文档内容
热点专题 3-2 切线问题综合
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年甲卷第6题，5分
2024年新高考I卷第13题，5
分 （1）求在某处的切线
（2）设切点求过某点的
2023年甲卷第8题，5分 考察导数的几何意义，切线的
切线以及公切线
相关计算求值求参
2022年I卷第15题，5分 （3）利用切线的条数求
参数范围
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分
模块一 热点题型解读（目录）
总览
【题型1】求在曲线上一点的切线
【题型2】求过某点的切线
【题型3】已知切线斜率求参数
【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
【题型6】切线斜率取值范围问题
【题型7】公切线问题
【题型8】由切线条数求参数范围
【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题
【题型11】牛顿迭代法
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】求在曲线上一点的切线
函数 在点 处的切线方程为 ，抓住关键1．（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面
积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数 ，则曲线 在 处的切
线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知曲线 在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．2
【巩固练习2】（23-24高三·福建宁德·期末）已知函数 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【题型2】求过某点的切线
【方法技巧】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．
3．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2022年新高考全国I卷T15）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．【巩固练习1】已知直线 是曲线 的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点 ，
则 .
【巩固练习3】(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的
切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【巩固练习4】（23-24高三·广东·期中）过点 作曲线 的两条切线 ， .设 ， 的夹角为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型3】已知切线斜率求参数
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点
处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则
的值为 .
6．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （
）
A． B． C．1 D．2
7．（2024·全国·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.【巩固练习1】（23-24高三·山西晋城·期末）过原点O作曲线 的切线，其斜率为2，
则实数 （ ）
A．e B．2 C． D．
【巩固练习2】（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线
相切，则 ．
【巩固练习3】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函数 与 在 处有相同
的切线，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【巩固练习4】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 是曲线 和 的
公切线，则实数a= ．
【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
8．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知 是函数 图象上的任意一点，则点 到直线
的距离的最小值是（ ）
A． B．5 C．6 D．
9．（23-24高三·广东惠州·阶段练习）已知点 在函数 的图象上，则 到直线
的距离的最小值为 ．
【巩固练习1】（23-24高三·河南南阳·阶段练习）点P是曲线 上一个动点，则点P到直
线 的距离的最小值是（ ）A． B． C． D．
【巩固练习2】（23-24高三·河北石家庄·阶段练习）曲线 上的点到直线
的最短距离是（ ）
A． B． C． D．1
【巩固练习3】（23-24高三·河南·阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，
选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活
中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上
点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点 是曲线 上任意一点，则 到
直线 的距离的最小值为 .
【巩固练习4】（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线 和直线 上的
点，则 的最小值为 .【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
10．已知 为奇函数，且当 时， ，其中 为自然对数的底数，则曲线 在
点 处的切线方程为 ．
11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线
在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·湖北·一模）已知函数 为偶函数，其图像在点 处的切线方程为
，记 的导函数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【巩固练习1】已知 是奇函数，当 时， ，则函数 的图象在 处的切
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数 为奇函数，其图象在点 处的切
线方程为 ，记 的导函数为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．【巩固练习3】（2024·山东济宁·三模）已知函数 为偶函数，当 时， ，
则曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当
时， ，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【巩固练习5】（23-24高三·广东深圳·期中）已知函数 与偶函数 在交点
处的切线相同，则函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6】切线斜率取值范围问题
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
13．点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·河南洛阳·二模）已知点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角
的取值范围是 .
【巩固练习1】过函数 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）A． B．
C． D．
【巩固练习2】（22-23高三·江苏镇江·阶段练习）点 在曲线 上移动，设点 处
切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】公切线问题
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
公切线问题主要有以下3类题型
（1）求2个函数的公切线
解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解
（2）2个函数存在公切线，求参数范围
解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题
（3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围
解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题
15．(浙江绍兴二模T15)与曲线 和 都相切的直线方程为__________.
