重难点专题1-1函数的对称性与周期性问题18类题型（原卷版）-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突（新高考专用）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

重难点专题 1-1 函数对称性周期性问题 近4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新高考2卷，第6题 对称性与函数交点个数问题 函数对称性的识别 2022年新高考1卷，第12题 函数对称性与周期性 导函与原函数数对称性问 题的转换，由平移关系得 出对称性 2022年全国乙卷，第12题 函数对称性与周期性 函数轴对称与中心对称的 抽象表示式，由对称性得 出周期 2021年新高考2卷，第8题 函数对称性与周期性 由平移关系得出对称性， 再由对称性得出周期 2021年甲卷（理），第12题 函数对称性与周期性 由平移关系得出对称性， 由对称性得出周期 2021年甲卷（文），第12题 函数对称性与周期性 函数轴对称与中心对称的 抽象表示式，由对称性得 出周期 模块一 【题型1】识别对称轴，对称中心 mn b 若 f(mx) f(nx)，且 2  f(x)关于x b对称 mn 若 f(mx) f(nx)2b，且 2 a  f(x)关于 a,b 对称 热点题型解读（目录） 1．设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得： ，而 ， 故 . 【巩固练习1】（多选题）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，且对于任意 ， 都有 ，则（ ） A． B． C． 为偶函数 D． 为奇函数 【答案】BCD 【解析】由 ，得 ． 由 是奇函数，得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ，故选项A错误； 由 ，得 ，由 ，得 ，所以 ， 故选项B正确； 由 ， ，得 ，即 为偶函数，故选项C正确； 由 ， ，得 ，则 ， 即 为奇函数，故选项D正确． 【巩固练习2】已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 【题型2】由对称求解析式 一、把 的图像关于 对称，对称后的函数为 ，则证明：设对称后的点为 ，则点 在 上，故 ，即 二、把 的图像关于 对称，对称后的函数为 ，则 证明：设对称后的点为 ，则点 在 上，代入可得 ，则有， 即 2．（2024·四川成都·三模）函数 与 的图象（ ） A．关于 对称 B．关于 对称 C．关于 对称 D．关于 对称 【巩固练习1】若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性 若已知 f(mxb)c是奇（偶）函数求 f(x)对称性 f(mxa)b是偶函数 f(x)关于x a对称， f(mxa)b是奇函数 f(x)关于 a,b 对称 举个例子： 若 f(2x1)3是奇函数 证：设 f(x) 关于x a对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值 f(x) f(x1) f(2x1) f(2x1)3 对 称 中 a,b a1,b a1  a1  a 1  ,b   ,b3   心  2   2  b3 2024·江苏高邮·统考 3．定义在R上的函数y f(x)和yg(x)的图象关于y轴对称，且函数y f(x2)1是奇函数， 则函数yg(x)图象的对称中心为（ ） A．(2,1) B．(2,1) C．(2,1) D．(2,1)【巩固练习】已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【题型4】与对称性有关的材料题 结合材料得出结论，再解决问题 4．（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数 为奇函数的充要条件是 的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数 为奇函数的充要 条件是 的图象关于点 成中心对称.已知函数 的图象关于 成中心对称，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选）已知函数 的图象关于 成中心对称图形的充要条件是 是奇函数，函数 的图象关于 成轴对称图形的充要条件是 是 偶函数.则下列说法正确的是（ ） A． 的对称中心为 B． 关于 对称 C． 的对称中心为D． 的图象关于 对称 y f x 【巩固练习2】（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考）我们知道，函数 的图象关于坐标 y f x 原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y f x P(a,b) y f xab 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数． f xx33x2 （1）请你利用这个结论求得函数 的对称中心为 ． x2 （2）已知函数gx x33x2 与一次函数ykx13有两个交点Mx,y ，Nx ,y ， x1 1 1 2 2 x y x y  则 1 1 2 2 ． 