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重难点突破 05 嵌套函数
我们把形如 或 的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函
数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式:
" 型
这一类型是同一个函数 自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换
元,即设 ,然后根据题设条件解出相应 的值或范围,最后利用函数 或利用函数
与 的图像关系解得问题.
“ 型
这一类型是两个函数 的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函
数”换元,即设 ,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是 的自
变量,或利用 与 两个函数的性质,或做出并利用 与 两个
函数的图像来解决问题.
在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因
其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核
心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.
一．选择题（共11小题）
1．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ．若关于 的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．已知函数 为自然对数的底数，则函数 的零
点个数为
A．5 B．6 C．7 D．3
3．已知函数 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
4．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函数 ，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同
的零点x ，x ，x ，x 且x ＜x ＜x ＜x ，则x +x +x +x 的取值范围为（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
A． B． C． D．（0，+∞）7．已知函数 ，函数 恰有5个零点，则 的取值
范围是
A． B． C． ， D．
8．已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．1 B．0 C．2 D．3
9．已知函数 ，则函数 零点个数最多是
A．10 B．12 C．14 D．16
10．已知函数 则 解的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数 ， ，若 有6个零点，则
的取值范围为
A． B． C． ， D．
二．多选题（共4小题）
12．已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的说法中，
正确的是
A．当 ，有1个零点 B．当 时，有3个零点C．当 ，有4个零点 D．当 时，有7个零点
13．若函数 和 的定义域都是 ，且关于 的方程 有实数解，则下列式
子中可以是 的是
A． B． C． D．
14．已知函数 和函数 ，关于 的方程
有 个实根，则下列说法中正确的是
A．当 时， B．当 时， C． ，
D． ，
15．已知函数 ，若 ，则下列说法正确的是
A．当 时， 有4个零点 B．当 时， 有5个零点
C．当 时， 有1个零点 D．当 时， 有2个零点
三．填空题（共5小题）
16．设函数 ， 若函数 有六个不同的零
点，则实数 的取值范围为 ．
17．已知函数 ，若函数 有5个零点，则实
数 的取值范围是 ．18．已知函数 ，若 有六个零点，则实数 的取值范围
是 ．
19．已知函数 ，若 有三个零点，则 ．
20．已知函数 ，若函数 有三个零点，则 ．
