文档内容
专题 2-1 函数的基本概念（解析式，定义域，值域）
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2021年浙江卷：第12题，5分 函数的解析式与定义域、值域 (1)了解函数的含义，会求
问题是高考数学的必考内容.从 简单函数的定义域和值域
近几年的高考情况来看，高考 (2)会根据不同的需要选择
2022年浙江卷：第14题，5分 对函数的概念考查相对稳定， 恰当的方法(图象法、列
考查内容、频率、题型、难度 表法、解析法)表示函数
均变化不大，函数的解析式在 (3)了解简单的分段函数，
2023年北京卷：第11题，5分
高考中较少单独考查，多在解
并会应用
答题中出现.高考对本节的考查
不会有大的变化，仍将以分段
2024年上海卷，第2题,5分
函数、定义域、值域及最值为
主.
模块一
【题型1】函数的概念
一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应
关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数，记作y=f(x).
热点题型解读（目录）
1．下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【答案】A
【解析】根据函数关系的定义可得，
选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，
所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；
其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A
2．下列图象中，表示函数关系 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的概念即可求解.
【详解】根据函数的定义知，一个 有唯一的 对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.
3．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A中每一个元素在对应法则下，在 中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A的每一个元素在 中有 个元素与之对应，∴不是A到 的函数，
对于⑥，A中的元素 、 在 中没有元素与之对应，∴不是A到 的函数，
综上可知， 是函数的个数为 .故选：A.
【巩固练习1】下列图象中，能表示函数y=f (x)图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.
【解答过程】解：∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意，
对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；
对于④中，当x=0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义.
【巩固练习2】设集合 ， .下列四个图象中能表示从集合 到集合
的函数关系的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【分析】根据集合 到集合 的函数定义即可求解.
【详解】①中：因为在集合 中当 时，
在 中无元素与之对应，所以①不是；
②中：对于集合 中的任意一个数 ，
在 中都有唯一的数与之对应，所以②是；
③中： 对应元素 ，所以③不是；
④中：当 时，在 中有两个元素与之对应，
所以④不是；因此只有②满足题意
【题型2】 同一函数的判断
两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.
4．（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是
A． B．
y=√x2 y=lg10x
x2
C．y= D．y=√(x−1) 2+1
x
【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都
与函数y=x的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.
【解答过程】对于A选项，函数y=√x2=|x|定义域为R，其解析式与函数y=x的解析式不一致，
两个函数不是同一函数；
对于B选项，函数y=lg10x=x的定义域为R，其解析式与函数y=x的解析式一致，两个函数是同
一函数；
x2
对于C选项，函数y= 的定义域为¿，和函数y=x的定义域不一致，两个函数不是同一函数；
x
对于D选项，y=√(x−1) 2+1=|x−1|+1的定义域为R，但其解析式与函数y=x的解析式不一致，
两个函数不是同一函数.
【巩固练习1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f (x)＝elnx ，g(x)＝x
x2−4
B． f (x)＝ ,g(x)＝x－2
x+2
sin2x
C．f (x)＝ ,g(x)＝sinx
2cosx
D． f (x)＝|x|，g(x)＝√x2
【解题思路】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.
【解答过程】选项A:函数f (x)的定义域是x>0，函数g(x)的定义域是全体实数，故这两个函数不
是同一函数；
选项B:函数f (x)的定义域是x≠−2，函数g(x)的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；
π
选项C: 函数f (x)的定义域是x≠kπ+ (k∈Z),函数g(x)的定义域是全体实数，故两个函数不是
2
同一函数；
选项D:函数f (x)和g(x)的定义域都是全体实数，且g(x)＝√x2=|x|，对应关系相同，所以是同一
函数，故故选D.
【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
x2
A．f(x)=x,g(x)= B．f(x)=x(x∈R),g(x)=x(x∈Z)
x
C．f(x)=|x|,g(x)=¿ D．f(x)=x,g(x)=(√x) 2
【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.
x2
【 解 答 过 程 】 对 于 A 中 ， 函 数 f(x)=x的 定 义 域 为 R， 函 数 g(x)= 的 定 义 域 为
x
(−∞,0)∪(0,+∞)，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数f(x)=x(x∈R)和g(x)=x(x∈Z)的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数f(x)=|x|=¿与g(x)=¿的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=(√x) 2 的定义域为[0,+∞)，两函数的定义域不同，
不是同一函数.
故选：C.
【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）
待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
5．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式【答案】 ；（2）m＜0
【解答】解： ，由f(0)＝1得c＝2，故 ．
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以
即2ax＋a＋b＝2x，所以 ，∴ ，
所以
【巩固练习1】已知二次函数 满足 ，且 .求 的解析式
【答案】
【思路点拨】设 ，利用 建立恒等式求解即可；
【详解】设二次函数 （ ），
因为 ，所以 .