【题型5】通过周期性求值或解析式 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题． 周期函数的常见条件 一、若 f(x) f(xa)c （c为常数），则 f(x)周期为2a. 证明：令x xa f(xa) f (x2a)c，两式相减得 f(x2a) f(x)0 即 f(x2a) f(x)，故T 2 a 1 f(xa) 二、若 f(x) ，则T 2 a （相对少见） 1 1 f(xa) f(x2a)  f(x)T 2 a 证明：由 f(x) ，得 f(xa) 三、其它周期条件 设函数 ， ， ， ． （1）若 ，则函数 的周期为2a；（2）若 ，则函数 的周期为2a； （3）若 ，则函数 的周期为2a； （4）若 ，则函数 的周期为2a； （5）若 ，则函数 的周期为 ； （6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ； （7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ； （8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ； （9）若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a； （10）若函数 是奇函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为4a． 三、周期与对称性的区分 1.若f (x+a)=±f (x+b),则 f(x) 具有周期性； 2.若f (x+a)=±f(b−x),则 f(x) 具有对称性： 口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性” R f(x) f(x2)f(x) 0 x2 5．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， f(x)3x lnx f(211) ，则 . 【巩固练习1】（多选）已知f (x)是定义在R上的函数，且对于任意实数x恒有f (x+2)=−f (x)． 当x∈[0,2]时，f (x)=−x2+2x．则（ ） A．f (x)为奇函数 B．f (x)在x∈[2,4]上的解析式为f (x)=x2−6x+8 C．f (x)的值域为[0,1] D．f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2022)=1 【巩固练习 2】设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2,3]时，f(x)=x，则 x∈[−2,0]时，f(x)的解析式为f(x)=（ ）A．x+4 B．2−x C．3−|x+1| D．2−|x+1| 【题型6】由对称性进而得出周期 f(x) b,c T 4ab 一、若 关于x a和 对称，则 （类比三角函数） f(x) f(2ax) 证明：由对称轴可得 ， f(x) f(2bx)2c f(x)2c f(2bx) 由对称中心可得 f(2ax)2c f(2bx) 则有 ， x2ax f(x)2c f(2b2ax) f(x) f(2b2ax)2c 令 ，则有 ， T 2 2a2b 4 ab 故 f(x) a,c b,c T 2ab 三、若 关于 和 对称，则 （类比三角函数） f(x) f(x2a)2c  证明：由对称性可得  f(x) f(x2b)2c ，则 f(x2a) f(x2b) ，故 T  2a2b 四、若 f(x) 关于x a和 x b 对称，则 T 2ab f(x) f(x2a)   f(x2a) f(x2b) 证明：由对称性可得  f(x) f(x2b) ，故 T  2a2b 2021全国甲卷（文）12题——由对称性得出周期性求值  1 1 5 6．设 f x是定义域为R的奇函数，且 f 1x f x.若 f    3    3 ，则 f  3   （ ） 5 1 1 5 A． B． C． D． 3 3 3 32021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值 7．已知函数 f x 的定义域为 ， f x2 为偶函数， f 2x1 为奇函数，则（ ） R  1 A． f    2   0 B． f 10 C． f 20 D． f 40 2024·广东省一模 1  8．（多选）已知偶函数 f(x) 的定义域为 R ， f  2 x1  为奇函数，且 f(x) 在0,1上单调递增，则 下列结论正确的是（ ）  3 4 2024 A． f  0 B． f  0 C． D． f  0  2 3 f(3)0  3  2024·安徽芜湖·二模 9．