重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结15类题型（原卷版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

重难点专题 1-2 抽象函数的赋值计算与模型总结 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 （1）熟悉常见函数的抽 2023年新高考1卷，第11题 赋值法判断抽象函数的奇偶 象表达式 性，周期性 （2）用赋值法判断抽象 函数性质 2022年新高考2卷，第8题 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】抽象函数的赋值计算求值 【题型2】抽象函数的奇偶性 【题型3】抽象函数的单调性 【题型4】抽象函数的最值与值域 【题型5】抽象函数的对称性 【题型6】抽象函数的周期性 【题型7】一次函数的抽象表达式 【题型8】对数型函数的抽象表达式 【题型9】指数型函数的抽象表达式 【题型10】幂函数的抽象表达式 【题型11】正弦函数的抽象表达式 【题型12】余弦函数的抽象表达式【题型13】正切函数的抽象表达式 【题型14】二次函数的抽象表达式 【题型15】其它函数的抽象表达式 模块二 核心题型·举一反三(讲与练) 【题型1】抽象函数的赋值计算求值 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解 2024·长沙市第一中适应性训练 1．已知定义域为 的函数 ，满足 ，且 ， ，则 ________. 2．（2024·福建龙岩·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 ________ 【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 【巩固练习2】已知对所有的非负整数 均有 ，若 ，则 ______． 【 巩 固 练 习 3 】 （ 2024· 安 徽 合 肥 · 一 模 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 ，记 ，则（ ） A． B． C． D． 【题型2】抽象函数的奇偶性证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到 与 的关系 2024·福建莆田·二模 3．已知定义在 上的函数 满足： ，证明： 是奇 函数 2024·长沙市第一中适应性训练 4．已知定义域为 的函数 ，满足 ，且 ， ，证明： 是偶函数 【巩固练习1】（多选）定义在 上的函数 满足：对任意的 ， 则下列结论一定正确的有（ ） A． B． C． 为 上的增函数 D． 为奇函数 【巩固练习2】（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，满足 ，则（ ） A． B． C． 为偶函数 D． 为奇函数 【巩固练习4】（2024届韶关市一模）已知 是定义在 上且不恒为零的函数，对于任意实数满足 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【题型3】抽象函数的单调性 判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数 fx y，判断符号时要变形为： fx  fx  f(x x ) x  fx  或 fx  fx  fx  f(x x ) x  ; 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ②若给出的是“积型”抽象函数 fxy，判断符号时要变形为：  x   x  fx  fx  fx  2  fx  fx  fx  fx  fx  1    或  . 2 1  1 x  1 2 1 2  2 x  1 2 5．函数 的定义域为 ，对于 ， ， ，且当 时， ，证明： 为减函数. 6．已知函数 是定义在R上的函数.对任意 ，总有 ， ， 且 时， 恒成立. （1）求 （2）判断 的奇偶性并证明 （3）证明 在 上单调递减 【答案】（1） ，（2）奇函数;(3)在 上单调递减【详解】（1）由对任意 ，总有 ， 令 ，则 ，则 ， 又由 ，可得 ， 则 ，故选项A判断正确； （2）令 ，则 ， 则有 ，故 ，则 是奇函数 【巩固练习1】（多选）定义在 上的函数 ，对于任意的 都有 ；且 ；当 时， ；则下列结论正确的是（ ） A． B． 是奇函数 C． 在 上单调递增 D． 的解集为 【巩固练习2】若定义在R上的函数f(x)对任意x,x∈R,都有f(x＋x)＝f(x)＋f(x)－1成立，且当x 1 2 1 2 1 2 ＞0时，f(x)＞1. (1)求证: y＝f(x)－1为奇函数; (2)求证: f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3. 【巩固练习3】（2023·湖南师大附中校考）已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时， ，③ ，则以下说法中正确的是 （ ） A． B． C． 在 上的最大值是10D．不等式 的解集为 【题型4】抽象函数的最值与值域 结合奇偶性与单调性来判断最值或值域 7．已知函数 对任意的 ，总有 ，若 时， ，且 ，则当 时， 的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【巩固练习1】已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时， ，③ ，则 在 上的最大值是________ 【巩固练习2】已知连续函数 对任意实数x恒有 ，当 时， ， ，则f(x)在[－3，3]上的最大值是________ 【题型5】抽象函数的对称性 抽象函数的对称性常有以下结论 （1） 关于 轴对称， （2） 关于 中心对称，2024·江苏南通·二模 8．（多选）已知函数 ， 的定义域均为R， 的图象关于点(2，0)对称， ， ，则（ ） A． 为偶函数 B． 为偶函数 C． D． 