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重难点突破 05 嵌套函数
我们把形如 或 的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函
数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式:
" 型
这一类型是同一个函数 自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换
元,即设 ,然后根据题设条件解出相应 的值或范围,最后利用函数 或利用函数
与 的图像关系解得问题.
“ 型
这一类型是两个函数 的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函
数”换元,即设 ,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是 的自
变量,或利用 与 两个函数的性质,或做出并利用 与 两个
函数的图像来解决问题.
在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因
其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核
心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.
一．选择题（共11小题）
1．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ．若关于 的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：由题设 ，若 ，则 ，
所以 ，值域为 ，函数图象如下：
当 ， 时，只有一个 ， 与之对应；
当 ， 时，有两个对应自变量，
记为 ， ，则 ；
当 时，有三个对应自变量且 ，0， ；
当 ， 时，有两个对应自变量，
记为 ， ，则 ；
当 ， 时，有一个 ， 与之对应；
令 ，则 ，要使 有且仅有两个不相等的实数解，
若 有三个解，则 ，0， ，此时 有7个解，不满足；若 有两个解 ， 且 ，此时 和 各有一个解，
结合图象知，不存在这样的 ，故不存在对应的 ；
若 有一个解 ，则 有两个解，此时 ， ， ，
所以对应的 ， ， ，
综上， ， ， ．
故选： ．
2．已知函数 为自然对数的底数，则函数 的零
点个数为
A．5 B．6 C．7 D．3
【解答】解：令 ，则有 ，
作出 的图象，如图所示：
设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
所以直线 与 的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为： ， ， ， ，且 ，
由图象可知 ， ， ， ，
由图象可知 无解， 有1个解， 有3个解， 有2个解，
所以 有6个零点．
故选： ．
3．已知函数 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：设 ，令 可得： ，
对于 ， ，故 在 处切线的斜率值为 ，
设 与 相切于点 ， ，
， 切线斜率 ，则切线方程为： ，
即 ， ，解得： ；由于 ，故作出 与 图象如下图所示，
与 有四个不同交点，
即 与 有四个不同交点，
设三个交点为 ， ， ， ，由图象可知： ，
作出函数 ， 的图象如图，
由此可知 与 无交点，与 有三个不同交点，与 ， 各有两个不同交
点，
的零点个数为7个，
故选： ．
4．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令 ，则有 ，
作出 的图象，如图所示：设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
所以直线 与 的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为： ， ， ， ，且 ，
由图象可知 ， ， ， ，
由图象可知 无解， 有1个解， 有3个解， 有2个解，
所以 有6个零点．
故选： ．
5．已知函数 ，则函数 的零点个数为
A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设 ，则 ，
令 ，可得 ，
在 处的导数为 ，
与 在 轴左边没有交点，
作出 与 的图象，如图所示，
数形结合可得 与 两交点横坐标满足： ， ，
又 ，作出 ， 与 的图象，如图所示，
数形结合可得 ， 与 的图象共有三个交点，交点横坐标分别为 ，
，
故 的零点个数为3，
故选： ．6．已知函数 ，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同
的零点x ，x ，x ，x 且x ＜x ＜x ＜x ，则x +x +x +x 的取值范围为（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
