文档内容
热点专题 2-2 函数单调性与奇偶性 15 类题型全归纳
近4年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年新高考I卷，第6题,5
分
2024年上海卷，第4题,5分
2023年新高考I卷，第4题,5
分 近几年的高考情况来看，函 借助函数图象，会用符
2023年新高考Ⅱ卷，第4题,5
数的单调性、奇偶性、是高 号语言表达函数的单调
分
考的一个重点，需要重点关 性、最大值、最小值，
2023年新高考I卷，第8题,5
注，与函数图象、函数零点 理解它们的作用和实际
分
和不等式相结合进行考查， 意义
2022年新高考II卷，第6题,5
分 解题时要充分运用转化思想
2021年新高考I卷，第6题,5 和数形结合思想
分
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】函数的单调性................................................................................................................2
【题型2】 复合函数单调性的判断..............................................................................................4
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围....................................................................7
【题型4】利用单调性求最值或值域..........................................................................................11
【题型5】由单调性求参数的范围..............................................................................................12
【题型6】结合单调性解函数不等式..........................................................................................14
【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值..........................................................................17
【题型8】函数的奇偶性的判断与证明......................................................................................19
【题型9】函数图像的识别..........................................................................................................24
【题型10】利用单调性，奇偶性比大小....................................................................................29
【题型11】已知函数的奇偶性求参数........................................................................................31
【题型12】解奇函数不等式........................................................................................................36【题型13】解偶函数不等式........................................................................................................39
【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题....................................................................42
【题型15】存在任意双变量问题................................................................................................45
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， 当 时，都有 ，那么就说 在区
间 上是增函数．
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在
区间 上是减函数．
①属于定义域 内某个区间上；
②任意两个自变量 ， 且 ；
③都有 或 ；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间 上
具有单调性， 称为函数 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）几条常用的判断单调性的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增(或减)函数，则在 和 的公共定义域上 为增(或减)函数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的 ，使得
”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知函数 的定义域为 ，则“ 恒成立”是“函数 在 上单
调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习2】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则对实数 ，
“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型2】 复合函数单调性的判断
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数 的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
2．函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． 和 D．
3．已知 ，若 ，则 （ ）
A．在区间 内是减函数 B．在区间 内是减函数
C．在区间 内是增函数 D．在区间 内是增函数
【巩固练习1】函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】函数 的单调递减区间是（ ）A． B． C． D．
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围
函数 ，在 上为增函数，则：
① 在 上单调递增；② 在 上单调递增；③ ．
函数 ，在 上为减函数，则：
① 在 上单调递减；② 在 上单调递减；③ ．
4．（2024·新高考1卷真题）已知函数为 ，在R上单调递增，则a取值
的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
【巩固练习1】已知函数 满足对于任意的 ， 都有成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 是R上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】已知函数 在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）.A． B． C． D．
【题型4】利用单调性求最值或值域
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则函数
在 处有最大值 ．
2、如果函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则函数
在 处有最小值 ．
3、若函数 在 上是严格单调函数，则函数 在 上一定有最大、最小值．
4、若函数 在区间 上是单调递增，则 的最大值是 ，最小值是 ．
5、若函数 在区间 上是单调递减，则 的最大值是 ，最小值是 ．
1 1
7．（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋ 在[−2,− ]上的最大值是（ ）
x 3
3 8
A． B．－ C．－2 D．2
2 3
【巩固练习1】当 时，则函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．【巩固练习2】已知函数 ，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
【题型5】由单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 的不等式，
利用下面的结论求解．
1、若 在 上恒成立 在 上的最大值．
2、若 在 上恒成立 在 上的最小值．
8．若函数 在区间 内单调递增，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东佛山·二模）已知 且 ，若函数 在 上单调递
减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x2+ax+1在(2,6)上不单调，则a的取值
范围为（ ）
A．(2,6) B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12) D．(−∞,4]∪[12,+∞)【巩固练习2】（2023·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数f (x)=2x2+4ax+1在
(2,+∞)上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习3】已知函数 ，若对任意的 ，且
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】结合单调性解函数不等式
求解函数不等式时，由条件去掉“ ”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
10．已知函数 是定义在区间 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f(x)=¿，则不等式f (a)>f (3a−4)的解集为（ ）
( 1 ) ( 1)
A． − ,+∞ B．(2,+∞) C．(−∞,2) D． −∞,−
2 2
【巩固练习1】已知函数 是定义在 上的单调减函数：若 ，则 的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期中）定义在 上的函数 满足
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上
的解析式．
解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围；第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式．
12．已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
的值是 .
