文档内容
热点专题 2-6 函数与图像
近5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
基本初等函数的图像是高考中的
2024年全国甲卷第7题，5分
重要考点之一，是研究函数性质
2024年I卷第7题，5分 的重要工具．高考中总以一次函
数、二次函数、反比例函数、指
（1）函数图像的识别
2023年天津卷第4题，5分 数函数、对数函数、幂函数、三
角函数等的图像为基础来考查函 （2）函数图像的应用
2022年全国乙卷第8题，5分 数图像，往往结合函数性质一并
（3）函数图像的变换
考查，考查的内容主要有知式选
图、知图选式、图像变换以及灵
2022年全国甲卷第5题，5分
活地应用图像判断方程解的个
数，属于每年必考内容之一．
函数图象的应用很广泛,利用函数图象可研究函数的性质、解决方程和不等式的求解问题、求参数
范围等,同时也体现了数形结合的思想．有时利用函数图象能够更便捷地解决问题．函数图象应用
的考查在高考中占有重要地位,应引起师生重视．
模块一 题型解读
【题型1】由解析式确定函数图像
【题型2】由函数图像选择解析式
【题型3】函数图像与实际问题
【题型4】表达式含参数的图象
【题型5】函数图象的平移，伸缩，对称，翻折变换
【题型6】利用函数图像解不等式
【题型7】利用函数图像研究函数的性质、最值
【题型8】利用函数图像分析交点的个数
模块二 高考模拟·新题速递
【题型1】由解析式确定函数图像
按先后顺序进行排除筛选：先看奇偶性、定义域，再看特殊点的正负等，排除错误选项，从而筛选
出正确答案.1．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶函数的定义可判断A，C；由特值法可判断B，D.
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ， ，
所以函数 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为 ，排除选项B.
（另解：当 时， ，所以 ，排除选项B）．
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
【巩固练习1】函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案
即可.
【详解】由 且定义域 ，即 是偶函数，排除D；
当 时， ，即 ，此时 ，排除C；
当 趋向 时， 、 均趋向 ，但随 变大， 的增速比 快，
所以 趋向于 ，排除B.
【巩固练习2】当a>1时，在同一直角坐标系中，函数 与 的图像是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可知 ，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.
【详解】依题意可将指数函数 化为 ，由 可知 ；
由指数函数图象性质可得 为单调递减，且过定点 ，即可排除BD，
由对数函数图象性质可得 为单调递增，且过定点 ，排除C
【巩固练习3】函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再求函数的零点，以及函数值的正负，
运用排除法得解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以函数 的定义域关于原点对称，
又 ，
所以函数 为偶函数，
故函数 的图象关于 轴对称，B，C错误，排除B，C，
令 可得， 或 ，所以 或 ，
所以函数的非负零点从小到大依次为 ，
当 时， ，所以 ，D错误，排除D.
【题型2】由函数图像选择解析式
方法技巧
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
3．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该
函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.4．（2024·湖南·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当 时， ，
而对于D选项，当 时， ，故排除D.
5．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A， ，为奇函数，排除；
对于B， ，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 ，不是R，舍去，故D正确.【巩固练习1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的大致图象如图所示，则 的解
析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为 ，与图象不符，故A错误；
对于选项B：因为 ，与图象不符，故B错误；
对于选项C：因为 ，与图象不符，故C错误
【巩固练习2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可
能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】对于B，当 时， ，易知 ， ，
则 ，不满足图象，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，
又 ，则 的图象关于 轴对称，故C错误；
对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项A， 满足图中性质，故A正确.
【巩固练习3】（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除
A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，当 时， ，与图象不符，排除C.
【巩固练习4】（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证 的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断
D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，且 ，
对于A， ，为偶函数，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，为奇函数，当 时， ，
因为 ， 在 为单调递增函数，所以 在 单调递增，故C正确；
对于D，当 时， ， ，所以 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，故D错误
【题型3】函数图像与实际问题
方法技巧
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象；
（5）根据图象的变化趋势，设置分段函数节点
6．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药 小时后每毫升血液中的含药量 （毫
克）与时间 （小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于
4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
【答案】A
【分析】首先求出函数解析式，再令 求出相应的 的取值范围，即可得解．
【详解】当 时，则 ，
当 时，设函数为 ，
将 ， 代入可得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
要使 ，则 或 ，解得 或 ，
综上所述： ，
所以有效所持续的时长为 个小时．
【巩固练习1】（2024·山东·二模）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿
运动， 表示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数
的大致图像是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 ， ， 求出解析式，然后可知图象.
