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热点专题 2-7 函数与方程
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年天津卷第15题，5分 从近几年高考命题来看，高
考对函数与方程也经常以不 （1）理解函数的零点与
2024年全国甲卷，第16题,5分
同的方式进行考查，比如： 方程的解的联系.
2023年天津卷第15题，5分 函数零点的个数问题、位置 （2）理解函数零点存在
问题、近似解问题，以选择 定理，并能简单应用.
题、填空题、解答题等形式 （3）了解用二分法求方
2021年北京卷第15题，5分
出现在试卷中的不同位置， 程的近似解．
且考查得较为灵活
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】求函数的零点
【题型2】求函数零点所在区间
【题型3】二分法求近似解
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
【题型5】 利用函数的零点所在区间求参数范围
【题型6】已知零点个数求参数范围
【题型7】比较零点的大小
【题型8】求零点的和
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】求函数的零点
函数的零点
1、函数零点的概念：对于一般函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的
零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．
【要点辨析】
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数 的图象与x轴交点的横坐标；
（3）函数 的零点就是方程 的实数根．
2、函数的零点与方程的解的关系
函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图象与 轴的公共点
的横坐标．所以方程 有实数根函数 的图象与 轴有交点函数
有零点．
3、函数零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，那么，函数
在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程
的解．
1．函数 的零点为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，故选:C.
【巩固练习1】函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】令 ，得 ，则 ．故选：A
【巩固练习2】
【巩固练习3】已知定义在 上的 是单调函数，且对任意 恒有
，则函数 的零点为（ ）
A． B． C．9 D．27
【答案】A
【解析】设 ，即 ，因为 ，可得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 .故选：A.
【题型2】求函数零点所在区间
判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
2．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 和 均是R上的增函数，所以函数 是R上的增函数，
又 ， ， ，
所以函数 的零点所在区间为 .故选：C.
【巩固练习1】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .【巩固练习2】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
【题型3】二分法求近似解
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分
法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
3．（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
【巩固练习1】一块电路板的 线段之间有 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落
造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）A． 次 B． 次
C． 次 D． 次
【答案】B
【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要 次检测，则 ，
即 ，因为 ，故 的最小值为 ，即至少需要检测 次.
【巩固练习2】已知函数 ，在区间 内存在一个零点，在利用二分法求函数
近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.
【详解】由函数 为单调递增函数，且在 内存在一个零点，
又由 ，则 ，
第一次用二分法，由 ，
因为 ，可得 ，即 ，可得 ，所以 ，
所以确定函数的零点所在区间为 ；
第二次用二分法，由 ，
因为 ，可得 ，即
所以 ，所以确定函数的零点所在区间为 ，
所以第二次求得的区间的中点值为 .
【巩固练习3】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性
可导函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方
程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程
，选取初始值 ，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】令 ，则 ，
令 ，即 ，可得 ，
迭代关系为 ，
取 ，则 ，
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且
，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）图象法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的
个数就是函数 的零点个数．
②两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，
则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数．
（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数
是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
4．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B
【解析】令 ，得 ，
画出函数 与 的图象，
可得这两个函数在 上的图象有唯一公共点，
故 的零点个数为1．故选：B
5．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】通过图形可以得出 有3个零点
【巩固练习1】函数 在定义域内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】函数 分别是R上的减函数和增函数，则函数 是减函
数，
而 ， ，
所以函数 在R上的零点个数是1.故选：B
【巩固练习2】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 与 都是偶函数，其中 ， ，
在同一坐标系中，作出函数 与 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
【巩固练习3】（2019·全国·高考真题）函数 在 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B【 解 析 】 令 ， 得 或 ， 再 根 据 x 的 取 值 范 围 可 求 得 零 点 . 由
，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3
【巩固练习4】已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意可知， 的零点个数可以转化为 和函数 的图象交点个数，
它们的函数图象如图所示.故选：C．
【题型5】 利用函数的零点所在区间求参数范围
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于
参数的不等式，解不等式，从而解决.
6．函数 在 上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【解析】令 ，
因为 ，
所以函数图象与 轴有两个交点，
因为函数 在 上存在零点，且函数图象连续，
所以 ，或 ，所以 ，或 ，
解得 或
7．函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
【巩固练习1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，
则命题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .
【巩固练习2】（2024·山西阳泉·三模）函数 在区间 存在零点．则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，所以实数m的取值范围是 .【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，
则实数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【解析】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .
【题型6】已知零点个数求参数范围
已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转
化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．
求函数的零点个数就是求函数图象与 轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可．如果函数图象
不易作出，可将函数转化为 的结构，然后转化为 与 的图象交点个数的问题．
解决步骤
第一步：将函数化为 的形式， 与 一个含参，一个不含参．
第二步：画出两个函数的图象．
第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围．
8．若函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由 ，得 ，
因为函数 有两个不同的零点，
则当 时，函数 还有一个零点，
因为 ，所以 ，
所以实数a的取值范围是 .故选：A
9．函数 有且只有一个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得，问题等价于 与 有且只有一个交点.
分别作图如下：
考虑他们的临界情况，即 与 相切时，如上图，即 与 相切时，
仅有一个交点.
设切点为 ，
则 ，
所以 ， ，所以 ，即 ，
但因为 与 有且仅有一个交点，
所以 ，即
【巩固练习1】若函数 有2个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ．
设函数 ，作出 的大致图象，如图所示．
函数 有2个零点，即函数 与函数 的图象有两个交点，
由图可知，m的取值范围是 ．
【巩固练习2】已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程 有三个不同的实数根，即函数 与函数 的图象有三个不同交点.
作函数 的图象如下图所示，
由图可得， .所以实数 的取值范围是： .故选：B.
【巩固练习3】已知函数 ， ．若 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 时， ，函数在 上单调递减， ，
令 可得 ，作出函数 与函数 的图象如图所示：
由上图可知，当 时，函数 与函数 的图象有2个交点，
此时，函数 有2个零点．因此，实数a的取值范围是 ．故选：D．
【题型7】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想.
10．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 ，函数 的零点
分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，作出
函数 的图象，结合函数图象即可得解.
【详解】分别令 ，
则 ，
则 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，
分别作出函数 的图象，如图所示，由图可知， .
【巩固练习1】（2024·广东梅州·二模）三个函数 ， ，
的零点分别为 ，则 之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数 ， ， ， 都是增函数，
所以函数 ， ， 均为增函数，
因为 ，
所以函数 的零点在 上，即 ，
因为 ，
所以函数 的零点在 上，即 ，
因为 ，
所以函数 的零点在 上，即 ，
综上， ．
【巩固练习2】（2024·海南·模拟预测）已知正实数 满足 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断.
【详解】因为 ，即 ，
由题意可知： 为 与 的交点横坐标；
为 与 的交点横坐标；
为 与 的交点横坐标；
在同一平面直角坐标系中作出 的图象，
由图可得： .
【巩固练习3】设正实数 分别满足 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出 的图像，利用图像和 图像交点的横坐标比较大小即可.
【详解】由已知可得 ， ， ，
作出 的图像如图所示：
它们与 交点的横坐标分别为 ，
由图像可得【题型8】求零点的和
结合函数的对称性以及交点个数，数形结合
11．（2024·青海西宁·二模）函数 的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】令 两个解为零点，将零点问题转换成 ， 两个函数的交
点问题，作图即可求出零点，且 和 的图象关于 对称，零点也关于 ，即可求出所
有零点之和.
【详解】令 ，得 ，解得 或 ，即为零点，
令 ， ，
的周期 ，对称轴 ，且 的对称轴 ，
做出 和 的图象如图所示：
显然， 在 和 上各存在一个零点，
， ，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在 上有两个零点，同理 在 上存在两个零点，
所以 在 上存在6个零点，
因为 和 关于 对称，则 零点关于 对称，
所以 的所有零点之和为 .【巩固练习1】（多选）记函数 ，若 （ ， ， 互不相
等），则 的值可以是（ ）
A． B．6 C．8 D．9
【答案】BC
【分析】作出函数 的图象，令 ，结合图象得到 ，
利用指数函数的性质可求解.
【详解】作出 的图象，如图：
令 ，根据图象知，
实数 的取值范围为 ，且 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
结合选项知， 的值可以是6，8.
【巩固练习2】函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【答案】A
【分析】令 ，即 ，构造函数 与函数 ，画出函数图象，可知
两个函数图象相交于两点，设为 ，得 ，进而得到 ，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 的实数根，令 ，
则 ，显然 ，所以 ，
构造函数 与函数 ，则方程 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 有两个零点，
设为 ，所以 ， ，即 ，
另外发现，将 代入，可得 ，
所以 也是函数 的零点，说明 ，即 .
故选:A.