13．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数 则 ．
f (1)
14．（2024·海南·三模）已知函数f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f (x)−g(x)=ex，则 =
g(1)
（ ）
e2+1 e2−1 1−e2 1+e2
A． B． C． D．
e e 1+e2 1−e2
【巩固练习1】若定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ，则 的解析式
为 .
【巩固练习2】（2024·山西吕梁·一模）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，
f(x)=2x+x−1，则当x<0时，f(x)=（ ）
A．2−x−x−1 B．2−x+x+1
C．−2−x−x−1 D．−2−x+x+1
【巩固练习 3】已知函数 对一切实数 都满足 ，且当 时，
，则 ．【题型8】函数的奇偶性的判断与证明
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
二、判断奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.
记 ， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得
的函数，如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(7)复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
⑤若 为奇函数，则 为偶函数
15．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
16．已知函数 ，若 ，则 ．
17．函数 的奇偶性为 .
【巩固练习1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，
那么（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
2−x
【巩固练习2】（2024·重庆·三模）设函数f (x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
2+x
A．f (x−2)+1 B．f (x−2)+2
C．f (x+2)+2 D．f (x+2)+1【巩固练习3】结合图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ；
(5) .
【题型9】函数图像的识别
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
三:极限思想
18．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂
分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
式来琢磨函数的图象特征，如函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
19．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，所以 的图象关于原点对称，
所以排除A，
当 时， ，所以排除C，
当 时， ，
因为 和 在 上递增，所以 在 上递增，所以排除B
【巩固练习1】函数 的部分图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【巩固练习2】函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】函数 的图象大致形状是（ ）
A． B．C． D．
【巩固练习4】函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【题型10】利用单调性，奇偶性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利
用其单调性比较大小
20．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】（2024·宁夏银川·一模）若 ，设
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 ，记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】（2024·四川·模拟预测）若定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【题型11】已知函数的奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求
参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数： ；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1这类比较好计算的特殊值
（3）导数法
奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
（4）函数性质法
① 为偶函数，
②奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（5）定义域对称法
若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
21．（2023年新课标全国Ⅱ卷）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
22．已知函数 为奇函数，则 的值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
23．已知函数 的图象关于 轴对称，则 ．
24．函数 为奇函数，则实数 .
25．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【巩固练习1】（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 .【巩固练习2】已知函数 是奇函数，则 .
【巩固练习3】已知函数 是奇函数，则实数 ．
【巩固练习4】若函数 是偶函数，则实数 的值为 .
【巩固练习5】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数 为奇函数，则实数k的取值
为 .
【巩固练习6】若函数 是奇函数，则 ．
【题型12】解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定
义域的限制
26．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
27．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
28．已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的
解集是 .
【巩固练习3】已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】（2024·安徽安庆·三模）已知函数 的图象经过点 ，则关于 的不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题型13】解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定
义域的限制
29．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，则不等式 的解
集为 1 1 1
, ,0
30．已知 f x 是定义在 2 2 上的偶函数，且在 2 上递减，则不等式 f x f 12x0
的解集是 ．
【巩固练习1】若函数f (x)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是减函数，且f (3)=0，则使得
f (x)<0的x的取值范围是（ ）
A．(−∞,−3) B．(3,+∞)
C．(−3,3) D．(−∞,−3)∪(3,+∞)
【巩固练习2】已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则
的解集为 ．
【巩固练习3】已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题
，使得 ，等价于 ， ，使得 ，等价于
，使得 ，等价于 ， ，使得 ，等价于
31．若 ，使 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
32．若“ ， ”为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 在区间 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习 3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】（2024·福建厦门·一模）已知 ， ， ，则下列结论错误的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【题型15】存在任意双变量问题
（1） ， 成立
（2） ， 成立
（3） ， 恒成立
（4） ， 恒成立
（5） 成立
（6） 成立
（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：
① x
1
∈D， ∃x
2
∈E，使得f(x
1
)=g(x
2
)成立，则 ；
② ∀ x
1
∈D，∃x
2
∈E，使得f(x
1
)=g(x
2
)成立，则 .
∃
33．已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知 且 ，若存在 ,存在 ,使得
成立,则实数a的取值范围是 .
35．已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使得，则实数 的取值范围 ．
【巩固练习1】已知函数 ， ，若对 ， 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 ， .若 ， ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】已知 ， ，若对任意 ，都存在 ，
使得 ，则实数m的取值范围是 .
