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重难点突破 05 数列综合运用
一．选择题（共15小题）
1．（2023•顺义区一模）若等差数列 和等比数列 满足 ， ， ，
则 的公差为
A．1 B． C． D．2
2．（2023•温州模拟）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，
则
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
3．（2023•全国二模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5， ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即
，后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”．
记 ，则
A． B． C． D．
4．（2023•皇姑区四模）设 为数列 的前 项和，若 ，且存在 ，
，则 的取值集合为
A． ， B． ， C． ， D．
5．（2023•濠江区校级模拟）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的
某序列 ， ， ， 重新编辑，编辑新序列为 ， ， ，，它的第 项为 ，若 的所有项都是2，且 ， ，则
A．8 B．10 C．12 D．14
6．（2023•张家口二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与
互质的正整数的个数，例如： （1） ， （3） ．数列 满足 ，其前
项和为 ，则
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
7．（2023•固始县校级模拟）数列 中， ，对任意 ， ， ，若
，则
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某
一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016
个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕
像”的个数构成一个数列 ，则 的值为
A．8 B．10 C．12 D．16
9．（2023•海淀区校级三模） 是各项均为正数的等差数列，其公差 ， 是等比
数列，若 ， ， 和 分别是 和 的前 项和，则
A．
B．
C．D． 和 的大小关系不确定
10．（2023•秦安县校级一模）已知数列 满足 ，设
， 为数列 的前 项和．若 对任意 恒成立，则实数 的最
小值为
A．1 B．2 C． D．
11 ． （ 2023• 云 南 模 拟 ） 已 知 正 项 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ，
，则
A． B． C． D．
12．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
13．（2023秋•兴庆区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享
有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过
的最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ， ．已知数列满足 ， ， ，若 ， 为数列 的前 项和，
则
A． B． C． D．
14．（2023•思明区校级一模）已知数列 满足： ， ，则
数列 的前100项的和为
A．50 B．98 C．100 D．102
15．（2023•龙华区校级模拟）已知 ， ，若数列 的前 项
和为 ，则
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．（2023•扬中市校级模拟）已知数列 满足 ， ，则下列结
论正确的有
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为递增数列
D． 的前 项和17 ． （ 2023• 昌 江 县 二 模 ） 已 知 数 列 满 足 ，
， 为数列 的前 项和．若对任意实数 ，都有 成立，则
实数 的可能取值为
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2023•黄冈模拟）设数列 前 项和为 ，满足 ， 且
， ，则下列选项正确的是
A．
B．数列 为等差数列
C．当 时 有最大值
D．设 ，则当 或 时数列 的前 项和取最大值
19．（2023•怀化二模）数列 满足 ， ，数列 的
前 项和为 ，且 ，则下列正确的是
A．
B．数列 的前 项和
C．数列 的前 项和
D．
20．（2023•扬州三模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 1，2进行“美好成长”，第一次得到
数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2； ；设第 次“美好成长”后得到的数列
为1， ， ， ， ，2，并记 ，则
A．
B．
C．
D．数列 的前 项和为
三．解答题（共10小题）
21．（2023•黄冈模拟）设等差数列 前 项和 ， ，满足 ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ．
22．（2023•桃城区校级模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，设．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ，求满足条件的最小正整数 ．23．（2023•重庆模拟）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比
利时的数学家欧仁 查理 卡特兰 命名．历史上，清代数学家明安图 年
年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者
建议将此数命名为“明安图数”或“明安图 卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一
个数列： 且 ．如果能把公式化成上面这种形式的数，就
是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特
兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在 上，你每个单位时间可以向上走一格，
或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到
， 有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 ．
（1）证明 是卡特兰数；
（2）求 的通项公式．
24．（2023•湖北模拟）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 满足 ，求证： ．25．（2023•杭州二模）设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
26．（2023•湖南模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，试求 除以3的余数．27．（2023•全国三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，等差数列
中， ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 与 的共同项由小到大排列组成新数列 ，求数列 的前20的积 ．
28．（2023•枣庄二模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）证明： 为等比数列；
（2）已知 为 的前 项和，求 ．29．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ，
的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
30．（2023•海口模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ．
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 为实数，且对任意 ，总有 ，求 的最小值．