已知函数 f x 的定义域为R，且 f x22为奇函数， f 3x1 为偶函数， f 10，则 2024 f k =（ ） k1 A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 10．已知函数 f x 的定义域为 ， f x2 为偶函数， f x3 f x10，当x1,0 时， R 19 f xx1 ，则  f k（ ） k1 A．19 B．0 C．1 D．1 2024·山东济宁·一模 11．设函数 f(x)定义域为R， f(2x1)为奇函数， f(x2)为偶函数，当x[0,1]时， f(x)x21， 则 f(2023) f(2024)（ ） A．1 B．0 C．1 D．2 12．(多选)已知函数 的定义域为 ，若 ，且 为偶函数， ，则（ ） A． B．C． D． 2024·浙江·Z20第二次联考 13．函数 f x 是定义在R上的奇函数，满足 f 1x f 1x, f 11，以下结论正确的是 （ ） A． f 30 B． f 40 2023 2023 C．  f(k)0 D．  f(2k1)0 k1 k1 2024·河北张家口·一模 14．已知定义在R上的函数 f x 满足： f x f 2x2, f x f 4x0，且 f 02．若 2024 ，则  f(i)（ ） iN* i1 A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【巩固练习1】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，对任意x∈R都有 f (x+1)=f (1−x)，当f (−3)=−2时，则f (2023)等于（ ） A．2 B．−2 C．0 D．−4 f x f x13 【巩固练习2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 2023 f  f x2 为偶函数，当x1,2 时， f xax2b．若 f 1 f 01，则   2   （ ） 37 11 5 A． B． C． D． 2 12 12 6 3 【巩固练习3】2021全国甲卷（理）12题 设函数 f x 的定义域为R， f x1 为奇函数， f x2 为偶函数，当x1,2 时， f(x)ax2b． 9 若 f 0 f 36 ，则 f  2   （ ）9 3 7 5 A． B． C． D． 4 2 4 2 【巩固练习 4】（2024·内蒙古呼伦贝尔 ·二模）已知定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (2+x)−f (2−x)=4x． 若 f (2x−3)的 图 象 关 于 点 (2,1)对 称 ， 且 f (0)=0， 则 f (1)+f (2)+⋅⋅⋅+f (50)=（ ） A．0 B．50 C．2509 D．2499 【巩固练习5】（2024·全国·三模）(多选)已知函数 定义域为 且不恒为零，若函数 的图象关于直线 对称， 的图象关于点 对称，则（ ） A． B． C． 是 图象的一条对称轴 D． 是 图象的一个对称中心 【题型7】类周期函数与倍增函数 类周期函数的定义：若y＝f(x)满足：f(x＋m)＝kf(x)或f(x)＝kf(xm)，则y＝f(x)横坐标每增加m个单位， 则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数． 1、类周期函数 若 y f(x)满足： f(xm)kf(x)或 f(x)kf(xm)，则 y f(x)横坐标每增加m 个单位，则函 数值扩大k倍．此函数称为周期为m 的类周期函数． 2、倍增函数x 若函数 满足 或 f(x)kf( )，则 横坐标每扩大 倍，则函数值扩 y f(x) f(mx)kf(x) m y f(x) m 大k倍．此函数称为倍增函数． 2024·辽宁·二模 3 1 15．已知函数 f x的定义域为 ，满足 f x12f x0，且当x0,1时， f x x x2 ， R 4 2 8 2k1 则  f  的值为 ．  2  k1 1 16．定义在 上的函数 f x满足 f x1 f x，且当 x0,1时， f x1 2x1，当 R 2 1 13 x  4 , 4   时， y f x的值域为（ ） 1   1   1  A． 2 ,1   B．0,1 C． 16 ,1   D．  0, 16   17．已知定义在R上的函数y f x ，满足 f x2f x2 ，当x0,2 时， f x4x2x ， 11  若方程 f xa 在区间  2 ,  内有实数解，则实数 a 的取值范围为 . 【巩固练习1】设函数f (x)的定义域为R，且f (x+4)=2f (x)，当x∈(0,4]时，f (x)=2x2−8x， 3 若对于∀x∈(−∞,t]，都有f (x)≥− 恒成立，则t的取值范围是（ ） 2 A．(−∞,−7] B．(−∞,−5] C．(−∞,−3] D．(−∞,−1] 【巩固练习2】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数 y=f (x),x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有 af (x)=f (x+T)恒成立，此时T为f (x)的周期. 