16．（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
17．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（23-24高三·江西吉安·期末）函数 与函数 公切线的斜率为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【巩固练习2】已知直线 是曲线 与曲线 的公切线，则
的值为 .
【巩固练习3】已知直线 与曲线 和 均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角
形的面积为___________.
与坐标轴交点分别为 ，围成的三角形面积为： .
【巩固练习4】已知函数 ，若曲线 与曲线 存在公切
线，则实数 的最大值为__________．
【巩固练习5】（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，
则实数 的值为（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
【巩固练习6】(长沙雅礼中学月考（六）)已知函数 ， ，若直
线 与函数 ， 的图象均相切，则 的值为________；若总存在直线与函数
， 图象均相切，则 的取值范围是________【题型8】由切线条数求参数范围
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值，有多少个解对应有多
少条切线．
18．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取
值范围是 ．
19．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 仅可作曲线 的两条切线，则 的取值范围是
.
20．（2024届广东省六校高三第一次联考T8）已知函数 ，若过点 可作曲
线 的三条切线，则 的取值范围是________
【巩固练习1】（23-24高三·湖北武汉·阶段练习）已知过点 可以作曲线 的两条
切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点 作曲线 的两条切线，切点
分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）已知点 不在函数 的图象上，且过点
仅有一条直线与 的图象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【巩固练习3】（2024·内蒙古·三模）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】已知点 在直线 上运动，若过点 恰有三条不同的直线与曲线 相切，
则点 的轨迹长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【巩固练习5】若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习7】（2024高三·辽宁本溪·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B．
C． D．
【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积
为-1.21．（2024·河北邢台·二模）已知函数 的图像在 ， 两个不
同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数 若对任意 ，曲线 在点
和 处的切线互相平行或重合，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．（2024·辽宁·二模）已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相
同的切线，则 ，切线方程为 .
【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点
，使得曲线 在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（23-24高三·辽宁·阶段练习）已知函数 ，曲线 上存在不
同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线 平行，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·河南·三模）已知函数 点 ， 在曲线 上（
在第一象限），过 ， 的切线相互平行，且分别交 轴于 ， 两点，则 的最小值为
．【巩固练习4】（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .若曲线 在点
处的切线与其在点 处的切线相互垂直，则 的一个取值为 .
【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题
利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.
24．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为
（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【巩固练习1】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为
．【巩固练习3】对给定的实数 ，总存在两个实数 ，使直线 与曲线 相切，则
的取值范围为 .
【题型11】牛顿迭代法
数形结合处理
25．（23-24高三·河南郑州·期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方
法求高次方程的根．如图，r是函数 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼
近r的实数 ， ， ，…， ，其中 是 在 处的切线与x轴交点的横坐标，
是 在 处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当 足够小时，就可以把
的值作为方程 的近似解．若 ， ，则方程
的近似解 ．
26．（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就
是函数 的零点 ，取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐
标为 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ，它们越来越接近 ．设函数 ， ，用牛顿迭代法得到
，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．
【巩固练习1】牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程 的根就是函数
的零点 ，取初始值 ， 的图象在横坐标为 的点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，
的图象在横坐标为 的点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ， ，
…， ，它们越来越接近 ．若 ， ，则用牛顿法得到的 的近似值 约
为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【巩固练习2】（2023·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方
法一Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ： ，则 与 轴交
点的横坐标为 ，称 是 的一次近似值；重复以上过程，得 的近似值
序列，其中 ，称 是 的 次近似值.运用上述方法，并规定初始
近似值不得超过零点大小，则函数 的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后
3位，参考数据： ）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【巩固练习3】（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，在 处作
图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作 ，称 是r的一次近似值，然后用 替代 重
复上面的过程可得 ，称 是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数
在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 近似值相等时，该值即作
为函数 的一个零点r，若使用牛顿法求方程 的近似解，可构造函数 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若初始近似值为1，则一次近似值为3B．
C．对任意 ，
D．任意 ，