【详解】当 时， ，是一条过原点的线段；
当 时， ，是一段平行于 轴的线段；
当 时， ，图象为一条线段.
【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 在边长为1的正方形边上运动， 是
的中点，当点 沿 运动时，点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图
象的形状大致是（ ）
A． B． C． D．E．均不是
【答案】A
【解析】当点 在 上时， ，
当点 在 上时，
，
当点 在 上时， ，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
【题型4】表达式含参数的图象
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，
以得出正确选项．
7．（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般
好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函
数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数 （ 且 ）的图像的大致形状可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】按 和 分类，结合指数函数图象判断即得.
【详解】当 时，函数 在 上单调递减，当 时， 在 上递增， ，当 时， 在 上递减， ，A不满足，D符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增，当 时， 在 上递减， ，
当 时， 在 上递增， ，C不满足，B符合题意.
8．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同一
直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四象限且递
增，故A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且 ，则
.
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，显然C
项不符合，B, D项均符合.
600
9．设 为常数，若 ，则函数 的图象必定不经过第 象限
【答案】二
【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【详解】已知600 ,
则指数函数 单调递增，过定点 ，且 ，
函数 的图象是由函数函数 向下平移 个单位，
作出函数 的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.【巩固练习1】（多选）函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定 的正负，再观察幂函数图象判断即得.
【详解】对于A，二次函数开口向上，则 ，此时存在 与图中符合，如 ，A可能；
对于B，二次函数开口向下，则 ，此时存在 与图中符合，如 ，B可能；
对于C，二次函数开口向上，则 ，此时存在 与图中符合，如 ，C可能；
对于D，二次函数开口向上，则 ，此时 在 为增函数，不符合，D不可能.
故选：ABC
【巩固练习2】（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数 是奇函数或
偶函数，则 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断 时的函数值符号，即可得
答案.
【详解】由已知得 ，
若 为偶函数，则 恒成立，
所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然C对，D错；
若 为奇函数，则 恒成立，
所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然B对，A错
【巩固练习3】（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】首先根据选项中图象的对称性得出，选项 A和B关于原点对称，为奇函数，求出 ，即可判断；选项C和D关于 轴对称，为偶函数，求出 ，根据值域即可判断．
【详解】A，B选项中，图象关于原点对称，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，
当 时， ，
当 ， 且单调递增，
所以当 时， 且单调递减， 的图象为选项A；
当 时， ，
当 ， 且单调递增，所以 且单调递增，
所以 的图象为选项B；
而C，D选项中，图象关于y轴对称，
所以若 为偶函数，则 ，即 ，
所以 ；
当 时， ， ，即 ，
故 的图象为选项D，不可能为选项C
【题型5】函数图象的平移，伸缩，对称，翻折变换
图像的变换
（1）平移变换
①函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得到的；
②函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位得到的；
③函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向上平移 个单位得到的；
④函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向下平移 个单位得到的；
（2）对称变换
①函数 与函数 的图像关于 轴对称；
函数 与函数的图像关于 轴对称；函数 与函数 的图像关于坐标原点 对称；
②若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有
或 （实质上是图像上关于直线 对称的两点连线的中点横坐
标为 ，即 为常数）；
若 函 数 的 图 像 关 于 点 对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 都 有
③ 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称
翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对
称得到函数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对称图形，然
后擦去 轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，擦去 轴左方的图
像，然后做出 轴右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数 与 的图像关于 对称．
（3）伸缩变换
① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩短
到原来的 倍得到．② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长 或缩短
到原来的 倍得到．
10．函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
【详解】因为 ，所以当 时， ，故排除ABC，
又 的图象可由函数 的图象向右平移一个单位得到，则D正确.