若y=f (x)是[1,+∞)上的a级类周期函数，且T=1， 当x∈[1,2)时，f (x)=2x+1,且y=f (x)是[1,+∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 （ ） [5 ) [5 ) A． ,+∞ B．[2,+∞) C． ,+∞ D．[10,+∞) 6 3 【巩固练习3】设函数f (x)的定义域为R，满足f (x)=2f (x−2)，且当x∈(0,2]时，f (x)=x(2−x)． 若对任意x∈(−∞,m]，都有f (x)≤3，则m的取值范围是（ ） ( 5] ( 7] ( 9] ( 11] A． −∞, B． −∞, C． −∞, D． −∞, 2 2 2 2【题型8】 由中心对称求出函数中间值 已知 f(x)奇函数M ，x[a,a]，则 （1） f(x) f(x)2M （2） f(x)  f(x) 2M max min  1 1 18． f x 是定义在R上的函数， f   x 2    2为奇函数，则 f 2023 f 2022 （ ） 1  1 A．－1 B． C． D．1 2 2 19．设 为奇函数，若 在 的最大值为3，则 在 的最小值为 . (x1)2 x3 20．函数 f(x) 在 上的最大值和最小值分别为 ，则 ______. x2 1 [2020,2020] M,m M m f xax7bx3x2cx2023 f 106 f 10 21．已知函数 ，且 ，则 ． 2 【巩固练习1】设 f x a 为奇函数，若gx f xsinxa在xm,m(m0)的最大 ex1 gx xm,m(m0) 值为3，则 在 的最小值为 . 【巩固练习2】（2024·高三·安徽·期中）函数 f x  x26x  sinx3xax0,6 的最大值 为M ，最小值为m，若M m8，则a ．f x x,yR, f xy f x f y2024 【巩固练习3】已知定义在R上的函数 满足 ，若函数 x 2024x2 gx  f x 2024x2 的最大值和最小值分别为M,m，则M m ． 【巩固练习4】已知函数 f(x)(2x2 4x3)(ex1 e1x)2x1在[0，2]上的最大值为M，最小值 为m，则M + m= ． 【巩固练习5】已知函数 ， ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 . 【题型9】由对称性求交点坐标的和 一、若 与 关于 对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 二、若 与 关于 对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和 ，纵坐标之和 为 22．定义在 上的函数 f x 满足 f 4xf x, f 2x1 为偶函数， f 12，函数 R gxxR 满足gxg2x ，若y f x 与ygx 恰有2023个交点，从左至右依次为 x,y ,x ,y ,， x ,y  ，则下列说法正确的是（ ） 1 1 2 2 2023 2023 A． f x 为奇函数 B．2为y f x 的一个周期 C．y 2 D．x x x x 2023 1012 1 2 3 2023 2024·湖北七市州·3月统考 23．（多选）我们知道，函数 y f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 y f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对4 称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数 f(x) ，则下列结论正确 y f(xa)b 2x 2 的有（ ） A．函数 f(x)的值域为(0,2] B．函数 f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形 C．函数 f(x)的导函数 f(x)的图象关于直线x1对称 D．若函数g(x)满足yg(x1)1为奇函数，且其图象与函数 f(x)的图象有2024个交点，记 2024 为 ，则 (x y)4048 A(x,y)(i1,2,,2024) i i i i i i1 2024·重庆一中·2月月考 24．已知定义在R上的函数 f(x)， f(x2)是奇函数， f(x1)是偶函数，当x[1,0]，  3 3 ， ， f   ，则下列说法中正确的有（ ） f(x)ax2bx f(1)2  2 4 A．函数 f(x)的最小正周期为4 B．函数 f(x)关于点(1,0)对称 C． f(2023) f(2025)0 D．函数g(x) f(x)ln|x|有8个不同零点 【巩固练习1】已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶函数， 若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则 ___________. f xxR f x1 y x22x3 【巩固练习2】已知函数 满足： 是偶函数，若函数 与函数 y f x 图象的交点为  x 1 ,y 1  ，  x 2 ,y 2  ，L ， x m ,y m  ，则横坐标之和 x 1 x 2 x m  （ ） A．