由 ，得 ，
得 ，
所以 ，得 ，故 .
【巩固练习2】已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)= −x2−4x ．
【解题思路】代入函数解析式计算即可.
【解答过程】解：因为f(x)=−x2−2x+3，所以f(x+1)=−(x+1) 2−2(x+1)+3=−x2−4x，
f(x+1)= −x2−4x.
故答案为：−x2−4x.
【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则
f(2)= ．
【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得a,b的值，将2代入可得结果.
【解答过程】由题意，得f(f(x))=f(ax−b)=a⋅(ax−b)−b=a2x−(ab+b)=4x−3，
即¿，解得¿，∴f(x)=2x−1，因此f(2)=3
【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）
已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过
解方程组求出f(x).6．（广东深圳实验校考）已知函数 满足 ， 且 ，则
.
【答案】
【思路点拨】用 替换 ,再解方程组可得答案.
【详解】由 ①，
用 替换 ，得 ②，
①×2－②，得 ，得 .
【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知 ，则 .
【答案】
【思路点拨】令 ，得到 ，进而求得函数 的解析式.
【详解】令 ，则 且 ，所以 ，
所以函数 的解析式为
【巩固练习2】若对任意实数 ，均有 ，求 .
【答案】 .
【解析】利用方程组法求解即可；
∵ （1）
∴ （2）
由 得 ，
∴ .
故答案为： .
【巩固练习3】已知定义在 上的函数 满足 ，则函数 的解析式
.【答案】
【思路点拨】根据已知把 换成 ，建立方程组求解.
【详解】因为 ，把 换成 有： ，
联立 ，解得 .
【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）
换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
7．函数f (x)满足若f (g(x))=9x+3，g(x)=3x+1，则f (x)=（ ）
A．f (x)=3x B．f (x)=3
C．f (x)=27x+10 D．f (x)=27x+12
【解题思路】对f (g(x))的式子适当变形，即可直接求出f (x).
【解答过程】因为f (g(x))=9x+3,g(x)=3x+1，
所以f (3x+1)=9x+3=3(3x+1)，则f (x)=3x
8．若函数 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】令 ，则
，即 故选：D.
1−x2
【巩固练习1】已知函数f (1−x)= (x≠0)，则f (x)=（ ）
x21 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.
【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，
1−(1−t) 2 1
可得f (t)= = −1,(t≠1)，
(1−t) 2 (t−1) 2
1
所以f (x)= −1(x≠1).
(x−1) 2
【巩固练习2】已知函数f (x)满足：f ( x− 1) =x2+ 1 ，则f (x)的解析式为（ ）
x x2
A．f (x)=x2+2 B．f (x)=x2
C．f (x)=x2+2(x≠0) D．f (x)=x2−2(x≠0)
【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.
【解答过程】因为f ( x− 1) =x2+ 1 = ( x− 1) 2 +2，∴f (x)=x2+2，
x x2 x
【巩固练习3】设函数 ，则 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则可得
所以 ，所以 ，故选：B
【题型6】求具体函数的定义域
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不
等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.9．函数 的定义域为________
【答案】
【解析】
10．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______
【答案】
【解析】由函数 的定义域是 ，得到 ，
故 即 ，解得: ；所以原函数的定义域是： .
√3−x
【巩固练习1】函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得¿，解得10解得x<0，所以函数f (x)的定义域为(−∞，0)，
√2x−4x
f (x−1)
所以函数 需满足x−1<0且x+1≠0，解得x<1且x≠−1
x+1
【题型7】已知定义域求参数
函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义
域求参数.
一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的
值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较
容易.
1
11．若函数
f (x)=
的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
√kx2+kx+1
A．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]
【解题思路】由题意可知kx2+kx+1>0的解集为R，分k=0，k≠0两种情况讨论，即可求解.
1
【解答过程】函数 f (x)= 的定义域为R，可知kx2+kx+1>0的解集为R，
√kx2+kx+1
若k=0，则不等式为1>0恒成立，满足题意；
若k≠0，则¿，解得02.
记g(x)=(x+a+2)(x−2)，
因为−2−a<−2−2=−4，所以g(x)>0的解集为(−∞,−a−2)∪(2,+∞)，
依题意有a2−8≤−a−2或a2−4a≥2，所以a2+a≤6或a2−4a−2≥0，
又a>2，a2+a>4+2=6，所以a∈[2+√6,+∞).
【题型8】抽象函数的定义域问题
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.
