专题 2-1 函数的基本概念（解析式，定义域，值域）
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2021年浙江卷：第12题，5分 函数的解析式与定义域、值域 (1)了解函数的含义，会求
问题是高考数学的必考内容.从 简单函数的定义域和值域
近几年的高考情况来看，高考 (2)会根据不同的需要选择
2022年浙江卷：第14题，5分 对函数的概念考查相对稳定， 恰当的方法(图象法、列
考查内容、频率、题型、难度 表法、解析法)表示函数
均变化不大，函数的解析式在 (3)了解简单的分段函数，
2023年北京卷：第11题，5分
高考中较少单独考查，多在解
并会应用
答题中出现.高考对本节的考查
不会有大的变化，仍将以分段
2024年上海卷，第2题,5分
函数、定义域、值域及最值为
主.
模块一
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应
关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数，记作y=f(x).
热点题型解读（目录）
1．下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
2．下列图象中，表示函数关系 的是（ ）
3．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）A． B． C． D．
【巩固练习1】下列图象中，能表示函数y=f (x)图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【巩固练习2】设集合 ， .下列四个图象中能表示从集合 到集合
的函数关系的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【题型2】 同一函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
4．（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是
A． B．
y=√x2 y=lg10x
x2
C．y= D．y=√(x−1) 2+1
x
【巩固练习1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f (x)＝elnx ，g(x)＝x
x2−4
B． f (x)＝ ,g(x)＝x－2
x+2
sin2x
C．f (x)＝ ,g(x)＝sinx
2cosx
D．
f (x)＝|x|，g(x)＝√x2
【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
x2
A．f(x)=x,g(x)= B．f(x)=x(x∈R),g(x)=x(x∈Z)
x
C． D．
f(x)=|x|,g(x)=¿ f(x)=x,g(x)=(√x) 2
【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
5．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式
【巩固练习1】已知二次函数 满足 ，且 .求 的解析式
【巩固练习2】已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)= ．
【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则
f(2)= ．【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）
已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过
解方程组求出f(x).
6．（广东深圳实验校考）已知函数 满足 ， 且 ，则
.
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知 ，则 .
【巩固练习2】若对任意实数 ，均有 ，求 .
【巩固练习3】已知定义在 上的函数 满足 ，则函数 的解析式
.
【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
7．函数 满足若 ，则 （ ）
f (x) f (g(x))=9x+3，g(x)=3x+1 f (x)=
A．f (x)=3x B．f (x)=3C．f (x)=27x+10 D．f (x)=27x+12
8．若函数 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
1−x2
【巩固练习1】已知函数f (1−x)= (x≠0)，则f (x)=（ ）
x2
1 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
【巩固练习2】已知函数f (x)满足：f ( x− 1) =x2+ 1 ，则f (x)的解析式为（ ）
x x2
A．f (x)=x2+2 B．f (x)=x2
C．f (x)=x2+2(x≠0) D．f (x)=x2−2(x≠0)
【巩固练习3】设函数 ，则 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】求具体函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不
等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
9．函数 的定义域为________10．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______
√3−x
【巩固练习1】函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【巩固练习2】函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
x f (x−1)
【巩固练习3】（2024·山东泰安·三模）已知函数f (x)= ，则函数 的定义域为
√2x−4x x+1
（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,−1)
C．(−∞,−1)∪(−1,0) D．(−∞,−1)∪(−1,1)
【题型7】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义
域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的
值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较
容易.
1
11．若函数f (x)= 的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
√kx2+kx+1
A．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]
12．若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【巩固练习1】已知函数f (x)=√mx2+(m−3)x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是
（ ）
A．[1,9] B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞) D．{3}
【巩固练习2】已知函数f(x)=√(a2−1)x2+(a+1)x+1的定义域为R，则实数a的取值范围为
（ ）
[ 5] [5 )
A． −1, B．(−∞,−1)∪ ,+∞
3 3
[5 ) [5 )
C． ,+∞ D．(−∞,−1]∪ ,+∞
3 3
【巩固练习3】已知函数f (x)的定义域{x∣a2−4a<x<a2−8}是关于x的不等式
的解集的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
[2+√6,+∞) ¿
C． D．
(2,2+√6] (2,3]
【题型8】抽象函数的定义域问题
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.
[1，2]
13．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
14．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A．[−2，3] B．[−1，4] C．[0，5] D．[−4，1]
15．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
A． B． C． D．
[1，2]
【巩固练习1】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________
【巩固练习2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
f (2x)
【巩固练习4】（2024·陕西西安·一模）若函数f (x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)= 的定义
x
域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【题型9】分离常数法求值域
一次分式函数：分离常数法+图像法，形如 的函数
第一步：分离常数，将分子变为常数
分离出常数 和分子为常数的分式第二步：结合反比例函数 的值域求函数 的值域．
16．函数 的值域为________
【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数 的值域为________
【题型10】换元法求函数的值域
求根式型函数值域：换元法
形如 的函数
第一步：把函数中的根式 设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围．
第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数．
第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域．
17．函数 的值域是 ．
【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】函数 的值域为（ ）A． B．
C． D．
【巩固练习3】（2024·湖北·三模）函数y=x−√4x−x2的值域为（ ）.
A．[2−2√2,4] B．[0,4] C．[0,2+2√2] D．[2−2√2,2+2√2]
【题型11】对勾函数值域问题
对于对勾函数 ，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现
（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域
1
18．求函数
y=x+
的值域．
x
1
19．求函数
y=2x+
的值域．
x
1 1
（1） x∈( ，+∞) （2） x∈[−3，− ]
2 2
3
【巩固练习1】求函数
y=x+ +2
的值域．
x4
【巩固练习2】求函数
y=x+
的值域．
x
1
（1） （2）
x∈( ，4)
x∈(1，+∞) 2
【题型12】已知值域求参数范围
这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值。这个例题中，可以通过
判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关
系求得参数。
1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析。
2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别
不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要 get到的是：为了让值域能达到
XX，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提
供的少了那可就真不够了。
3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合。
20．若函数 的值域为 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
21．（2023上·宁波·余姚中学高一校考）已知函数 的值域为 ，则函数
的定义域为________
【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）已知函数 的值域为 ，求实数k的取值范围 ．
【巩固练习2】（2023·山东省实验中学校考）已知函数 的定义域与值域均为 ，
则实数 的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
【题型13】分段函数及其应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分
别解决，即分段函数问题，分段解决．
22．（2024·吉林长春·三模）已知函数f(x)=¿，则f (−3)=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
23．（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（
0≤t≤2）左侧的图形的面积为f (t)．则函数y=f (t)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2|x−a|,x≤1
24．（2024·江西南昌·一模）设函数f(x)={ ，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取
x+1,x>1值范围为（ ）
A．[−1,2) B．[−1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)
【巩固练习1】（2023苏州中学高一校考）设函数 ，若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
【巩固练习3】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