0 B．m C．2m D．4m f x gx1 f 2x1 【巩固练习3】（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，若 为奇 2m1x1my3m0 f x  x,y   x,y  函数，且直线 与 的图象恰有5个公共点 1 1 ， 2 2 ， 5 x y  x ,y  x ,y  x ,y  i i 3 3 4 4 5 5 i15 x y  x ,y  x ,y  x ,y  i i 3 3 ， 4 4 ， 5 5 ，则 i1 . 【巩固练习4】定义在 上的函数 满足 ， ；且当 时， ．则方程 所有的根之和为（ ） A．6 B．12 C．14 D．10 【巩固练习5】已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， .函数 ，则 与 的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习6】定义在R上的函数 满足 ；且当 时， ．则方程 所有的根之和为（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【题型10】由解析式看出对称性 2024·湖南师大附中月考(四) 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 二、具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 1 f x 2cosx2023π 25．函数  在区间 上所有零点的和等于（ ） x1 [3,5] A．2 B．4 C．6 D．82024·福建泉州·质量监测（三）  2  26．已知函数 f xx2   1 ex1   ， gx满足 g13xg33x0 ， Gx f x2gx， 若Gx 恰有2n1  nN* 个零点，则这2n+1个零点之和为（ ） A．2n B．2n+1 C．4n D．4n2 2024·四川泸州·二模 27．定义域为R的函数 f x 满足 f x2 f x2 ，当x2,2 时，函数 f x4x2，设函数 g(x)e|x2|2x6 ，则方程 f xgx0的所有实数根之和为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2024·广州市铁一中·一模 1 28．已知函数 f xsin2πx x2 ，则直线 yx2 与 f x的图象的所有交点的横坐标之和为 （ ） A．0 B．8 C．12 D．16 【巩固练习1】已知函数 ，若 ，则 ． 【巩固练习2】已知函数 有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【巩固练习3】（2024·安徽阜阳·期末）若函数 （m，n为常 数）在 上有最大值7，则函数 在 上（ ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【巩固练习4】己知函数 ，则 __________.【巩固练习5】若函数 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【题型11】由对称性解函数不等式 一、具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 二、具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号 29．已知定义在R上的函数f(x)在 上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1 －x)＜2的解集为_________. 30．已知函数 的图象关于x1对称，且对 ，xR ，当 时 成立，若 对任意的 恒成立，则 a 的可取值为 xR ( )  2 2 A． B．-1 C．1 D. 【巩固练习1】已知函数 为偶函数，且在 上为增函数，若 ，则 x的范围是 ． 【巩固练习2】（2023·重庆八中）已知 为偶函数，若对任意 ， ，总 有 成立，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．【题型12】由解析式看出对称中心再解函数不等式 具有中心对称的函数往往需要先移项，再脱掉“f” 31．已知函数 在R上单调递增，则满足 的 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．已 知 函 数 ， 其 中 是 自 然 对 数 的 底 数 ， 若 ，则实数 的取值范围是________ 33．已知函数 ，若不等式 对任意 均成立， 则 的取值范围为 . 【巩固练习1】（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为 . 