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热点专题 2-7 函数与方程
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年天津卷第15题，5分 从近几年高考命题来看，高
考对函数与方程也经常以不 （1）理解函数的零点与
2024年全国甲卷，第16题,5分
同的方式进行考查，比如： 方程的解的联系.
2023年天津卷第15题，5分 函数零点的个数问题、位置 （2）理解函数零点存在
问题、近似解问题，以选择 定理，并能简单应用.
题、填空题、解答题等形式 （3）了解用二分法求方
2021年北京卷第15题，5分
出现在试卷中的不同位置， 程的近似解．
且考查得较为灵活
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】求函数的零点
【题型2】求函数零点所在区间
【题型3】二分法求近似解
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
【题型5】 利用函数的零点所在区间求参数范围
【题型6】已知零点个数求参数范围
【题型7】比较零点的大小
【题型8】求零点的和
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】求函数的零点
函数的零点
1、函数零点的概念：对于一般函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的
零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．
【要点辨析】
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数 的图象与x轴交点的横坐标；
（3）函数 的零点就是方程 的实数根．
2、函数的零点与方程的解的关系
函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图象与 轴的公共点
的横坐标．所以方程 有实数根函数 的图象与 轴有交点函数
有零点．
3、函数零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，那么，函数
在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程
的解．
1．函数 的零点为（ ）
A． B． C．0 D．1
【巩固练习1】函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【巩固练习2】
【巩固练习3】已知定义在 上的 是单调函数，且对任意 恒有
，则函数 的零点为（ ）
A． B． C．9 D．27
【题型2】求函数零点所在区间
判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
2．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】二分法求近似解
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分
法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
3．（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】一块电路板的 线段之间有 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落
造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A． 次 B． 次
C． 次 D． 次【巩固练习2】已知函数 ，在区间 内存在一个零点，在利用二分法求函数
近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【巩固练习3】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性
可导函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方
程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程
，选取初始值 ，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A． B． C． D．
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且
，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）图象法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的
个数就是函数 的零点个数．
②两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，
则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数．
（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
4．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习1】函数 在定义域内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习2】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【巩固练习3】（2019·全国·高考真题）函数 在 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【巩固练习4】已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型5】 利用函数的零点所在区间求参数范围
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于
参数的不等式，解不等式，从而解决.
6．函数 在 上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
7．函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【巩固练习1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，
则命题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·山西阳泉·三模）函数 在区间 存在零点．则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，
则实数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【题型6】已知零点个数求参数范围
已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转
化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
求函数的零点个数就是求函数图象与 轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可．如果函数图象
不易作出，可将函数转化为 的结构，然后转化为 与 的图象交点个数的
问题．
解决步骤第一步：将函数化为 的形式， 与 一个含参，一个不含参．
第二步：画出两个函数的图象．
第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围．
8．若函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 有且只有一个零点，则m的取值范围是 ．
【巩固练习1】若函数 有2个零点，则m的取值范围是 ．
【巩固练习2】已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数 ， ．若 有2个零点，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想.
10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 ，函数 的零点分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·广东梅州·二模）三个函数 ， ，
的零点分别为 ，则 之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】（2024·海南·模拟预测）已知正实数 满足 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】设正实数 分别满足 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型8】求零点的和
结合函数的对称性以及交点个数，数形结合
11．（2024·青海西宁·二模）函数 的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【巩固练习1】（多选）记函数 ，若 （ ， ， 互不相
等），则 的值可以是（ ）
A． B．6 C．8 D．9
【巩固练习2】函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