【巩固练习1】已知对任意实数x，y，函数 满足 ，则 （ ） A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数 【巩固练习 2】（2024·重庆八中校考）（多选）已知函数 的定义域为 R，且 ，当 时， ，且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A． 为奇函数 B． C．不等式 的解集为 D． 【 巩 固 练 习 3 】 （ 多 选 ） 已 知 定 义 域 为 的 函 数 对 任 意 实 数 都 有 ，且 ，则以下结论一定正确的有（ ） A． B． 是偶函数 C． 关于 中心对称 D．【题型6】抽象函数的周期性 抽象函数周期问题一般先求对称性 2024山东青岛·统考三模 9．设 为定义在整数集上的函数， ， ， ，对任意的整数 均有 ．则 ______． 10．函数 的定义域为 ，且 ， ， ，则 . 11．（2024 届厦门一中校考）若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 ． 【巩固练习1】2024·山东青岛·一模 ， ， ，则 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【巩固练习2】（2024·福建龙岩·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则（ ） A． B． 为奇函数 C． D． 的周期为3 【巩固练习 3】（2024·福建厦门·一模）已知函数 的定义域为 ， ， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C．2 D．4 【巩固练习4】函数 的定义域为 ，对任意 ，恒有 ， 若 ，则 ， ． 【巩固练习5】深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题（多选）已知函数 的定义域为 ，且 ， ， 为偶函数，则（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【题型7】一次函数的抽象表达式 一次函数的抽象表达式 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 12．已知函数 的定义域为 ，且 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条 件的一个 的解析式为 . ① ， ；② 为奇函数；③ 在 上单调递减. 13．（2023-2024学年重庆一中高一期中）（多选）已知定义在区间 上的函数 满足：对 任意 均有 ；当 时， ．则下列说法正确的是 A． B． 在定义域上单调递减C． 是奇函数 D．若 ，则不等式 的解集为 【巩固练习1】(2024·安徽安庆·二模)（多选）已知定义在R上的函数 f(x)，满足对任意的实数 x，y，均有 f xy f x f y1，且当x0时， f(x)1，则（ ） A． f(0)1 B． f(1) f(1)1 C．函数 f(x)为减函数 D．函数y f(x)的图象关于点 0,1 对称 【巩固练习2】(2024·山东泰安·一模)（多选）已知函数 的定义域为R，且 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． 有最大值 C． D．函数 是奇函数 【题型8】对数型函数的抽象表达式 对数函数的抽象表达式（重要） 对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造 即可 14．已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；② ．请写出一个符 合上述条件的函数f（x）＝______． 15．（2024·安徽·二模）已知函数 满足 ，当 时， ， 则（ ）A． 为奇函数 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【巩固练习1】已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． f x 0, x, x 【巩固练习2】已知函数 的定义域是 ，对定义域内的任意 1 2都有 f xx  f x  f x  f x0 1 2 1 2 ，且当 0x1 时， . f x0 x1 (1)证明：当 时， ； f x (2)判断 的单调性并加以证明； 【题型9】指数型函数的抽象表达式 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由 得 ，判断 和1的大小关系 16．已知函数 的定义域为 ，且 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条 件的一个 的解析式为 . ① ， ；② 在 上单调递减.【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据函数的性质直接得解. 【详解】由题意 为指数型函数，且 在 上单调递减， 17．（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在 上的函数 满足：① 是偶 函数；②当 时， ；当 ， 时， ，则（ ） A． B． 在 上单调递增 C．不等式 的解集为 D． 【巩固练习1】如果 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 满足， ，则 的值为（ ） A．15 B．30 C．60 D．75 【巩固练习3】已知定义在R上的函数 满足：对任意的实数x，y均有 ，且 ，当 且 . (1)判断 的奇偶性； (2)判断 在 上的单调性，并证明；【题型10】幂函数的抽象表达式 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 或 18．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，则（ ） A． 是奇函数且在 上单调递减 B． 是奇函数且在 上单调递增 C． 