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热点专题 2-4 指数与指数函数
近3年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新高考I卷，第6题,5
分 从近五年的高考情况来看，指
2024年北京卷，第7题,5分 数运算与指数函数是高考的一
个重点也是一个基本点，常与
2023年新高考I卷第4题，5分 幂函数、二次函数 、对数函 （1）指数幂的运算性质
数、三角函数综合，考查数值 （2）指数函数的图像与
2023年乙卷第4题，5分
大小的比较和函数方程问题.在 性质
利用指数函数的图像与性质应
2022年甲卷第12题，5分
用上，体现了逻辑推理与数学
2020年新高考II卷第11题，5 运算素养.
分
模块一
【题型1】指数幂的运算
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
指数与根式的概念
1、n次方根的定义
（1）定义：一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中 ，且
（2）偶次方根的被开方数要为非负数
热点题型解读（目录）
2、根式
（1）定义：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）性质：（ ，且 ）
a；
3、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一
种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如 有意义，但 就没有意义．
5、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
6、实数指数幂的运算性质
① ．
② ．
③ ．
1．（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【巩固练习1】化简或求值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） （ 且 ）.
【巩固练习2】已知 ，求下列各式的值.
（1） ； （2） ； （3） .
1 1
【巩固练习3】计算(−64)3+[(−3) 4 ]4−(√2−1) 0+ √ 33 3 =（ ）
8
13 11 1 1
A．− B．− C．− D．
2 2 2 2
【题型2】 指数函数过定点问题
指数函数图象都经过点 ， 恒过定点 ．
2．已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 .
【巩固练习1】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 等于 .
【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直
线 上，则 的最小值是 .【题型3】求指数函数的解析式
y y
图
a (1,a)
象 1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
性
③ ，即 时， 等于底数
质
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
3．已知 是指数函数，若 ，则 ___________.
【巩固练习1】已知函数 ，若 为偶函数，且在 是增函数，求
的解析式
【巩固练习2】已知函数 是奇函数，且当 时， ，那么当 时，
的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【题型4】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称
等变换得到，当 时，指数函数 的图像呈上升趋势；当 时，指数函数 的图像呈下降趋势.
4．（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又不
与该直线相交，则 （ ）
A． B． C． D．
5．函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：
， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
【巩固练习1】函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【巩固练习 2】若函数 的图象如图所示，且 ，则实数 ， 的值可能为
（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数 ， ， ， 的图像，则实
数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C． ； D． ．
【题型5】比较指数幂的大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来
比较．
6．若 ，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【巩固练习1】（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（
）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】解指数方程或不等式
简单指数不等式的解法
1、形如 的不等式，可借助 的单调性求解
2、形如 的不等式，可将 化为以 为底数的指数幂的形式，再借助 的单调性求解
3、形如 的不等式，可借助两函数 ， 的图象求解
8．（2024·河北邯郸·一模）不等式 的解集为 .
【巩固练习1】若x满足不等式 ，则函数 的值域是（ ）
1 1 1
A．[ ，2) B．[ ，2] C．(−∞， ] D．
8 8 8 [2，+∞)
【巩固练习2】已知函数 ，那么不等式 的解集为__________．
【巩固练习3】不等式 的解集为 ．【题型7】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
9．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 ，若 在 上减函数，求 的取值范围．
【巩固练习3】（2023·重庆巴蜀中学高一校考）已知函数 在 上单
调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【题型8】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
12．函数 ， 的值域是( )
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数 的值域是 .
【巩固练习2】已知函数 ， ，则函数 的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【巩固练习3】函数 在 上的值域为___________.
【题型9】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质
的衰变等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
13．心理学家有时用函数 来测定人们在时间 内能够记忆的单词量 ，其
中 表示记忆率.心理学家测定某学生在 内能够记忆50个单词，则该学生在 从能
记忆的单词个数为（ ）
A．150 B．128 C．122 D．61
14．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时
间被称做半衰期，记为 （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，
则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）近似满
足函数关系 （ ， 为常数， 为自然对数底数），若该果蔬在 的保鲜时间为216小时，
在 的有效保鲜时间为8小时，那么在 时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时.
【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到 个．已知
经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么
后物体的温度 （单位： ）可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空
气的接触情况而定的正常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，60分钟以后物体的温度
是 ．要使物体的温度变为 ，还要经过 分钟．
【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内
层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规
律求解．
15．已知函数 为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.
16．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的
值为（ ）
A．1 B． C． D．0
17．已知函数 是奇函数，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【巩固练习1】已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 ， 的值；
(2)若存在 ，使 成立，求 的取值范围．
【巩固练习2】已知函数 在区间 上有最小值2和最大值10．
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．【巩固练习3】已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是 .
【 巩 固 练 习 4 】 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ， 满 足 不 等 式
，则 的取值范围是 ．
【题型11】指数函数的综合性问题
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
18．已知奇函数 在 上的最大值为 ，则 ．
19．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值.
【巩固练习1】已知函数 ，且 ，若函数 在[0，2]上的最大值比最
小值大 ，则 的值为 .
【巩固练习2】已知函数 在 处取得最小值 .(1)求 ， 的值；
(2) ，求函数 ， 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应
的 值.