A． B． C． D．（0，+∞）
【解答】解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，得f（x）＝k，
函数g（f（x））有4个不同的零点，即f（x）＝k有4个不同的根；
根据题意，作出f（x）的图像，如图：
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x +x ＝﹣2，x x ＝1，
1 2 3 4
因为x ＞x ＞0，故 ，
4 3
令 ，得 或x＝9，故 ，
又因为x +x +x +x ＝﹣2+x +x ，
1 2 3 4 3 4
则 ，整理得 ，
故x +x +x +x 的取值范围为 ．
1 2 3 4
故选：B．
7．已知函数 ，函数 恰有5个零点，则 的取值
范围是
A． B． C． ， D．【解答】解：当 时， ．由 ，得 ，由 ，得
，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故 的大致图象如图所示．
设 ，则 ，由图可知当 时， 有且只有1个实根，
则 最多有3个不同的实根，不符合题意．
当 时， 的解是 ， ． 有2个不同的实根， 有2个
不同的实根，
则 有4个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有 3 个不同的实根 ， ， ，且 ， ， ，
， ．
有2个不同的实根， 有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有7个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ， ．
有2个不同的实根， 有3个不同的实根，则 有5个不同的实根，符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ，
有2个不同的实根， ，有2个不同的实根，则 有4个不同的实根，
不符合题意．
当 时， 有且只有1个实根，则 最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上， 的取值范围是 ， ．
故选： ．
8．已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．1 B．0 C．2 D．3
【解答】解：函数 ，
对 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 趋向负无穷时， ， 时， ，
故结合对数函数图象，可画出函数 图像如下图所示：
函数 的零点，即 ，令 ，代入可得 ，
由图像可知 ，即 ，结合函数图像可知， 有1个解，
综合可知，函数 的零点有1个．
故选： ．
9．已知函数 ，则函数 零点个数最多是
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由题意可得 ，
作出 的图象，如图所示：
由此可得 ，
令 ，则 ，
所以 ，令 ，则有 ，
则有 ， ，
当 时， 有三个实数根，分别为 ， ， ，
若 ，即 时，则有 ， ， ，
若 ，即 时，则 ，
当 ，即 时， 没有实数根，
又 ， ，
若 ， ，即 时，有 3个零点； ，即 时，有 4个零点；，
，即 时，有4个零点，
所以此时共有11个零点；
若 时， ， ， 各自对应着4个零点，此时共有12个零点，
所以函数 零点个数最多为12个．
故选： ．
10．已知函数 则 解的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： 时， ，
则 ，
在 上单调递减，又 时， ， ， ，
作出函数 的图象如图：
由 ，得 ，即 ，
则 有两个根，即 解的个数为2．
故选： ．
11．已知函数 ， ，若 有6个零点，则
的取值范围为
A． B． C． ， D．
【解答】解：作出函数 的图象如图所示：根据图像可得，当 或 时， 有两个解；
当 时， 有4个解；
当 时， 有3个解；
当 时， 有1个解．
因为 最多有两个解．
因此要使 有6个零点，则 有两个解，设为 ， ．
则存在下列几种情况：
① 有2个解， 有4个解，即 或 ， ，显然 ，
则此时应满足 ，解得 ；
② 有3个解， 有3个解，设 即 ， ，
则应满足 ，解得 ；综上所述， 或 ，
即 的取值范围为 ．
故选： ．
二．多选题（共4小题）
12．已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的说法中，
正确的是
A．当 ，有1个零点 B．当 时，有3个零点
C．当 ，有4个零点 D．当 时，有7个零点
【解答】解： ，则当 时， ，
当 时， ，
令 得 ，设 ，即 ，
对于 ：当 时，当 时， ，对称轴 ，当 时，
，
在 ， 上单调递减， 在 上单调递增，
当 时， ，
由 得 ，即 ，解得 ，
故 时， 有1个零点，故 正确；
对于 ：当 时，当 时， ，当 时， ，