[1，2]
13．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
14．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A．[−2，3] B．[−1，4] C．[0，5] D．[−4，1]
【答案】C
【分析】根据 的定义域求出 的定义域，从而可求解.
【详解】因为函数 的定义域是 ，所以 ，所以 ,即 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，即 的定义域是 .
15．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： ，解得： ，
由 ，解得： ，
故函数的定义域是 ，故选：B．
[1，2]
【巩固练习1】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________
【答案】
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
【巩固练习2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出 ，则 定义域为 ，再利用 ，解出即可.
【详解】 ，则 ， 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，故其定义域为
【巩固练习3】已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ．故选：D
f (2x)
【巩固练习4】（2024·陕西西安·一模）若函数f (x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)= 的定义
x
域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【解题思路】根据分式与f (x)的定义域求解即可
【解答过程】要使函数有意义，依题意需有¿ 解得，00 ，即f '(x)在[0,4]上单调递增，
令√4x−x2−(2−x)=0，解得x=2−√2，
即f(x)在[0,2−√2]上单调递减，在[2−√2,4]上单调递增，
所以x=2−√2为极小值点，又f(2−√2)=2−2√2，f(0)=0，f (4)=4．
∴函数y=x−√4x−x2的值域为[2−2√2,4]．
【题型11】对勾函数值域问题
对于对勾函数 ，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现
（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域
1
18．求函数y=x+ 的值域．
x
【答案】
【分析】考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值
域，注意讨论x的正负．
【详解】解：当 当且仅当x=1取等号，
当 当且仅当x=1取等号
1
故函数y=x+ 的值域为(-∞，-2]U[2，+∞)
x
1
19．求函数y=2x+ 的值域．
x
1 1
（1）x∈( ，+∞) （2）x∈[−3，− ]
2 2
19
【答案】 [2√2，+∞) ；[− 3 ，−2√2]
3
【巩固练习1】求函数y=x+ +2的值域．
x
【答案】(−∞，−2√3+2]∪[2√3+2，+∞)
4
【巩固练习2】求函数y=x+ 的值域．
x
1
（1） （2）x∈( ，4)
x∈(1，+∞) 2
17
【答案】 ；[4， )
[4，+∞) 2【题型12】已知值域求参数范围
这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值。这个例题中，可以通过
判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关
系求得参数。
1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析。
2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别
不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要 get到的是：为了让值域能达到
XX，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提
供的少了那可就真不够了。
3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合。
20．若函数 的值域为 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.
【详解】因为函数 的值域为 ，
所以 能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程 在实数范围内有解．
所以 ，解得 ．
21．（2023上·宁波·余姚中学高一校考）已知函数 的值域为 ，则函数
的定义域为________
【答案】
【思路点拨】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解
【详解】由 值域为 ，得 ，
故 ，即 的定义域为 ，
令 得 ，故 的定义域为【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）已知函数 的值域为 ，求实数k的
取值范围 ．
【答案】
【思路点拨】根据函数 的值域为 ，可得 是函数 的
值域的子集，再分 和 两种情况讨论即可.
【详解】因为函数 的值域为 ，
所以 是函数 的值域的子集，
当 时， ，符合题意，
当 时，
则 ，解得 ，综上所述， .
【巩固练习2】（2023·山东省实验中学校考）已知函数 的定义域与值域均为 ，
则实数 的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
【答案】A
【思路点拨】依题意知 的值域为 ，则方程 的两根为 或 ，可
得 ， ，从而确定当 时， 取得最大值为 ，进而解得 .
【详解】依题意， 的值域为 ，且 的解集为 ，
故函数的开口向下， ，
则方程 的两根为 或 ，
则 ， ，即 ，
则 ，
当 时， 取得最大值为 ，即 ，解得： .
【题型13】分段函数及其应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分
别解决，即分段函数问题，分段解决．22．（2024·吉林长春·三模）已知函数f(x)=¿，则f (−3)=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【解答过程】由函数可得，f(−3)=f(−1)=f(1)=21=2.
23．（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（
0≤t≤2）左侧的图形的面积为f (t)．则函数y=f (t)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合图形，分类讨论01
值范围为（ ）
A．[−1,2) B．[−1,0] C．[1,2] D．[1,+∞)
【解题思路】由x>1，求得f(x)的范围；再求得f(x)=2|x−a| 的单调性，讨论a<1，a⩾1时函数
f(x)在x⩽1的最小值，即可得到所求范围．
【解答过程】解：函数f(x)=¿，若x>1，可得f(x)=x+1>2，由f (1)是f(x)的最小值，
由于f(x)=2|x−a| 可得在x>a单调递增，在x