【巩固练习2】已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型13】由解析式看出对称轴再解函数不等式 具有轴对称的函数脱掉“f”后注意加绝对值符号34．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 35．（2024·山东青岛·三模）已知函数 ，则满足不等式 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知定义在R上的函数f (x)在(−∞,2]上单调递增，若函数f (x+2)为偶函数，且 f (3)=0，则不等式xf (x)>0的解集为（ ） A．(0,3) B．(−∞,0)∪(1,3) C．(−∞,0)∪(3,+∞) D．(0,1)∪(3,+∞) 【巩固练习2】已知函数 f x x2 2x 2x ，若不等式 f 1ax f  2x2 对任意xR 恒 成立，则实数a的取值范围是________. 【巩固练习3】设函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围 是 ． 【题型14】配凑后得出新函数的对称性 通过构造新函数来解决问题 36．（多选）定义在 上的函数 满足 ，函数 的图象关于 对称，则（ ） A．8是 的一个周期 B． C． 的图象关于 对称 D． 【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期 已知一个对称轴轴（中心）和周期的问题不能直接套用 sin，cos的函数来得出另一个对称中心 （轴） 2024·重庆·康德卷模拟调研卷（四） 37．已知 f x 是周期为3的函数，且xR都有 f 3x f 43x4，则 f 2024（ ） A．4 B．2 C．2 D．4 2024·广东·百日冲刺联（一模） 38．已知函数hx 的定义域为R，且满足hx1hx12,h2x 是偶函数，h20，若 103 ，则  h(n)（ ） nZ n103 A．202 B．204 C．206 D．208 2024·江苏徐州·一模 1 1 39．若定义在R上的函数 f x满足 fx2 f(x) f4， f 2x1是奇函数， f( 2 ) 2 则（ ） 17 1 1 17 1 A． f(k ) B．f(k )0 2 2 2 k1 k1 17 1 17 17 1 17 C． kf(k ) D．kf(k ) 2 2 2 2 k1 k1 2024·长沙市第一中·适应性演练(一） 40．（多选）已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x2) f(x) f(2026)，且 f(x1)1是奇函数.则 （ ） A． f(1) f(3)2 B． f(2023) f(2025) f(2024)2024 C． 是 与 的等差中项 D．  f(i)2024 f(2023) f(2022) f(2024) i1 【巩固练习 1】函数 的定义域为 ，且 ， ， ，则 . 【巩固练习2】已知函数 的定义域为 ，且满足 ， ， ，则 . 【巩固练习3】定义在 上的函数 满足 ， ， 若 ，则 ， . 【巩固练习 4】已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x2 f x f 8 ， f 2x1 为奇函数， 1 1 f   ， 2 2 则 （ ） 1 21 A． B． C．0 D． 11 2 2 【巩固练习5】定义在R上的函数 满足 ， ，若 ，则 ， ．【题型16】涉及导函数对称性问题 f(x) f '(x) f(x) 已知定义在D上的函数 ， 为 的导函数 1、若 f(x)关于xa对称，则 f '(x)关于 a,0 对称 【简证】因 f(x)关于xa对称，所以 f(x) f(2ax)， 同时求导得 f '(x)f '(2ax) f '(x) f '(2ax)0，故 f '(x)关于 a,0 对称 2、若 f(x)关于 a,b 对称，则 f '(x)关于xa对称（证明同上） 3、若 f '(x)关于xa对称，则 f(x)关于 a,b 对称 【简证】因为，导函数 f '(x)图象关于点xa对称，则 fx f2ax ． 即： f x f 2ax0 设：Fx f x f 2ax ，则F x f x f 2ax0 所以，Fxc(c为常数)， 所以bR,xD,F(x)2b. 即∀ xD, f(x) f(2ax)2b 所以 f(x)的图象关于点 a,b 对称． 4、若 f '(x)关于 a,0 对称，则 f(x)关于xa对称 【简证】因为，导函数 f '(x)图象关于点 a,0 对称，则 fx+ f2ax0． 设：Fx f x f 2ax ，则F x f x f 2ax0 所以，Fxc(c为常数)，又Fa f a f 2aa0 所以 f a f 2aa ， f(x)的图象关于xa对称． f '(x) f(x) f '(x) f(x) 注意：若而 为奇函数，那么 为偶函数，而 为偶函数，那么 不一定为奇函数 2024·山东淄博·一模 41．