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模型 09、平抛——斜面模型
【模型解题】
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型,在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要
充分运用斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
方法 内容 实例 总结
斜面 求小球平抛时间
分 分解速度，
水平 如 图 ， ，
构建速度三
解
角形
速 竖直
故
度 合速度
分 分解位移，
水平 如图，
构建位移三
解
角形
位
竖直 而
移
合位移
联立得
常见平抛运动模型运动时间得计算方法
（1）在水平地面上正上方h处平抛：由 知 ，即t由高度h决定
（2）在半圆内得平抛运动（如图1），由半径和几何关系制约时间t: , 联立
两方程可求t
（3）斜面上的平抛问题
A、顺着斜面平抛（如图2）
方法：分解位移 ， ， ，可求得B、对着斜面平抛（如图3）
方法：分解速度 ， 可求得
，
（4）对着竖直墙壁平抛（如图4）
水平初速度 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，
常见类平抛运动模型的分析方法
1. 类平抛运动的受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.
2.类平抛运动的运动特点
在初速度方向 上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
3.类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)
的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动.具有等时性.(2)特殊分解法:对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 分解为 、 , 初速度
分解为 、 , 然后分别在x、y方向列方程求解。
【模型训练】
【例1】如图所示为跳台滑雪的简易示意图，运动员（可视为质点）从雪坡上某位置由静止滑下，到达О
点后分别以大小不同的速度水平飞出。在两次训练中分别落在平台下方的斜面上的A、B两点，OA=AB。
则两次训练在空中的时间之比（ ）
A．1：1 B．1： C．1： D．1∶2
【答案】B
【详解】由题意可知物体做平抛运动，且位移大小之比为1∶2，方向相同，由运动的分解可知，竖直高度
之比为1∶2，由
运动时间之比为1∶ 。
故选B。
变式1.1如图所示，在滑雪比赛中，甲、乙两运动员先后从雪坡滑下，水平飞出后均落到斜坡上。已知甲
运动员水平飞出时的速度大小为v，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的 倍，运
0
动员均可视为质点，不计空气阻力。乙运动员水平飞出时的速度大小为（ ）A． B． C． v D．2v
0 0
【答案】B
【详解】设斜坡的倾角为θ，运动员在斜坡上的位移为L，由平抛运动的知识可得
联立可得
甲运动员水平飞出时的速度大小为v，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的 倍，
0
则运动员乙水平飞出时的速度大小为
故选B。
变式1.22022年冬奥会由北京和张家口承办，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示，跳台的斜坡与水
平面的夹角 ，滑雪运动员从斜坡的起点A点沿水平方向飞出，经过 落到斜坡上的B点。不计
空气阻力，重力加速度 取 ，则（ ）
A．A点与B点的距离为 ；运动员离开A点时的速度大小为
B．A点与B点的距离为 ；运动员离开A点时的速度大小为
C．A点与B点的距离为 ；运动员离开A点时的速度大小为
D．A点与B点的距离为 ；运动员离开A点时的速度大小为
【答案】A
【详解】运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为 ，有得
设运动员离开A点时的速度为 ，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有
得
故选A。
【例2】如图所示，以v=10m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上，
0
按g=10m/s2考虑，以下结论中不正确的是（ ）
A．速度偏转角为60°
B．物体撞击斜面时的速度大小为20m/s
C．物体飞行的时间是6s
D．物体下降的距离是15m
【答案】C
【详解】AC．小球撞在斜面上时速度与斜面垂直，则速度与竖直方向的夹角为30°，则根据速度的分解可
得竖直方向的速度
运动时间
故A正确，C错误；
B．物体撞击斜面时的速度大小故B正确；
D．物体下落的竖直距离
故D正确。
故选C。
变式2.1在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾
角为 ，如图所示。不计空气阻力，则（ ）
A．仅改变炸弹的水平初速度，炸弹仍可能垂直击中山坡
B．仅改变炸弹投放高度，炸弹仍可能垂直击中山坡
