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专题 2-1 函数的基本概念（解析式，定义域，值域）
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2021年浙江卷：第12题，5分 函数的解析式与定义域、值域 (1)了解函数的含义，会求
问题是高考数学的必考内容.从 简单函数的定义域和值域
近几年的高考情况来看，高考 (2)会根据不同的需要选择
2022年浙江卷：第14题，5分 对函数的概念考查相对稳定， 恰当的方法(图象法、列
考查内容、频率、题型、难度 表法、解析法)表示函数
均变化不大，函数的解析式在 (3)了解简单的分段函数，
2023年北京卷：第11题，5分
高考中较少单独考查，多在解
并会应用
答题中出现.高考对本节的考查
不会有大的变化，仍将以分段
2024年上海卷，第2题,5分
函数、定义域、值域及最值为
主.
模块一
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应
关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数，记作y=f(x).
热点题型解读（目录）
1．下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
2．下列图象中，表示函数关系 的是（ ）
3．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）A． B． C． D．
【巩固练习1】下列图象中，能表示函数y=f (x)图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【巩固练习2】设集合 ， .下列四个图象中能表示从集合 到集合
的函数关系的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【题型2】 同一函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
4．（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是
A． B．
y=√x2 y=lg10x
x2
C．y= D．y=√(x−1) 2+1
x
【巩固练习1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f (x)＝elnx ，g(x)＝x
x2−4
B． f (x)＝ ,g(x)＝x－2
x+2
sin2x
C．f (x)＝ ,g(x)＝sinx
2cosx
D．
f (x)＝|x|，g(x)＝√x2
【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
x2
A．f(x)=x,g(x)= B．f(x)=x(x∈R),g(x)=x(x∈Z)
x
C． D．
f(x)=|x|,g(x)=¿ f(x)=x,g(x)=(√x) 2
【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
5．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式
【巩固练习1】已知二次函数 满足 ，且 .求 的解析式
【巩固练习2】已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)= ．
【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则
f(2)= ．【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）
已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过
解方程组求出f(x).
6．（广东深圳实验校考）已知函数 满足 ， 且 ，则
.
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知 ，则 .
【巩固练习2】若对任意实数 ，均有 ，求 .
【巩固练习3】已知定义在 上的函数 满足 ，则函数 的解析式
.
【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
7．函数 满足若 ，则 （ ）
f (x) f (g(x))=9x+3，g(x)=3x+1 f (x)=
A．f (x)=3x B．f (x)=3C．f (x)=27x+10 D．f (x)=27x+12
8．若函数 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
1−x2
【巩固练习1】已知函数f (1−x)= (x≠0)，则f (x)=（ ）
x2
1 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
【巩固练习2】已知函数f (x)满足：f ( x− 1) =x2+ 1 ，则f (x)的解析式为（ ）
x x2
A．f (x)=x2+2 B．f (x)=x2
C．f (x)=x2+2(x≠0) D．f (x)=x2−2(x≠0)
【巩固练习3】设函数 ，则 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】求具体函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不
等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
9．函数 的定义域为________10．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______
√3−x
【巩固练习1】函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【巩固练习2】函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
x f (x−1)
【巩固练习3】（2024·山东泰安·三模）已知函数f (x)= ，则函数 的定义域为
√2x−4x x+1
（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,−1)
C．(−∞,−1)∪(−1,0) D．(−∞,−1)∪(−1,1)
【题型7】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义
域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的
值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较
容易.
1
11．若函数f (x)= 的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
√kx2+kx+1
A．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]
12．若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【巩固练习1】已知函数f (x)=√mx2+(m−3)x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是
（ ）
A．[1,9] B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞) D．{3}
【巩固练习2】已知函数f(x)=√(a2−1)x2+(a+1)x+1的定义域为R，则实数a的取值范围为
（ ）
[ 5] [5 )
A． −1, B．(−∞,−1)∪ ,+∞
3 3
[5 ) [5 )
C． ,+∞ D．(−∞,−1]∪ ,+∞
3 3
【巩固练习3】已知函数f (x)的定义域{x∣a2−4a1值范围为（ ）
A．[−1,2) B．[−1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)
【巩固练习1】（2023苏州中学高一校考）设函数 ，若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
【巩固练习3】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
