或 或
解得 或 ，即实数m得取值范围为 .
【巩固练习3】若函数 在区间 上有最大值，则实数a的取值范
围是 .
【答案】
【解析】令 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，作出函数 的大致图象，由于函数 在区间 上有最大值，
结合图象，由题意可得 ，解得 ，所以实数a的取值范围是
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
一元二次不等式在R上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.
方法是通过二次函数的图像来理解.
1.若ax2+bx+c>0恒成立，则 a >0 ， Δ<0 ；
2.若ax2+bx+c<0恒成立，则 a <0 ， Δ<0 ；
3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0.
xR x x2axa0
10．（多选） ，关于 的不等式 恒成立的一个必要不充分条件是（ ）A．a10 B．0a4
1
0a
C． D．
a2 2
【答案】AC
【分析】由xR，关于x的不等式x2axa0恒成立得Δ0，求得a的取值范围，然后根据
充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案．
【详解】xR，关于x的不等式x2axa0恒成立，则a24a0，解得0a4．
对于A，因为
a|0a4
a|a10
，符合题意，故A正确；
对于B，是充要条件，故B错误；
对于C，因为
a|0a4
a|a2
，符合题意，故C正确；
1
对于D，因为当 时，0a 不一定成立，不符合题意，故D错误
0a4 2
【巩固练习1】若关于x的不等式 对 恒成立，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对 分类讨论即可得a的取值集合．
【详解】当 时，不等式 化为 对 恒成立；
当 ，要使得不等式 对 恒成立，则 ，解得
综上，a的取值集合为
【巩固练习2】已知函数 ，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取
值范围是________
【答案】
【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答.
【详解】当 时， 恒成立，则 ；
当 时，依题意，二次函数 的图象总在x轴下方，
于是 ，解得 ，则
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题
参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,
，使得 ，等价于 ， ，使得 ，等价于
11．当 时，关于x的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】参变分离得 ，再利用基本不等式求 的最小值即可得答案．
【详解】关于x的不等式 恒成立
即 ， 时恒成立，
，
又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立， ．
【巩固练习1】若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】将不等式 在 上有解，转化为不等式 在 上有解
求解.
【详解】因为不等式 在 上有解，
所以不等式 在 上有解，
令 ，则 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是【巩固练习2】若不等式 在 时不等式恒成立，则实数 的取值范围为
________；若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为________.
【答案】 ,
【解析】首先分离参数可得 ，然后结合对勾函数的性质求得 ，从而可确定 的取值
范围．
【详解】（1）因为不等式 ，所以 在区间 上恒成立， ，
当x=1时取等号，故
（2）不等式 对一切 恒成立，
由对勾函数的性质可知函数 在区间 上单调递增，
且当 时， ，所以
故实数 的取值范围是 ．
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数
的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。
12．已知 时，不等式 恒成立，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意构造函数关于a的函数 ，则可得 ，从而可求出
x的取值范围．
【详解】由题意，因为当 ，不等式 恒成立，
可转化为关于a的函数 ，
则 对任意 恒成立，则满足 ，
解得 ，
即x的取值范围为
【巩固练习1】若不等式 对任意 恒成立，实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】把题意转化为 ，设 ，由一次函数的单调性列
不等式组，即可求解．
【详解】 可转化为 ．
设 ，则 是关于m的一次型函数．
要使 恒成立，只需 ，解得 ．
【巩固练习2】函数 ，若 恒成立，则实数x的取值范围是
．
【答案】
【分析】采用变换主元的策略，看作关于 的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求
解即可．
【详解】令 ，当 时， 恒成立，
只需 即 解得 或 ．
所以实数x的取值范围是 ．
故答案为：
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
13．已知命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
答案：A
【分析】先求出命题为真时实数 的取值范围，即可求出命题为假时实数 的取值范围.
【详解】若“ ， ”是真命题，
即判别式 ，解得： ，
所以命题“ ， ”是假命题，
则实数 的取值范围为： .
【巩固练习1】若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】将不等式 在 上有解，转化为不等式 在 上有解
求解.
【详解】因为不等式 在 上有解，
所以不等式 在 上有解，
令 ，则 ，
所以 ，所以实数 的取值范围是
【巩固练习2】已知命题 ：“ ，使得 成立”是真命题，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】利用分离参数法得 ，只需求出不等式右边的最大值即可．【详解】 ， ，
设 ， 对称轴为 ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，
， ，使得 成立，
， ， ，故
【题型12】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般
考虑以下几方面：
1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成
立）
3. 判定△符号.
4. 判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去
分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在 上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根 ;
②方程有两个相等的实数根 ;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根 ；②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程 的根的“ ”分布
①两根都小于 ；
②两根都大于
③一根小于 ，一根大于
（4）一元二次方程根 在区间的分布
①两根都在 内
②两根都在 外
③两根仅有一根在 内④一根在 内,另一根在 内
类型一 ：根的“0”分布
14．关于x的方程 至少有一个负实根，求 的取值范围．
【解析】①当 时，解得 ，满足条件；
②当 时，显然方程没有零根，
由 ，得
设方程的两个实数根为
若方程有两异号实根，则 ，解得 ；
若方程有两个负的实根，则 ，解得 ．
综上，若方程 至少有一个负的实根，则 ．
【巩固练习】已知二次方程(2m+1)x2−2mx+(m−1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
解析
方法一：
当2m+1>0时，若要满足题意，必须f (0)<0；
当2m+1<0时，若要满足题意，必须f (0)>0；
1
即(2m+1)f (0)<0⇔(2m+1)(m−1)<0，解得− 0
1
m−1 ，解得− C．−10
{
1>0
∴ f(1)<0，∴ 2−2a<0 ，
f(3)>0 10−6a>0
5 5
∴1
