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重难点突破 05 含参导数的分类讨论
一、当导函数 对应 的值含有参数,不能区分大小时,需要对导函数方程根的
大小,即 的值进行分类讨论,从而得到对应所求函数的单调性.
对导函数方程根分类讨论的解题思路一般为:
(1)对原函数解析式求导,令导函数 ,求出对应的 和 ;
(2)分三种情况分类讨论 的大小关系,判断不同区间对应导数的正负;
(3)通过分类讨论情况,综合得到所求的函数单调性及单调区间.
二、当导函数属于一元二次函数类型时,需要对 对应的判别式 的大小进行分类
讨论,根据 与0的大小关系判断实数根的个数,从而对函数单调性作出解答.
根据判别式讨论函数单调性问题,基本思路为:
(1)求出导函数解析式,判断判别式的符号的正负;
(2)讨论 大小对应情况,从而确定方程 实数根的个数;
(3)结合实数根对应不同的具体图象,从而判断函数的单调区间.
三、当导函数类型不明确时,参数的不同情况会导致函数导函数类型不同,因此当参数决定导
函数类型时,应对参数进行分类讨论从而判断对应函数的单调区间。
以导函数类型为依据的分类讨论解题思路一般为:
(1)对所求函数求导,得到具体到函数解析式;
(2)对参数进行分类讨论,探讨不同类别导函数在规定区间的具体值,判断对应函数单调区间;
(3)综合所有情况,对函数的单调区间做出总结,即对应问题所求.
1．（2023春•商洛期末）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 ， 上的最值；
（2）讨论 的单调性．【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
当 时， ，
可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极大值，极大值 ，
当 时，函数 取得极小值，极小值 （2） ，
又 ， （4） ，
所以 在 ， 上的最大值为32，最小值为 ；
（2）易知 ，
若 ，即 时，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
若 ，即 时， ， 单调递增；
若 ，即 时，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
综上，当 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减．
2．（2023春•荔湾区期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
【解答】解：（1） ，
，
当 时， ，
令 得 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
当 时，令 得 或 ，
①若 ，即 时，
在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，在 ， 上 ， 单调递增，
②若 ，即 时，
在 上 ， 单调递增，
在 ， 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，
③若 ，即 时， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 ， ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
当 时， 在 单调递增．
3．（2023春•朝阳期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以在 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，
当 时，令 ，得 ，所以在 上， ， 单调递增，
在 ， 上， ， 单调递减，
所以当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减．
4．（2023春•铁西区校级期中）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 ， 上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数 的单调性．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
令 ，得 或 ，
所以在 上， ， 单调递减，
在 ， 上， 单调递增，
，
，
（1） ，
（4） ，
所以 ， ．
（2） ，令 得 或 ，
当 ，即 时， ，
所以 在 上单递增，
当 ，即 时，
在 ， 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
当 ，即 时，
在 ， 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单递增，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
5．（2023春•越秀区校级月考）设函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明：当 时， 的图象与 的图象有2条公切线．
【解答】解：（1） ，
，
令 ， ，△ ，且 ，
方程 的根为 或 ， ，
所以在 上 ， ， 单调递增，
在 ， 上 ， ， 单调递减．
（2）证明：设 ， ， ， 分别是 ， 图象上的点，
所 以 在 ， 处 的 切 线 方 程 为 ， 即
，
所以 在 ， 处的切线方程为 ，
在 ， 处的切线方程为 ，即 ，
所以 在 ， 处的切线方程为 ，
若 和 有共切线，则 ，
所以 ，
若 的图象与 的图象有2条公切线．则 有两个根，
令 ，，
，
所以 在 上单调递减，
又 （1） ， （2） ，
所以存在 使得 ，即 ，即 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 ， 上 ， 单调递减，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以当 时，方程 有两个根，得证．
6．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数 ．
（1）若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围．
（2）求 的单调区间．
【解答】解：（1）由题意得 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，满足题意；
当 时，由 得 （不符合题意，舍去）或 ，要使 在 ， 上单调递增，则 ，即 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ；
（2）由（1）得当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递增，
由 得 ，即 在 单调递减．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
7．（2023•中卫一模）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【解答】解：（1） 的定义域为 ， ， ．
当 时， ，则 ，
当 时 ，可知 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，今 ，得 ．
因为 ，所以 为偶函数，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，；
8．（2023春•怀仁市期末）已知函数 ， ．
（1）若 时，求 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性．
【解答】解：（1）当 时， ， ， ，
，
切线方程为： ，即 ．
（2）因为 ， ，
所以 ．
①当 时，令 ，得 ， 在 上单调递减；
令 ，得 ， 在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ， 在 上单调递减；
令 ，得 或 ， 在 和 上单调递增，
③当 时， 在 时恒成立， 在 单调递增；
④当 时，令 ，得 ， 在 上单调递减；
令 ，得 或 ， 在 和 上单调递增．
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增．
9．（2023春•芗城区校级月考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
【解答】解：（1） ，函数定义域为 ， ，
若 ，则 ， 在 递增，
若 ， ，解得： ， ，解得： ，
在 单调递减，在 单调递增．
10．（2023春•唐山期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有且仅有2个零点，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
时， 恒成立， 在 上是增函数；
时， 时， ， 是减函数， 时， ， 是增函数；
综上， 时， 在 上是增函数， 时， 在 上是减函数，在
上是增函数；
（2）当 时，由（1）得 在 上是增函数，不符合题意；
当 时，由（1）得 ；①当 时， ， 只有一个零点，不符合题意；
②当 时， ，故 在 有一个零点，
又 在 上是增函数，
设 （a） （a） ， （a） （a） ， （a） （1）
，
（a）在 单调递增， （a） （1） ，
（a）在 单调递增， （a） （a） （1） ，
设 ，由 知，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
（1） ，即 ，
故 在 有一个零点，故函数有两个零点；
③当 时， ，故 有一个零点，
又 在 上是减函数， ，由②得 ，
故 在 有一个零点，故函数有两个零点；
综上， 或 ，
实数 的取值范围为 ， ， ．
11．（2023春•锦州期末）已知函数 ．
（1）若 是函数 的极小值点，求 的值；
（2）讨论 的单调性．【解答】解：（1） ，
令 ，得： ， ，
由于 是函数 的极小值点，所以 （1） ，即 ，
