文档内容
热点专题 3-3 利用导数研究函数的单调性
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年甲卷(文)，第20(1),5分 高考中，利用导数研究函数
单调性为重要考点。考生需
2024年北京卷，第20(1),5分
掌握导数定义、性质及求导
2023年I卷第第19(1),5分
方法，通过导数正负判断函
2023年乙卷(文)，第20(2)，7分
数单调区间。此考点强调导 （1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关
数与函数单调性的直接联
2023年乙卷（理）第16题，5 系
系，要求考生能准确求解导
分 （3）含参函数单调性讨
数并据此分析函数在特定区
论
2022年新高考II卷，第6题,5分
间的单调性。备考时，应注
2022年甲卷第12题，5分
重基础知识的巩固与解题技
巧的提升，通过大量练习增
2021年浙江卷第7题，5分
强实际应用能力。
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）
【题型2】函数与导函数图像之间的关系
【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围
【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围
【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析
【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）
【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解）
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参）
判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得
出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
1．（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， 的单调递增区间为 ．
2．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，判断 的单调性，并说明理由；
4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性.
【巩固练习1】函数 的严格递减区间是 .
【巩固练习2】函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时
，且 .则 的单调增区间为 .
【巩固练习4】（2024·河北保定·二模）已知函数 .若 ，讨
论 的单调性；
【巩固练习5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若 ，求 的
单调区间.
【巩固练习6】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论函数 的单
调性．【题型2】函数与导函数图像之间的关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数 （导函
数等于0，只在端点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数 （导函数
等于0，只在端点成立，其余点满足 ）．
导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时
函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比
较“平缓”．
5． 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选
项中的（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．【巩固练习1】已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下
列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【巩固练习2】已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知函数 的图象是下列四个图象之一，函数 的图象如图所示，则
函数 图象是（ ）
A． B． C． D．【巩固练习4】 的图象如图所示，则 的图象最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】（多选）已知函数 的定义域为R且导函数为 ，如图是函数 的图
象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的减区间是 ，
B．函数 的减区间是 ，
C． 是函数 的极小值点
D． 是函数 的极小值点【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围
已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满
足 ，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满
足 ，才能得出 在某个区间上单调递减．
7．（23-24高三·江苏南京·期末）已知函数 在区间 上单调递增，则实数
a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数 ，若 在区间 上单
调递增，则实数 的取值范围是 .
9．（2024·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调
递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【巩固练习2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在上单调递增，则a的取值范围是 .
【巩固练习3】已知函数 在 ， 上为增函数，在（1，2）上为
减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数 在 上单调递增，则
a的取值范围是 ．
【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
10．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是 ；若函数 在区间
内不单调，则 的取值范围是 ．
11．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 在 上不是单调函数，则实
数m的取值范围是 ．
【巩固练习1】已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若函数 在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是
.【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【巩固练习4】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数 ，则 在 上
不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题
12．若函数 在区间 上有单调递增区间，则实数 的取值范围是 ．
13．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递增区间，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】若函数 存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【巩固练习2】若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 .
【巩固练习3】若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是
．
【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析
利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求出导数 的零点；
（3）先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时 的正负是确定的，即 单调
（4）当零点在定义域内时，用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出
在各区间上的正负，由此得出函数 在定义域内的单调性；
14．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．(1)求 的单调区间.15．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．(1)讨论 的单调性；
16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性.
【巩固练习1】已知函数 .讨论函数 的单调性；
【巩固练习2】已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【巩固练习3】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ，其中 .讨论 的
单调性；【巩固练习4】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数,讨论
的单调性；
【巩固练习5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性;
【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解）
这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下：
第一步：求 的定义域
第二步：求出 ，通分
第三步：令 ，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参
第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时 只有一个极值点
第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令 ，解出 的
取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取值范围，得函数的减区间．注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接，
而应用“和”、“，”隔开.
17．已知函数 .讨论函数 的单调性；1
18．已知函数 f xax a1lnxa0 ，讨论函数 f x的单调性.
x
【巩固练习1】已知函数 ．讨论 的单调性；
【巩固练习2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ．
(2)讨论 的单调性．
x2
【巩固练习3】已知函数 f x a1xalnx，讨论函数
f
x单调性.
2【巩固练习4】已知函数 ， .若 ，讨论函数
的单调性；
【巩固练习5】设函数 ，其中 ，讨论 的单调性.【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解）
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.
19．设函数 ,求 的单调区间.
【巩固练习1】已知函数 ．讨论 的单调性【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