是偶函数且在 上单调递减 D． 是偶函数且在 上单调递增 【巩固练习】已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ） A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点 【题型11】正弦函数的抽象表达式 三角函数注意系数的配凑， ， ，以下均以 为例 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：2024·广东江门·一模 π  π  19．函数 f x的定义域为 R ，对任意的 x ， y ，恒有 f(xy) f(x)f  2 y   f  2 x  f(y)成立. 请写出满足上述条件的函数 f x 的一个解析式 . 【巩固练习1】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【巩固练习2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 为偶函数 B． C． D． 【题型12】余弦函数的抽象表达式 三角函数注意系数的配凑， ， ，以下均以 为例 （1） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （2） 对于余弦 函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型2024·吉林白山·一模 20．已知函数 f x 的定义域为 ，且 f xy f xy f x f y ， f 11，请写出满足条件 R 的一个 f x （答案不唯一）， f 2024 ． 2024·重庆一中3月月考 21．（多选）函数 的定义域为R，且满足 ， ，则 下列结论正确的有（ ） A． B． C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称 【巩固练习 1】已知函数 满足： ，则 . 【 巩 固 练 习 2 】 （ 2022 新 高 考 2 卷 T8 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 R ， 且 ，则 （ ） A． B． C．0 D．1 【巩固练习3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在 上的连续函数 满足 ， ， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是 A． B． 是偶函数 C． D． 的图象关于 对称 【题型13】正切函数的抽象表达式 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 22．已知函数 满足 ， ，则（ ） A． B． C． 的定义域为R D． 的周期为4 【巩固练习1】（2024·广西贺州·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 为增函数 C．若实数a满足不等式 ，则a的取值范围为 D．  1 1  1 1  ,  x,y ,  【巩固练习2】定义在 2 2上的函数 f(x)满足：对任意的  2 2都有 f(x)+f(y) 1 f(x+y)= ，且当0x 时， ． 1- f(x)f(y) 2 f(x)0  1 0,  （1）判断 f(x)在 2上的单调性并证明；  1   1 1 （2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式 f t x f(x)0在 , 上恒成立．  2   2 2【题型14】二次函数的抽象表达式 二次函数 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数 ， ，函数 满足函数方程 ，如果 ，那么满足 的 的个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 24．（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成立，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．方程 有解 C． 是偶函数 D． 是偶函数 【答案】C 【解析】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ， 取 ，得 ，则 ， 取 ，得 ，则 ，故 错误； 对于B，取 ，得 ，则 ， 所以 ， 以上各式相加得 ，所以 ， 令 ，得 ，此方程无解，故B错误. 对于CD，由 知 ， 所以 是偶函数， 不是偶函数，故C正确， 错误. 故选：C. 【巩固练习2】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ， ，则 的最小值是（ ） A．135 B．395 C．855 D．990 【答案】C 【解析】由 ，得 ，令 ，得 ， 令 ，得 ， 故 ，又 ， 所以 ， 所以 ，因为 ，当 时， 的 最小值为855．【题型15】其它函数的抽象表达式 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数 对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表 示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是， 有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型 ，往往还会给出一个限制条件，比如 等等，这样就限制了原函数的唯一性 25．（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ， 则（ ）． A． B． C． 是偶函数 D． 为 的极小值点 【巩固练习】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在 上的函数 满足如下条件：① ；②当 时， .则（ ） A． B． 在 上是增函数 C． 是周期函数 D．