C．可求出炸弹水平方向通过的距离
D．可求出炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比
【答案】D
【详解】AB．炸弹正好垂直击中山坡上的目标，设水平初速度为 ，竖直分速度为 ，则有
又
仅改变炸弹的水平初速度，由于 保持不变，则炸弹不可能垂直击中山坡；仅改变炸弹投放高度，则 发
生改变，但水平初速度为 不变，则炸弹不可能垂直击中山坡，故AB错误；
C．由于炸弹投放高度不知道，无法知道下落时间，无法求出炸弹水平方向通过的距离，故C错误；
D．炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为
故D正确。故选D。
变式2.2如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点， ，E点在D
点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1
和球2从抛出到落在斜面上的运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．球1和球2运动的时间之比为2：1
B．球1和球2速度增加量之比为1：3
C．球1和球2抛出时初速度之比为
D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2
【答案】C
【详解】A．因为AC=2AB，则AC的高度差是AB高度差的2倍，根据 得
解得球1和球2运动的时间比为 ，故A错误；
BD．平抛运动的物体只受重力，加速度为g，两球的加速度相同，可知球1和球2均在水平方向上做匀速
运动，在竖直方向上做匀加速运动，根据 可得球1和球2速度增加量之比等于球1和球2运动的时
间之比，也为 ，故BD错误；
C．AC在水平方向上的位移是AB在水平方向位移的2倍，结合
解得初速度之比为 ，故C正确；
故选C。【例3】如图所示， 两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度 同时水平抛出。
已知半圆轨道的半径为 与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2倍。若小球 能落到半圆轨
道上，小球 能落到斜面上， 均可视为质点，重力加速度取 ,则下列说法正确的是（ ）
A．如果 球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下
B． 球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5
C．调整 球初速度 的大小，能使 球垂直落在半圆轨道上
D． 两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度
【答案】D
【详解】A．平抛运动的末速度不可能竖直向下，A错误；
B．设斜面倾角为 ，则速度方向与水平面夹角的正切值为
B错误；
C．平抛运动末速度的反向延长线交于水平位移的中点，若 球垂直落在半圆轨道上，则反向延长线过圆
心，不是中点，不符合实际情况，C错误；
D． 两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则下落高度相同，且位移偏转角均等于斜面倾角，则
，
而
得
D正确。故选D。
变式3.1如图所示，质量相等的a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v 同时水
0
平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半
圆轨道上，小球b能落到斜面上。则下列说法不正确的是（ ）
A．a球可能垂直打在半圆轨道
B．a、b两球的速度偏转角可能相同
C．a、b两球在空中时，单位时间内速度变化量相等
D．b球以 抛出与以 抛出落在斜面上时速度偏转角一定相等
【答案】A
【详解】A．球如果能垂直打在半圆轨道上，则速度反向延长线过圆心，故A选项是不正确的。
B．a、b两球可能落在等高且距离抛出点水平位移相等的位移处，时间相等，速度偏转角相同，选项B正
确；
C． a、b两球加速度相同，单位时间内速度变化量相等，选项C正确；
D．b球落在斜面上，根据
则速度偏转角
也相同，选项D正确。
此题选择不正确的，故选A。
变式3.2（多选）如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度 同时水平
抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若
小球b能落到斜面上，下列说法正确的是（ ）A．可能同时分别落在半圆轨道和斜面上
B．a球一定先落在半圆轨道上
C．a球可能先落在半圆轨道上
D．b球一定先落在斜面上
【答案】AC
【详解】将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图甲所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落
在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上；若初速度不适中，由图可知，可能小球先落
在斜面上，也可能先落在圆轨道上。故AC正确，BD错误。
故选AC。