已知定义在R上的函数 f(x)， f(x)为 f(x)的导函数， fx 定义域也是 R，` f(x)满足 2024 ，则  f(i) . f(x1012) f(1013x)4x1 i12024·长沙一中高三月考试卷（七） f x f x f 3x4 f x gx 42．已知函数 的定义域为R，且满足 ， 的导函数为 ，函 3 数 y  gx1的图象关于点2,1中心对称，则 f  2   g2024（ ） A．3 B．3 C．1 D．1 2022新高考1卷第12题 3  43．（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 f  2x， f(x) f(x) R g(x) f(x) 2  g(2x)均为偶函数，则（ ）  1 A． B．g 0 C． D． f(0)0  2 f(1) f(4) g(1)g(2) 2024·福建福州2月质检 44．已知函数 f x 及其导函数 fx 的定义域均为R，记gx fx ．若gx2 的图象关于点 2,0 对称，且g2xg(2x1)g(12x)，则下列结论一定成立的是（ ） A． f x f 2x B．gxgx2 2024 2024 C． g(n)0 D．  f(n)0 n1 n1 2024·福建漳州·一模 x  45．已知可导函数 f x的定义域为 R ， f  2 1  为奇函数，设 gx是 f x的导函数，若 1 10 g2x1为奇函数，且g0 ，则 kg2k（ ） 2 k1 13 13 11 11 A． B． C． D． 2 2 2 2 2024·湖南邵阳·1月联考 46．已知函数 f x 与其导函数gx 的定义域均为R，且 f x1 和g2x1 都是奇函数，且 1 g0 ，则下列说法正确的有（ ） 3 A．gx 关于x=1对称 B． f x 关于 1,0 对称 i1 C．gx是周期函数 D．ig(2i)4 122024·湖南邵阳·一模 47．已知函数 f x 与其导函数gx 的定义域均为R，且 f xx与g12x 均为偶函数，则下列 说法一定正确的有（ ） f x A． f x关于 对称 B． 关于点0,1对称 x1 x C．gx2gx2 D． f 01 2024·湖南邵阳·二模 48．已知函数 f x 在R上可导，且 f x 的导函数为gx .若 f x4 f x2,g2x1 为奇函数， 则下列说法正确的有（ ） A．g10 B． f 20 2024 C． f 2 f 8 D．  f(i)4048 i1 2024·山东潍坊·一模 49．已知函数 f x 及其导函数 fx 的定义域均为R，记gx fx ，且 f x f x2x， gxg2x0，则（ ） f x A．g01 B．y 的图象关于点0,1对称 x n nn2 C． f x f 2x0 D． gk 2 （ nN* ） k1 【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导数 的定义域为 ，记 ，且 都为奇函数．若 ，则 （ ） A．0 B． C．2 D． f x gx 【巩固练习2】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数 及其导函数 的定义域均为R， f x1 g2x1 和 都是奇函数，则（ ） gx f x 1,0 x=1 A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称2024 gi2024 gx C． 是周期函数 D． i1 【巩固练习3】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，函数 的图象关于点 对称．若对任意 ，有 ， 则下列说法正确的是（ ） A． 不为周期函数 B． 的图象不关于点 对称 C． D． 【巩固练习5】（2024·河北·三模）(多选)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A． 的图象关于直线 对称． B． 的图象关于点 对称． C． D． 2024·山东聊城·一模 【巩固练习4】（多选）设 f x 是定义在R上的可导函数，其导数为gx ，若 f 3x1 是奇函数， 且对于任意的xR， f 4x f x ，则对于任意的kZ，下列说法正确的是（ ） A．4k都是gx 的周期 B．曲线ygx 关于点 2k,0 对称 C．曲线ygx 关于直线x2k1对称 D．gx4k 都是偶函数 【题型17】两个函数混合型 两个函数混合型的对称性和周期性问题一般先通过等式的加减运算消掉其中一个函数，得到只含有另外一个函数的等式，再分析对称性和周期 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 2024·湖南衡阳·二模 50．已 知 函 数 f x,gx 的 定 义 域 均 为 R,gx43是 奇 函 数 ， 且 gx f x22， f xgx64,g24，则（ ） A．g43 B． f x 为奇函数 175 C． gx2为偶函数 D． f k174 k1 2024·福建漳州第三次质检 51．已知函数 f x,gx 的定义域均为R, f 2x1 是奇函数，且 f xg3x4,ygx 的 图象关于x1对称， f 42，则 f 22g24（ ） A．