此时因为 时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
所以 是函数 的极小值点，故 满足题意．
（2） 时 或 ，
时， 的解为 或 ，此时 在 ， 和 ， 上单调递增；
的解为 ，此时 在 ， 上单调递减；
时， 的解为 或 ，此时 在 ， 和 上单调递增；
的解为 ，此时 在 ， 上单调递减；
时， 恒成立，此时 在 上单调递增．
12．（2023春•斗门区校级月考）已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）讨论函数 在 ， 上的单调性．
【解答】（1）解：由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，无极大值；
（2）解：由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，对于任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ；
当 时，由 ，可得 ；由 ，可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 ，
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ．
13．（2023春•青山区校级月考）已知 ，函数 ，其中 是自
然对数的底数．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间．
【解答】解：（1）当 时， ，
则 ， （1） ，
又 （1） ，
所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，即
．（2）当 时， ，
则
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数 ．
（1）当 时，求 曲线在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
【解答】解：（1） 时， ，
则 ，
故 （1） ， （1） ，
故切线方程是： ，即 ；
（2）因为 ，
对 求导， ， ，
①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 ，由于 ，所以 恒成立，此时 在 上单调递增；
③当 时，令 ，解得 ，
因为当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．综上可知，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
15．（2023春•忠县校级月考）已知函数 ．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≤0，试讨论函数f（x）的单调性
【解答】解：（1）由题意a＝1时，函数 ，
则有f'（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）， ，
故所求切线方程为 ，即15x﹣3y﹣25＝0；
（2）f'（x）＝x2+2ax﹣3a2＝（x+3a）（x﹣a），且x （﹣∞，+∞），
当a＝0时，f'（x）＝x2≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞∈ ）单调递增．
当a＜0时，x （﹣∞，a）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
x （a，﹣3a）∈时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；
x∈（﹣3a，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综∈上，当a＝0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，a），（﹣3a，+∞）；
函数f（x）单调递减区间为（a，﹣3a）．
16．（2023春•顺义区期中）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）已知 ， ，函数定义域为 ，
可得 ，
当 时， 恒成立， 在定义域上单调递增；当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
（Ⅱ）由 得，当 时， 在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
当 时， ， 时， ，
若函数有两个零点，则 ，
解得 ，
故 的取值范围为 ．
17．（2023春•江苏月考）已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
【解答】解：（1）由题意得函数的定义域为 ， ，
当 时，由 得 ，由 得 ，
在 内单调递减，在 内单调递增，当 时，由 得 或 ，
当 时，由 得 ，由 得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
当 时， 恒成立，
在 内单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递减，在 及 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递减，在 及 内单调递增；
18．（2023•德州三模）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
【解答】解：（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，
所以 （1） ，
又 （1） ，所以函数 在 ， （1） 处的切线方程为 ，即 ．
（2） 的定义域是 ，
， ，
令 ，则△ ．
①当 或△ ，即 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增．
②当 ，即 时，
由 ，得 或 ；
由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时 ， 在 和 上 单 调 递 增 ， 在
上单调递减；
19．（2023春•青岛期中）设函数 ．
（1）求 的单调区间；【解答】解：（1）因为 定义域为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
20．（2023春•全南县校级期末）已知 ， ．
（1）求 的单调区间；
【解答】解：（1） ，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
当 时，令 得 ，
所以在 上 ， 单调递减，
在 ， 上 ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
21．（2023春•湛江期末）已知函数 ， 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
【解答】解：（Ⅰ） 函数 ， 为自然对数的底数），
的定义域为 ， ，当 时， ， 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，
当 ， 时， ，当 ， 时， ，
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
综上，当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
22．（2023 春•博白县校级期中）已知函数 ，其中 ，
为 的导函数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，试讨论函数 在 上的零点个数．
【解答】解：（1）函数 ，定义域为 ，
则 ，
①当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时， 在 恒成立，所以 在 上单调递增；④当 时，令 得 ；令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）①当 时， 在 上单调递增， （1） ，故 在 上没
有零点；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
要使 在 上有零点，则 ，解得 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
由于 （1） ， ．
令 ，
令 ，
则 ，所以 （a）在 上单调递减，
故 （a） （2） ，即 （a） ，
所以 （a）在 上单调递增， ，所以 在 上没有零点．
综上所述，当 时， 在 上有唯一零点；
当 时， 在 上没有零点．
23．（2023春•越秀区校级期末）已知函数 ，其中 ．
（1）求函数 的单调区间；
【解答】解：（1） ，
令 得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，
当 时， 或 时， ，
时， ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递
减，
当 时， 或 时， ， 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
24．（2023春•怀仁市校级期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；【解答】解：（1） 的定义域为 ， ，
①当 时，令 ， ，则 在 单调递增，在 ， 单调递减，
②当 时，△ ，
当△ 时，即 时， 在 单调递增，
当△ 时， 或 ，
此时方程 有两个实根 ， ，
， ，
当 时， ， ，
则 在 单调递增，在 ， 单调递减，
当 时， ， ，
则 在 单调递增，在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
综上，当 时， 在 单调递增，在 ， 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 ， 单调递减，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递增，在 ， 单调递减，在
， 单调递增．