【例4】如图所示，在倾角分别为37°和53°斜面顶端，分别向左、向右沿水平方向抛出A、B两个小球，
两小球第一次落在斜面上时正好在同一水平线上，若不计空气阻力，则A、B两球初速度大小之比为（
， ）（ ）
A．3：4 B．4： 3 C．16：9 D．9∶16
【答案】C
【详解】两小球第一次落在斜面上时正好在同一水平线上，说明两小球竖直位移相等，设为 h，由
得两小球在空中运动时间相等，由图中几何关系可知，根据水平位移与速度成正比可得
故选C。
变式4.1如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v 水平向右抛出，小球击中了斜面
0
上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v 水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻
0
力，重力加速度为g，小球A、B在空中运动的时间之比为（ ）
A．2 ：1 B． ：1
C．1：2 D．1：
【答案】A
【详解】设小球A在空中运动的时间为t，小球B在空中运动的时间为t，对小球A，由平抛运动的规律
1 2
可得
对小球B，结合几何知识，由平抛运动的规律可得
联合可得
故选A。
变式4.2（多选）如图所示，一倾角为 的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度 水平向右抛
出，小球击中了斜面上的 点，将小球B从空中与小球A等高的某点，以速度 水平向左抛出，小球恰好
垂直斜面击中 点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为 ，下列说法中正确的是（ ）A．小球A在空中运动的时间为
B．小球B在空中运动的时间为
C．若将小球B以大小相等的初速度，从该点向各个方向抛出，则竖直下抛，落到斜面上所用时间最
短
D．若将小球B以大小相等的初速度，从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出，落到斜面上所
用时间最长
【答案】AD
【详解】A．设小球A在空中运动的时间为t，则
1
解得
故A正确；
B．设小球B在空中运动的时间为t，则
2
解得
故B错误；
CD．根据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度始终为gcosθ，则当小球B以垂直于斜面向下的初速度抛出
时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间
最长，故C错误，D正确。
故选AD。
【例5】如图所示，水平地面上有一高 的竖直墙，现将一小球以 的速度垂直于墙面水平
抛出，已知抛出点A与墙面的水平距离s＝3.6m，离地面高H＝5.0m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重
力加速度g取10m/s2。
（1）小球碰墙点B离地面的高度；
（2）碰墙时小球的速度大小；
（3）若仍将小球从原位置往原方向抛出，为使小球能越过竖直墙（忽略墙厚），小球抛出时的初速度大
小至少是多大?
【答案】（1）3.2m；（2） ；（3）9.0m/s
【详解】（1）小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，根据 可知，小球平抛运动
的时间
根据
可得
（2）平抛运动在竖直方向上的分速度根据平行四边形定则知，小球碰墙前瞬间速度
（3）忽略墙厚，竖直方向
水平方向
解得
变式5.1如图所示，水平地面上有一高h=4.2 m的竖直墙，现将一小球以v=6.0 m/s的速度垂直于墙面水平
0
抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s=3.6 m、离地面高H=5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加
速度g取10 m/s2。
（1）求小球碰墙点离地面的高度h；
1
（2）若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什
么条件？
【答案】（1）3.2 m；（2）初速度v 9.0 m/s。
【详解】（1）小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有：
水平方向上：s=vt ①
0
竖直方向上： ②
由①②式并代入数据可得：
h=3.2m
1
（2）设小球以v 的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t，由
1 1
平抛运动的规律有
水平方向上：s=vt③
1竖直方向上： ④
由③④式并代入数据可得：v=9.0m/s
所以小球越过墙初速度v要满足：初速度v≥9.0m/s
变式5.2水平地面上有一高 的竖直墙，现将一小球以 的速度垂直于墙面水平抛出，已
知抛出点与墙面的水平距离 ，离地面高 ，不计空气阻力，不计墙的厚度，取重力加速度
。
（1）小球碰墙前做平抛运动的时间t；
（2）求小球碰墙点离地面的高度 ；
（3）求小球碰墙前瞬间速度v的大小。
【答案】（1）0.6s；（2）3.2m；（3）
【详解】（1）小球碰墙前做平抛运动的时间
（2）小球碰墙点离地面的高度
（3）小球碰墙前竖直速度
瞬间速度v的大小