4 B．8 C．4 D．6 【巩固练习1】2022全国乙卷第12题 已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R，且 f(x)g(2x)5,g(x) f(x4)7．若yg(x)的图像关 22 于直线 对称， ，则  f k（ ） x2 g(2)4 k1 A．21 B．22 C．23 D．24 【巩固练习2】（2024·四川南充·三模）已知函数f (x)、g(x)的定义域均为R，函数f(2x−1)+1 的图象关于原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0， 则f(2030)−g(2017)=（ ） A．−4 B．−3 C．3 D．4 【巩固练习3】（2024·湖南衡阳·三模）(多选)已知函数 ， 的定义域为 ，若函数 是奇函数，函数 是偶函数， ，且 .则下列结论正确的是 （ ） A．函数 图像关于直线 对称B．函数 为偶函数 C．4是函数 的一个周期 D． 【题型18】两个函数混合且涉及导数 找出一个函数的对称性或周期之后，可以从图像平移变换的角度来得出另一个函数的对称性或周期 2024·广东韶关·二模 52．已知定义在R上的函数 f x,gx 的导函数分别为 fx,gx ，且 f x f 4x ， f 1xgx4, fxg1x0，则（ ） A．gx 关于直线x1对称 B．g31 C． fx 的周期为4 D． fngn0nZ 2024·广州市铁一中·月考 1  53．（多选）已知函数 是偶函数， 是奇函数，且满足 f  x1g(x)，则下列结论正 f(x) g(x) 2  确的是（ ） 1  A． 是周期函数 B． 的图象关于点 ,0中心对称 g(x) f(x) 2  2022  i  1  C．  f  4044 D．y f  x是偶函数 2023 2  i1 2024·广东燕博园·3月联考 54．已 知 定 义 域 均 为 R的 函 数 f(x)与 g(x)， 其 导 函 数 分 别 为 f(x)与 g(x)， 且 g(3x) f(x1)2，g(x1) f(x1)，函数 f(x)的图像关于点M(3,0)对称，则（ ） A．函数 f(x)的图象关于直线x1对称 B．8是函数 f(x)的一个周期 C．g(5)2 D．g(2020)g(2024)42024·河南TOP二十名校·一模 55．（多选）已知定义在 上的函数 f x,gx ，其导函数分别为 f(x),g(x), R f(1x)6g(1x), f(1x)gr(1x)6，且gxgx4，则（ ） A．gx 的图象关于点 0,1 中心对称 B．gx4gx C． f6 f2 D． f 1 f 312 f x gx fx gx 【巩固练习1】（多选题）定义在R上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 gx f 3x2 fxgx1 gx2gx2 ， ，且 ，则下列说法中一定正确的是 （ ） gx2 fx2 A． 为偶函数 B． 为奇函数 2024 g(k)0 f x C．函数 是周期函数 D． k1 f x gx 【巩固练习2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在R上的函数 与 的导函数分 fx gx f x4gx2 gx2 fx f x2 别为 和 .若 ， ，且 为奇函数，则下列说法 正确的是（ ） f x g2023g20252 x1 A．函数 的图象关于直线 对称 B． 2023 2023  f k0 gk0 C． D． k1 k1 f x gx 【巩固练习3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为R，其导 fx gx f 3x2gx fxgx1 g2xgx0 函数分别为 ， ．若 ， ，且 ，则 （ ） gx2 f x 2,2 A．函数 为偶函数 B．函数 的图像关于点 对称2024 2024 gn0  f n4048 C． D． i1 i1 【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）设定义在 上的函数 f x 与gx 的导函数分别为 fx 和 R gx ，若 f x2g1x2， fxgx1 ，且gx1 为奇函数，则下列说法中一定正确 的是（ ） A． f x 是奇函数 B．函数gx 的图象关于点 1,0 对称 C．点 2k,2 （其中kZ）是函数 f x 的对称中心 2023 D． gk0 k1 【巩固练习5】（2024·湖北黄冈·三模）(多选)已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别 为 ， ， ， ，且 ，则（ ） A． 的图象关于点 中心对称 B． C． D． 【巩固练习6】（2024·安徽芜湖·三模）已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函 数分别为 和 ，且满足 ，且 ，则 （ ） A．1012 B．2024 C． D．