由 得 ，即 ，即 ，则当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
故 时， 有3个零点，故 正确；
对 于 ： 当 时 ， 当 时 ， ， 对 称 轴 ，
，
由 得 ，即 ，解得 ，
故当 时， 有1个零点，故 错误；
对于 ：当 时，当 时， ，当 时， ，
由 得 ，即 ，即 ，则当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
由 得 ，解得 ，
则当 ，即 ，此时有1解，
当 ，即 ，此时 有2解，或 ，此时有1解，
综上所述，当 时， 有7个零点，故 正确，
故选： ．
13．若函数 和 的定义域都是 ，且关于 的方程 有实数解，则下列式
子中可以是 的是
A． B． C． D．【解答】解：因为 ，所以 ，
则 有解，
对于 ，当 时，方程有解，故选项 正确；
对于 ，当 时，方程无解，故选项 错误；
对于 ，当 ，令 ，
因为 ，
由零点的存在性定理可知， 在 上存在零点，
所以方程有解，故选项 正确；
对于 ，当 时， 为方程的解，
所以方程有解，故选项 正确．
故选： ．
14．已知函数 和函数 ，关于 的方程
有 个实根，则下列说法中正确的是
A．当 时， B．当 时， C． ，
D． ，
【 解 答 】 解 ： 令 ， 若 ， 则
，
解得 或 ，
即 或 ，当 ，即 ，解得 ，
该方程有一解， 正确；
当 时， ，易知 为单调递增函数，
当 时， ，由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上
单调递增，
作出 图象如图，若 ，可知 ， ， 错误；
若 ，可知 ， ， 正确；
至多三个解， 错误．
故选： ．
15．已知函数 ，若 ，则下列说法正确的是
A．当 时， 有4个零点 B．当 时， 有5个零点
C．当 时， 有1个零点 D．当 时， 有2个零点
【解答】解：令 ，
当 时，作出 的图象如图所示：对于 ， 令 ，则有 ，
所以 ，
由此可得有3个解： ， ， ，
又因为 的值域为 ， ，
所以 无解；
有一个解；
有三个解；
所以此时共有4个解，
即 共有4个零点，故 正确， 错误；
当 时，作出 的图象，如图所示：对于 ， ，令 ，则有 ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 的值域为 ， ， ，
所以 无解，
只有一个解，
所以此时只有一个解，
即 只有一个零点，故 正确， 错误．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
16．设函数 ， 若函数 有六个不同的零
点，则实数 的取值范围为 ， ．
【解答】解： 函数 ， ，令 ，则 ，
函数 有六个不同的零点，
则 有6个实数根，
作出函数 与 的图象如图所示，
当 时， 与 有两个交点，此时 或 ，
此时 有3个不同的零点，不符合题意，
当 时， 与 有3个交点，
此时 有6个不同的零点，符合题意，
当 时， 与 有2个交点，
此时 有4个不同的零点，不符合题意，
故函数 有六个不同的零点时，实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．17．已知函数 ，若函数 有5个零点，则实
数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：设 ，则由 得 ，
若 ，作出函数 的图象如图：
当 或 时， ，此时 ，无解，
当 时，由 ，得 只有一个解且 ，此时 ，最多有3个零
点，不满足条件．
故 ，不成立，
当 时，作出函数 的图象如图： ．
则 ，
由 ，得方程有3个不同的根，其中 ，
其中 ， ， ，
当 时， ，只有一个根，
当 时， ，只有一个根，
要使函数 有5个零点，
则必有 ，有3个零点，由 ，得 ，即 ，
此时只要 ，即可，
得 ，即 ，
得 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
18．已知函数 ，若 有六个零点，则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：由 ，解得 或 ；
由 ，解得 ．
因为 ，所以 或 或 ，
即 ， ， ，
因为 有六个零点，
所以函数 的图象与三条直线 ， ， 共有六个交点，
因为函数 的图象与三条直线 ， ， 共有三个交点，
所以 的图象与三条直线共有三个交点，
当 时， ，
所以 在区间 单调递增，在区间 单调递
减，
所以 时， 取得极大值也即是最大值，
， ，结合 的图象，可知 或 或 ，
所 以 或 或 ， 即 实 数 的 取 值 范 围 是 ，
．
故答案为： ， ．
19．已知函数 ，若 有三个零点，则 ．
【解答】解：令 ，由 可知，
，
， 有三个零点，
有三解，
又 ， 的图象开口向下，
函数 的顶点为 ，，解得 （负值舍去），
．
故答案为： ．
20．已知函数 ，若函数 有三个零点，则
．
【解答】解：令 ，由 可知， ，
， 有三个零点，
有三解，
由图象 的图象，可知 ，
．
故答案为： ．