11．（2024·重庆·三模）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先推导出 ，即函数 的对称中心为 ，再根据函数的平
移只需将函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位，得到函数 ，则该函数关
于 对称，即可判断.
【详解】因为 定义域为 ，则 ，所以函数 的对称中心为 ，
所以将函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位，得到函数 ，
该函数的对称中心为 ，故函数 为奇函数.
12．已知函数 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，将 的图象关于 轴对称后再向下平移 个单位即得图2，
又将 的图象关于 轴对称后可得函数 ，
再向下平移 个单位，可得
所以解析式为
【巩固练习1】（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【分析】首先判断函数 为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，又 ，
所以 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
又 的图象是由 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
【巩固练习2】（2024·江西赣州·二模）已知函数 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【巩固练习3】（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标
不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，
所得图象恰好与函数 的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 3倍，得到函数
的图象，所以 ，即 ，
将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式 ，
因为所得图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，所以 ，又 且 ，
解得
【题型6】利用函数图像解不等式
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，
根据题意结合图像写出答案
13．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 是定义在 上周期为4的奇函数，且
，则不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数 的图象向右平移1个单位长度，作出函数 在 上的图象，
结合图象，即可求解.
【详解】因为函数 是定义在R上周期为4的奇函数，且 ，
所以当 时， ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
函数 的图象可由函数 的图象向右平移1个单位长度得到，
作出函数 在 上的图象，如图所示．
由图可知不等式 在 上的解集为 ．
【巩固练习1】（2024·高三·江西·期中）已知函数 ， ，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知 在同一坐标系下画出
， 图象如下所示：
由图可知 的解集为 .
【巩固练习2】已知函数 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 或 ，
解得 或 或 .
令 ，则 或 ，
解得 或 .
画出函数 图象的草图（如图），得满足 的 的取值范围为 .
故选:D.【题型7】利用函数图像研究函数的性质、最值
利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找
取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
14．用 表示a，b，c三个数中的最小值，则函数 的最
大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在一个坐标系中画出 的图像，从左到右，取横坐标对应的
纵坐标小的点构成新的图像，如图：
其中A点，即 与 的交点，其纵坐标即为所求
联立 ，解得 ，
函数 的最大值为3
【巩固练习1】对 ， ，记 ，则函数 的最
小值为 ．
【答案】 /1.5【解析】函数 是函数 与函数 同一个 取得的
两个函数值的较大的值，
作函数 与函数 的图象如下，
由图象可知，令 ，得 或 ，
故当 时， 的最小值为 ．
【巩固练习2】已知 ，设函数 在区间 上的最大值为 .
若 ，则正实数 的最大值为 .
【答案】
【解析】画出 的图象如下：
故 ，
由图象可知，当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时 ， ，
则 ①，
故只需要 ②，
将①代入②得 ，
化简得 ，解得 ，故正实数 的最大值为 .
【题型8】利用函数图像分析交点的个数
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程
解的个数．
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还
必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几
个不同的值，就有几个不同的零点．
15．当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
16．设函数 ，若 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，函数 单调递增，函数值集合为 ，
当 时，函数 单调递减，函数值集合为 ，
当 时，函数 单调递增，函数值集合为 ，
作出函数 的图象与直线 ，如图，
观察图象知，当 时，函数 的图象与直线 有3个交点，
所以 有三个不同的实数根，实数 的取值范围是 .
【巩固练习1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 与 都是偶函数，其中 ， ，
在同一坐标系中，作出函数 与 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
【巩固练习2】设函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设函数 ，令 ，即 ，
所以问题转化为 ， 有3个交点；在坐标系内，作出函数 的图像如下所示，
结合图象可知， ，故实数 的取值范围为 .
故选：B
【巩固练习3】已知函数 ，若关于 的方程 有3个不相等的实数根，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数 的图象，结合图象，从而确定
的取值范围.
【详解】由 的解析式作出 的大致图像．如图所示：
方程 有3个不等实数根等价于 的图象与直线 有3个不同的公共点，则 ．
故答案为： .
